chương 2. Động lực học chất lỏng - Dòng chảy đồng nhất
2.2 Dòng chảy ổn định
2.2.6 Phương trình của dòng chảy biến đổi dần dần
Phương trình Bernoulli có thể áp dụng đối với dòng chảy không đều ở những tình huống minh họa trong hình 2.8. Cân bằng năng lượng tại hai vị trí như trong dòng chảy không đều bằng
l gi h h u g
l u gs gh
u
( )
2 ) (
2
1 2 2
(2.26) trong đó sl là mức giảm cao độ đáy giữa hai mặt cắt và i là tổn thất năng lượng do ma sát trên đơn vị khoảng cách dọc theo lòng dẫn, như được sử dụng trong mục 2.2.1. Vì số hạng il là một số đo của phần giảm cao độ mặt nước tự do trong lòng dẫn có thể quy cho ma sát, nó có thứ nguyên độ dài và thường gọi là 'tổn thất cột nước'.
Phương trình này có thể sắp xếp lại để thấy rằng h = (s - i)l - uu / g, số hạng (u)2 giả thiết không đáng kể. Trong giới hạn khi l 0
dl du g i u dl s
dh ( ) . ( 2.27) Số hạng du/dl được khử bằng cách lấy vi phân phương trình liên tục thể tích Au = const để nhận được
0
dl udA dl
Adu (2.28)
và sắp xếp lại cho ta
dl dA A u dl
du . (2.29)
Hình 2.8 Biến đổi vận tốc và độ dốc mặt nước theo mặt cắt dọc của lòng dẫn có dòng chảy biến đổi dần dần. (Theo Massey, 1989, được sự đồng ý của Chapman và Hall)
Xét tình huống lý tưởng trong đó hình dạng và sự thẳng hàng của lòng dẫn không
đổi theo khoảng cách dọc theo chiều dài của nó, sao cho A là một hàm số chỉ của độ sâu h.
Đặt A = c1h trong đó c1 là hằng số, và thay phương trình (2.29) vào phương trình (2.27), có thể thấy sự biến đổi h so với khoảng cách l đo dọc theo đáy lòng dẫn nhận được là
) / ( 1 u2 gh
i s dl
dh
. (2.30)
Phương trình (2.30) chỉ ra rằng khi vận tốc dòng chảy là êm (tức là dưới phân giới vì
u2 < gh), mẫu số là dương. Nếu độ dốc của đáy lớn hơn độ dốc đòi hỏi để bù đắp cho tổn thất năng lượng do ma sát, s > i và tử số cũng là dương; do đó độ sâu tăng theo hướng dòng chảy. Nói cách khác, nếu độ dốc đáy không đủ để tạo ra tiêu tán năng lượng bởi ma sát, s < i và tử số là âm để độ sâu giảm theo hướng của dòng chảy.
Như vậy đối với một độ dốc đáy cho trước, độ cong mặt nước là chỉ số của tổn thất ma sát trong dòng chảy (Massey, 1989: tr. 408). Khi đáy dốc ngược hướng dòng chảy, s là
âm và độ sâu giảm theo hướng dòng chảy với lưu lượng phụ thuộc vào tổn thất ma sát.
Dòng chảy cùng hướng và ngược hướng với độ dốc đáy thường gặp trong các quan trắc tại một vị trí cố định trong dòng triều thuận nghịch.
Khi độ sâu nhỏ và vận tốc lớn, số Froude tiến đến 1 (tức là u2 = gh). Những điều kiện phân giới như vậy của dòng chảy là không bền vững bởi vì dh/dl liên tục đổi dấu và dòng chảy trở thành không ổn định, tạo nên mặt nước có dao động sóng đặc trưng.
Phương trình (2.30) mô tả sự biến đổi độ sâu dọc theo lòng dẫn trong dòng chảy
đồng nhất. Vì tổn thất do ma sát là một hàm của u, không thể tích phân trực tiếp phương trình (2.30). Tuy nhiên, có thể được xác định vị trí l mà tại đó dòng chảy có độ sâu đặc trưng h từ phương trình (2.30), bằng cách giả thiết có cùng tổn thất ma sát i tại một đoạn
đặc trưng như khi đối với một dòng chảy đều. Giả thiết này cho phép sử dụng phương trình (2.5) để đánh giá i. Giả thiết tiếp theo là có một khu vực thượng lưu lòng dẫn mà tại
đó dòng chảy có thể giả thiết là đều bởi vì ma sát cân bằng với tổn thất cột nước do độ dốc
đáy (Massey, 1989: tr. 389).
VÝ dô
Một đập tràn chắn ngang lòng dẫn mặt cắt chữ nhật có thành song song, làm mực nước tăng lên, độ sâu ngay tại phía thượng lưu là 1,72 m, và mặt nước giống như 'đường nước dâng' được minh họa trong hình 2.7 (a). Chiều rộng của lòng dẫn là 30 m, lưu lượng thể tích là 34,2 m3 s-1, và độ dốc đáy là 1 m trên 10 km. Giả sử yêu cầu xác định khoảng cách lên phía thượng lưu của đập tràn phải xa bao nhiêu để độ sâu xấp xỉ với độ sâu dòng chảy đều. Giả thiết hệ số cản Cd là 0,0025. Sử dụng phương trình (2.5) để xác định vận tốc tại vị trí thượng lưu, tại đó dòng chảy là bình thường, thấy rằng
10 4
1 0025 , 0
81 , 9 2
30 30 30
2 , 34
n n
h h u h
trong đó hn là độ sâu tại khu vực dòng chảy đều. Lời giải bằng phép thế cho ta hn= 1,54 m.
Để xác định xa lên thượng lưu đập đến đâu thì độ sâu giảm đến giá trị này, phương trình (2.30) được biểu thị lại là
hn
h
i dh s
gh l u
0
) / (
1 2
l km 2466,9 3822,8 10611,7 16901
h m 0,06 0,06 0,06
dl/dh 41115 63713 176862
s-i 2,37E-05 1,52E-05 5,46E-06
i tõ Pt. (2.5) 7,63E-05 8,48E-05 9,45E-05
1- u2 /2g 0,972 0,969 0,966
u m/s 0,674 0,699 0,726
P m 33,38 33,26 33,14
A m2 50,7 48,9 47,1
h trung b×nh m 1,69 1,63 1,57
Bảng 2.1 Các bước tính toán khoảng cách thượng lưu bị ảnh hưởng bởi đập tràn Phạm vi h m 1,72-1,66 1,66-1,60 1,60-1,54 Tổng khoảng cách cách
và được giải theo ba phần trung gian giữa đập tràn và đoạn dòng chảy đều; mỗi phần thể hiện một đoạn nhỏ bằng nhau trong phạm vi độ sâu giữa 1,54 m và 1,72 m.
Dữ liệu trong bảng 2.1 là các bước thực hiện để đánh giá khoảng cách l, bắt đầu từ
đập tràn. Những bước đầu tiên gồm tính toán vận tốc trung bình theo chiều rộng và độ sâu trung bình cho mỗi phần, và kết quả này được sử dụng để tính toán tử số trong biểu thức đối với l đã cho ở trên. Sử dụng những giá trị vận tốc trung bình, tổn thất ma sát i trên đơn vị độ dài được xác định từ phương trình (2.5) và do đó là mẫu số trong biểu thức
đối với l đã tính toán.
Cuối cùng, dl/dh được tính toán và, khi biết độ giảm mực nước từ đoạn hạ lưu đến
đoạn thượng lưu, khoảng cách toàn bộ cho khu vực dòng chảy đều được xác định. Một tính toán như vậy sẽ tương đối dễ thực hiện khi sử dụng bảng biểu, nhưng trong những tình huống phức tạp hơn mô hình toán học được áp dụng, do đó cho phép xét đến nhiều biến hơn so với trường hợp tiếp cận đơn giản này.
Một ưu điểm đặc biệt của phương trình (2.30) là nó minh họa độ dốc đáy và ma sát có thể ảnh hưởng đến sự biến đổi độ sâu theo khoảng cách ra sao. Trong dòng chảy biến
đổi dần dần, sự uốn cong của những đường dòng rất nhẹ và áp suất tại một điểm trong dòng chảy được kiểm soát bởi độ sâu của nó dưới mặt nước. Như vậy mức độ biến đổi của
áp suất p theo khoảng cách có thể suy luận từ dh/dl, giả thiết mật độ biến đổi không đáng kể theo chiều dọc. ý nghĩa của sự biến đổi áp suất theo chiều dọc sẽ trở nên hiển nhiên trong mục sau về hiệu ứng lớp biên.