Chương 6. Mô hình hóa quá trình phát tán
6.5 Những mô hình ngẫu hành
'Mô hình ngẫu hành' không áp dụng phương trình cân bằng khối lượng giống như
những mô hình mô tả trong hai mục trước đây - khối lượng của chất phát tán được thể hiện bởi một đám hạt, mỗi hạt tương đương với một phần của vật chất. Mô hình theo dõi sự chuyển động của mỗi hạt trong ba chiều khi nó được vận chuyển bởi dòng chảy và dịch chuyển theo hướng dọc, hướng ngang hoặc thẳng đứng bởi các xoáy rối. Theo thời gian, những hạt trở nên tách ra xa hơn và xa hơn nữa bởi chuyển động ngẫu nhiên và kích
thước toàn bộ của đám hạt tăng lên. Một khi những hạt thể hiện khối lượng, số lượng của những hạt trong một thể tích đã cho sau chu kỳ phát tán xác định nào đó là một số đo của nồng độ. Như vậy bằng việc đếm số lượng những hạt trong một ô được chọn của thể tích
đã biết, có thể phỏng đoán nồng độ của chất. Mặc dầu phương pháp ngẫu hành được đề xuất từ nhiều năm trước đây, chỉ gần đây máy tính mới có khả năng theo dõi số lượng những hạt đòi hỏi đối với đa số các vấn đề thực tế.
Cùng với những mô hình khác dựa trên máy tính, những mô hình ngẫu hành mô
tả sự phát tán với một chuỗi những khoảng thời gian hoặc bước thời gian. Hình 6.5 (a) cho thấy chuyển động của một hạt đơn từ điểm bắt đầu trên một lưới hình chữ nhật cố định sau một bước thời gian, hạt được mang theo hướng x dọc theo trục lưới bởi dòng chảy và dịch chuyển theo hướng ngang trong ví dụ này bởi chuyển động rối. Chỉ có chuyển động nằm ngang của hạt được xét trong ví dụ này, nhưng trong thực tế rối có thể đã dịch chuyển hạt theo hướng thẳng đứng cũng như hướng ngang trong khoảng thời gian đó.
Vẫn hạn chế sự xem xét đối với mặt nằm ngang, hình 6.5 (b) minh họa sự phân bố có thể
đã được tạo ra nếu một số hạt được thải tại cùng một điểm khởi đầu vào lúc ban đầu của bước thời gian. Mỗi hạt dịch chuyển cùng khoảng cách dọc theo trục bởi dòng chảy. Tuy nhiên, bước nhảy do rối được đánh giá bằng việc gán một số ngẫu nhiên cho mỗi hạt và kết hợp nó với một hệ số khuyếch tán để nhận được hướng và độ lớn dịch chuyển dọc theo hoặc ngang với dòng chảy. Sự dịch chuyển có thể là về phía trước hoặc về phía sau dọc theo trục x bởi một lượng phụ thuộc vào Kx hoặc về phía kia của trục bởi một lượng phụ thuộc vào Ky. Vì những số ngẫu nhiên được chọn từ một phân bố chuẩn, những hạt trở nên được sắp xếp theo phân bố Gauss dọc theo và ngang qua trục x, tập trung lên khoảng cách dịch chuyển do dòng chảy; phân bố Gauss hướng ngang được cho trong hình 6.5 (b).
Những bước thời gian kế tiếp làm cho các hạt chiếm giữ một trường hình êlíp như được chỉ ra trong hình 6.5 (c). Như vậy phương pháp ngẫu hành có khả năng mô tả trường phát tán phát sinh do việc thải một đốm loang chất chỉ thị hoặc vật chất hoà tan khác trong biÓn.
Để giải thích những nguyên lý nằm sau cách tiếp cận ngẫu hành một cách chi tiết hơn, điều có lợi là khảo sát cơ sở toán học cơ bản. Lý thuyết đối với cách tiếp cận ngẫu hành song hành với lý thuyết dẫn xuất bởi Taylor (1921) đối với khuyếch tán do những chuyển động liên tục (mục 4.3.2). Giả thiết rằng rối ổn định và đồng nhất mặc dù khá lý tưởng về khái niệm, ít nhất cũng phải thực tế một cách cục bộ trong môi trường biển. Lấy những thời gian khuyếch tán dài để thậm chí những quy mô rối lớn nhất hiện có tham gia vào quá trình khuếch tán, độ dịch chuyển quân phương X2của những hạt trong hướng x cho trong phương trình (4.26) là
T K
X2 2 x . (6.31)
Hình 6.5 Phân bố của các hạt bởi tác động bình lưu và khuếch tán: (a) dịch chuyển một hạt riêng lẻ trong một bước thời gian tương đối với lưới mô hình; (b) phân bố cắt ngang dòng chảy đối với một số hạt; (c)
hình dạng toàn bộ của phân bố hạt trong mặt phẳng nằm ngang sau một vài bước thời gian.
Cần thấy rằng X thể hiện sự dịch chuyển của một hạt riêng lẻ từ một gốc cố định trên trục x. Trong mỗi bước thời gian t, một hạt đơn lẻ được dịch chuyển bởi dòng chảy u bao quanh và dịch chuyển do rối xm do vậy sự thay đổi vị trí thực tế của nó theo hướng x bằng
xm
t u x
. (6.32)
Máy tính tính toán sự chuyển động của hạt tại mỗi bước thời gian và xác định vị trí tuyệt đối mới của nó x + x so với gốc (x = 0) từ vị trí bắt đầu x của nó. Bằng cách tương tự, những tọa độ của hạt đối với trục y và z cũng được tính toán tại mỗi bước thời gian.
Phương trình (6.31) có thể sử dụng để đánh giá sự tăng độ dịch chuyển theo bước thời gian t khi hệ số khuyếch tán Kx được biết. Lựa chọn một số ngẫu nhiên từ một phân bố chuẩn bình thường, độ dịch chuyển cho bằng
xm 2Kxt. (6.33)
Những biểu thức tương đương với phương trình (6.33) có thể thiết lập để mô tả
những dịch chuyển trong các hướng y và z.
Để áp dụng kỹ thuật ngẫu hành cho sự phát tán trong biển, một lưới ba chiều được xác định cho khu vực quan tâm. Một bước thời gian thích hợp được lựa chọn và những hạt
được đưa vào một thể tích nguồn - khi mô tả sự phát tán của đốm loang vật chất, số lượng hạt được xác định một lần chỉ tại lúc bắt đầu chạy mô hình. Tuy nhiên, khi mô tả một vệt loang liên tục, các hạt được đưa vào thể tích nguồn tại mỗi bước thời gian. Những hạt
được đặt ngẫu nhiên trong thể tích nguồn. Ví dụ, khi mô tả sự thải liên tục, thể tích nguồn có thể xác định bằng tích số của chiều rộng, độ sâu và khoảng cách lan truyền theo hướng của dòng chảy trong một bước thời gian, số này bằng udt. Như vậy, ví dụ vị trí hướng ngang của một hạt được xác định bằng việc lấy tỷ lệ chiều rộng trường ban đầu bằng một số ngẫu nhiên được chọn trong phạm vi từ 0 đến 1.0. Nếu số ngẫu nhiên được chọn là 0,8 đối với một hạt thải từ một hệ thống khuếch tán có độ dài 50 m, thì hạt được chèn vào vị trí 0,8 x 50 = 40 m kể từ một đầu của máy khuếch tán. Bằng cách này, những vị trí ban đầu của những hạt trong thể tích nguồn được xác định, chúng được chỉ rõ những tọa độ x, y và z so với gốc trên hệ thống lưới.
Đối với một vệt loang liên tục, mức nguồn vào của các hạt trong mô hình tỷ lệ với mức đầu vào của chất hoà tan. Khi chọn được số lượng những hạt để thải tại mỗi bước thời gian, khối lượng của chất thải xác định khối lượng của mỗi hạt trong mô phỏng. Để
đánh giá nồng độ sau thời gian khuyếch tán nào đó, số lượng hạt trong các ô đặc trưng
được đếm để tính toán nồng độ của chất. Những ô này có thể có bất kỳ kích thước ưu tiên nào đó và không được lớn bằng lưới mô hình; tuy nhiên, nếu có rất ít hạt trong một ô được chọn, thì không thể thực hiện một xác định nồng độ chính xác. Bằng việc lựa chọn kích thước của các ô trong những khu vực xung yếu nhất định, như khu vực lân cận một nguồn
đổ, có thể mô tả chi tiết phân bố nồng độ cục bộ ở mức độ đáng kể.
Một trong những ưu điểm của phương pháp ngẫu hành là cho phép thực hiện việc hạn chế lan truyền bởi những biên như mặt biển hoặc đáy biển. Khi một bước nhảy ngẫu nhiên trong một bước thời gian mang một hạt đi qua một biên, nó được phản xạ ra khỏi biên nên vị trí của nó là ảnh gương của vị trí mà nó phải có nếu không có biên (hình 6.6).
Những biên được tạo ra bởi phân tầng mật độ hoặc những vật cản trong dòng chảy có thể xét với kỹ thuật này.
Hình 6.6 Xác định vị trí của một hạt riêng lẻ sau khi phản xạ tại biên
Những mô hình theo dõi hạt có nhiều ưu điểm so với phương pháp vệt loang Gauss, mặc dầu dưới những điều kiện giới hạn cả hai kỹ thuật đều phát sinh những kết quả
tương tự. Những mô hình hạt có thể sử dụng để mô tả sự chồng lên nhau của vật chất từ một vệt loang phát tán khi sự đảo ngược của thủy triều làm cho vệt loang gấp ngược lên chính nó. Tương tự, những mô hình như vậy có thể xem xét sự chồng lên nhau của những vệt loang phát ra từ một số các điểm thải. Hình 6.7 minh họa phân bố tiêu biểu của các hạt trong một vệt loang phát ra từ một nguồn liên tục tại một cửa sông khi triều xuống.
Phương pháp ngẫu hành thích hợp với sự phát tán 'tuyệt đối' của vật chất so với một gốc cố định, như sử dụng trong lý thuyết của Taylor đối với sự phát tán ứng với hệ tham chiếu Euler (mục 4.3.2). Với lý do đó, những hệ số phát tán 'tương đối' xác định từ những nghiên cứu chất chỉ thị, liên quan đến hệ tham chiếu Lagrange (mục 4.3.1), có thể không luôn luôn thích hợp để so sánh với những dự đoán ngẫu hành. Chênh lệch độ lớn giữa những hệ số tương đối và tuyệt đối cần phải được lưu tâm khi áp dụng kỹ thuật ngẫu hành.
Hình 6.7 Phân bố hạt tiêu biểu phát sinh bởi mô hình ngẫu hành của một vệt loang trong cửa sông khi triều xuống. Vùng có mật độ hạt lớn nhất thể hiện khu vực nồng độ cao nhất