Chương 6. Mô hình hóa quá trình phát tán
6.7 Những mô hình cửa sông hai chiều -trung bình hướng ngang
6.7.1 Thiết lập mô hình
Đối với cửa sông hẹp phân tầng một phần, tốt nhất là thiết lập một mô hình toán học hai chiều, xét đến những biến đổi dọc theo cửa sông và theo độ sâu, với những điều kiện theo hướng ngang cửa sông được giả thiết đồng nhất tại bất kỳ độ sâu đặc trưng nào.
Trong khu vực lân cận những vệt loang thải ra, nồng độ sẽ có vẻ cao hơn rõ rệt ở một phía bờ, nhưng mô hình như thế chưa được thiết kế để mô tả đến chi tiết như vậy.
Những vận tốc trong mô hình được giả thiết là như nhau theo bề rộng cửa sông.
Trong các cửa sông thực tế, xuất hiện những biến đổi vận tốc theo hướng ngang do ma sát với những bờ bao, đa số những hiệu ứng như vậy rất rõ tại những chỗ uốn khúc. Phát tán bởi biến đổi hướng ngang của vận tốc được cho theo những giá trị được chọn của hệ số khuyếch tán dọc Kxe. Trong ví dụ này Kxe phát sinh do khuyếch tán rối thuần tuý và những biến đổi hướng ngang của vận tốc, không xét hiệu ứng biến đổi thẳng đứng của vận tốc vì cơ chế phát tán này đã được mô tả rõ ràng trong mô hình trung bình hướng ngang.
Những tải lượng được giả thiết xáo trộn đều qua cửa sông ngay lập tức sau khi thải, nhưng cách xấp xỉ này có vẻ không có hiệu ứng quan trọng lên những dự đoán phân bố nồng độ dài hạn đối với trạng thái thực tế. Vì đa số các nguồn nhập là nổi, nói chung những tải lượng chỉ đưa vào trong những lớp phía trên. Có thể tính đến sự biến đổi tải lượng vào theo thời gian, như xuất hiện khi một lạch nước thủy triều đổ vào, bằng việc cho những giá trị tải lượng biến đổi theo thời gian một chu kỳ thủy triều.
Hình 6.12 Tính liên tục của dòng chảy thể tích qua một mặt cắt thẳng đứng mỏng trong cửa sông
6.7.2 Các phương trình cơ bản Tính liên tục của thể tích
Cân bằng thể tích tại một vị trí đã cho trong cửa sông được minh họa trong hình 6.12; để đơn giản hóa nguyên lý, xét một cửa sông có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Lấy hai mặt cắt kề nhau có khoảng cách giữa chúng là x, nước chảy qua một lát mỏng thẳng
đứng có bề dày z và chiều rộng b có dòng chảy thể tích buz, trong đó u là vận tốc dòng chảy. Nếu lưu lượng dòng chảy qua lát mỏng thượng lưu lớn hơn lưu lượng lát mỏng hạ lưu, thì lượng nước dư đóng góp cho việc tăng toàn bộ độ sâu nước. Lấy tổng thực tế của những thể tích dư này theo toàn bộ độ sâu h, trạng thái này được biểu thị bởi phương tr×nh vi ph©n
Q x budz
t
bh h
0
. (6.60)
Nếu không có nguồn nước đổ vào giữa những mặt cắt từ những sông nhánh hoặc nguồn thải, thì dòng chảy vào Q theo toàn bộ độ sâu bằng không. Xét lát mỏng giữa hai mặt cắt, tính liên tục thể tích đòi hỏi rằng
qi
z bw x
bu
(6.61)
trong đó qi là mức thể tích nhập vào từ những sông nhánh trong lát thứ i ở hạ lưu kể từ mức tham chiếu. Q là lưu lượng chảy vào khi lưu lượng nhập vào lát riêng lẻ qi được tích phân theo toàn bộ độ sâu - trong một lát không nhận nước nhập vào qi = 0. Cả hai biểu thức này có nguồn gốc từ phương trình liên tục cơ bản đã cho trong phương trình (2.50).
Cân bằng động lượng
Dựa vào những phương trình cân bằng động lượng đã cho trong mục 2.4.2, chuyển
động của dòng chảy, lấy trung bình theo hướng ngang một cửa sông có chiều rộng b, bằng
but bux buwz gb ξx gbzξ ρx dz ρb τxx zz
2 τ
(6.62) trong đó là dao động mặt nước trên một mặt chuẩn tham chiếu (để lấy độ sâu trung bình h), là mật độ cục bộ và x, z là những ứng suất trượt, lấy là ma sát nội hoặc ma sát
đáy. Tính liên tục thể tích của nước, như được biểu thị bởi phương trình (6.61), cho phép tính toán thành phần thẳng đứng của vận tốc w và đưa vào phương trình (6.62).
Cân bằng khối lượng
Lấy c là nồng độ trung bình hướng ngang của chất hoà tan, phương trình cân bằng khối lượng (mục 4.2.3) đối với cửa sông hẹp phân tầng một phần cho bằng
kbc b z I
bK c z x bK c x z
bwc x
buc t
bc
sv z
x
(6.63)
trong đó Kx, Kz là những hệ số khuyếch tán rối trong những hướng thẳng đứng và dọc, tương ứng, Isv là mức nguồn vào của chất hoà tan tại vị trí và k mức độ suy giảm.
6.7.3 Phương pháp giải
Những phương trình liên tục và động lượng nói trên có thể giải theo phương pháp số bằng cách biểu thị chúng ở dạng sai phân hữu hạn nhờ sử dụng một sơ đồ sai phân thích hợp (Richtmyer và Morton, 1967). Để tránh những vấn đề khi triều lên và xuống làm cho mặt nước đi qua những điểm lưới cố định, tốt hơn cả là biến đổi những phương trình để cho lưới mở rộng và co hẹp theo hướng đứng cùng thủy triều. Điều này có nghĩa là đều có cùng một số lượng những hàng mắt lưới theo độ sâu tại những chỗ sâu hơn và chỗ nông hơn của cửa sông và như vậy độ cách đều của mắt lưới thẳng đứng có thể chỉ là một vài xentimet tại đầu phía đất, nhưng có thể là hơn 1,0 m tại chỗ sâu hơn phía biển của cửa sông.
VÝ dô
Một số lượng tiêu biểu những hàng mắt lưới có thể là 11 giữa mặt nước và đáy, nên trong một cửa sông có độ sâu 10 m, độ cách đều là 1,0 m một. Sự biến thiên của mắt lưới nhận được bằng việc đưa vào một phân số xác định bằng
) (
) (
ξ
h z ξ
η (6.64)
sao cho = 1 tại đáy (z = h) và = 0 tại mặt nước chuyển động ( z = - ). Một lưới sai phân hữu hạn có thể có độ cách đều tiêu biểu dọc theo chiều dài của cửa sông khoảng 0,5 km gi÷a nh÷ng tuyÕn kÒ nhau.
Những điều kiện biên về vận tốc, dao động mặt nước và độ mặn được đặc trưng theo cùng cách như đối với mô hình một chiều biến đổi theo thời gian. Những điều kiện biên cũng xác định cho nồng độ chất ô nhiễm tại những biên phía biển và biên phía đất của cửa sông; nếu nguồn sông nhập vào và biển là 'sạch' do chúng không chứa chất ô nhiễm để mô tả, thì c = 0 tại biên phía biển và tại biên phía đất của mô hình. Đối với mô
hình biến đổi theo thời gian, thường đặc trưng nồng độ biên cho giai đoạn chảy vào của thủy triều, do vậy nồng độ của nước biển đi vào được chỉ rõ khi triều lên, nhưng biên khi triều xuống là tự do và do đó xác định từ mô hình.
Một tiếp cận tiêu biểu để thể hiện hiệu ứng của ma sát trong cửa sông phân tầng một phần là giả thiết rằng hệ số nhớt rối là một hàm của số Richardson cục bộ đối với dòng chảy như đã mô tả trong mục (3.5.2). Nó có dạng tiêu biểu là
u m
0 z
z 1 β Ri
N
N
( ) (6.65)
trong đó Nz, Nz0 là những hệ số nhớt rối dưới những điều kiện phân tầng và đồng nhất tương ứng, , m là những hằng số và Ri là số Richardson gradient. Mô hình được điều khiển bởi dao động mặt nước tại biên phía biển của cửa sông theo từng bước thời gian cho
đến khi hầu như đạt được một trạng thái cân bằng, trong đó những thay đổi đối với những dự đoán từ một chu kỳ đến chu kỳ tiếp theo là nhỏ để bỏ qua. Nói chung điều này phù hợp với việc chạy mô hình cho hai mươi đến ba mươi chu kỳ thủy triều, giả thiết dòng chảy nước ngọt và dao động thủy triều cố định.
Hiệu ứng phân tầng đối với xáo trộn
Một công thức tương đương với phương trình (6.65) được sử dụng để mô tả hiệu ứng tắt dần của rối bởi phân tầng đối với hệ số xáo trộn thẳng đứng. Công thức này có dạng
n s 0
z
z 1 Ri
K
K
( β ) . (6.66)
Trong ví dụ này, Kz, Kz0 là những hệ số xáo trộn thẳng đứng trong những điều kiện phân tầng và đồng nhất, tương ứng, và s và n là những hằng số. Những giá trị đối với K z0 dọc theo trục sông được chọn tại giai đoạn hiệu chỉnh mô hình.
Những tham số Nzo và Kz0 dự kiến biến đổi theo chu kỳ thủy triều vì chúng phụ thuộc vào rối phát sinh trong dòng chảy đồng nhất bởi thủy triều. Sử dụng mô hình trung bình mặt cắt ngang, Bowden và Hamilton (1975) chỉ ra rằng sự phù hợp tốt nhất với dữ
liệu có thể nhận được bằng việc cho Nzo và Kz0 là những hàm của dòng chảy trung bình độ sâu và độ sâu toàn bộ. Sự phù hợp được cải thiện tốt hơn bằng việc giả thiết mối phụ
thuộc của những giá trị trung bình độ sâu Nz và Kz (mục 3.6.1) vào số Richardson tổng hợp, theo cách đã mô tả ở những biểu thức nói trên.
Trong mô hình trung bình hướng ngang, độ lớn của Nzo và Kz0 có thể giả thiết là những hàm của dòng chảy trung bình độ sâu và độ sâu toàn bộ, nhưng có thể lấy những giá trị cục bộ của Ri do vậy Nz và Kz biến đổi theo độ sâu tại bất kỳ bước thời gian đã cho nào. Đã áp dụng hiệu ứng phân tầng lên mức độ xáo trộn thẳng đứng, ví dụ để mô hình hóa dòng chảy ra của nước nhiễm mặn từ sông Rhine đổ vào Biển Bắc (mục 9.3.3).