Khuyếch tán từ một nguồn liên tục

4.3 Các thuộc tính thống kê của trường rối

4.3.2 Khuyếch tán từ một nguồn liên tục

Như đã giải thích trong mục 4.1, một tiếp cận thay thế cho lý thuyết khuyếch tán là tuân theo lịch sử thời gian của một hạt riêng lẻ. Cách tiếp cận này khác với kỹ thuật lấy trung bình rối ở chỗ những thuộc tính thống kê của chuyển động được tính đến một cách tường minh, thay vì buộc môn thống kê phải xác định những thuộc tính của chuyển

động trung bình. Việc lấy trung bình liên hệ sự vận chuyển khuếch tán với những giá trị trung bình, trong khi cách tiếp cận thống kê tìm tòi để thiết lập trường phát tán, bao gồm dòng chảy trung bình, có thể bắt nguồn từ những nhiễu động đặc trưng cho rối ra sao.

Những nền tảng của lý thuyết thống kê được thiết lập bởi Geoffrey Taylor (1921).

Lý thuyết của Taylor xem xét một trường rối đồng nhất ở trạng thái ổn định, trong đó một hạt thay đổi vận tốc liên tục theo một cách ngẫu nhiên. Tại một thời gian đặc trưng hạt có một vận tốc nhất định và sau một khoảng rất ngắn vận tốc của hạt phải tương tự.

Tuy nhiên, với những khoảng lớn hơn những khác biệt về vận tốc trở nên rõ ràng hơn, do vậy ngoài một khoảng thời gian nhất định vận tốc phải trở nên độc lập với giá trị ban đầu của nó. Như vậy độ tương quan của vận tốc tại những khoảng thời gian càng tăng sẽ giảm

đến không. Taylor sử dụng hàm tương quan này, bởi do sự phụ thuộc vào thời gian chứ không phải vào không gian của nó, là Lagrange trong thực tế, để dẫn ra một biểu thức cho sự trải rộng một số lớn các hạt khi chúng dịch chuyển một cách thành công qua một

điểm cố định.

Nếu X là độ lệch của một hạt riêng lẻ do vận tốc xoáy u' sau thời gian t, mức độ thay đổi của biến thiên toàn bộ X2, do sự thải liên tiếp một số lớn các hạt (hình 4.3) bằng

 







t

d t u t u dt Xu

X X d dt

X d

0 ' 2

) ( ' ) ( ' 2 2

2   (4.18)

trong đó  là độ gia tăng nhỏ theo thời gian. Sự thay đổi mức độ biến thiên có tầm quan trọng lớn trong thực tiễn bởi vì nó có thể liên kết trực tiếp với hệ số khuyếch tán đối với mức độ lan rộng (xem phương trình (4.24) dưới đây).

Một khi những thuộc tính trung bình được giả thiết đồng nhất trong không gian và ổn định theo thời gian, tích số vận tốc có thể thay thế bởi

) ( ' / ) ( ' ) (

' t u t  u2 R 

u   (4.19)

trong đó R() là hệ số tương quan Lagrange. Với R() và u'2 đều không phụ thuộc vào gốc thời gian, độ biến thiên có thể biểu thị như sau

 



T t

dt d R u X

0 0 2

2 2 ' ()  (4.20)

trong đó X độ lệch của hạt sau thời gian T.

Biểu thức này cho thấy độ lệch quân phương của một hạt đơn lẻ trong những khoảng thời gian liên tục bằng nhau phụ thuộc vào vận tốc rối quân phương của nó, và hệ số tương quan Lagrange. R() mô tả mối liên kết giữa vận tốc của một hạt vào thời gian t và vận tốc của nó tại thời gian t +  về sau. Những xem xét đơn giản dẫn đến hai hệ qủa có thể có đối với những lời giải phương trình (4.20). Đối với thời gian khuyếch tán nhỏ T, những vận tốc hạt tại t và t +  có vẻ tương quan chặt chẽ, do vậy R() = 1 khi  =0. Thấy rằng đối với T nhỏ

2 2

2 u' T

X  . (4.21)

Với những thời gian khuyếch tán lớn, có vẻ ít khi có tương quan giữa vận tốc hạt tại những thời điểm t và t +  bởi vì các xoáy khác nhau phải đến cuộc chơi và bắt hạt chuyển động khác nhau ở hai thời gian. Khi thời gian  tăng lên, sẽ đạt đến một điểm nó vượt trôị thời gian t1; tại t1 giả thiết rằng không còn tương quan giữa vận tốc của hạt tại t và t +  như vậy là R() = 0. Như vậy đối với T lớn

T u t T u d R

X L

t

2 2

0

2 2( ( ) ) ' 2 '

1



    (4.22)

trong đó tL là quy mô thời gian Lagrange của rối, bằng







0

) ( d R

tL . (4.23)

Hình 4.3 Sự dịch chuyển của một hạt tương đối so với tọa độ cố định trong trường rối đồng nhất

Cần thấy rằng đối với một nguồn điểm liên tục, tất cả các tần số dao động có hiệu quả từ thời điểm thải. Những dao động chậm hơn nổi trội sớm khi lan rộng khuếch tán và duy trì giá trị R() lớn cho đến khi  trở nên đủ dài để những mối tương quan giảm đi.

Như vậy khuyếch tán phụ thuộc vào hình dạng của đường cong tự tương quan R(), đến lượt nó phụ thuộc vào cấu trúc của rối. Nếu dòng chảy chỉ chứa các xoáy nhỏ và chúng dịch chuyển qua người quan sát như được chỉ ra trong hình 4.2, thì R() sẽ giảm nhanh hơn nếu dòng chảy chỉ chứa các xoáy lớn. Chứng tỏ rằng R() cuối cùng dần giảm đến không với những giá trị lớn của , quy mô thời gian Lagrange tL là số đo của chu kỳ liên quan đến rối lớn nhất có mặt trong dòng chảy. Nếu mô hình rối đông cứng của Taylor có hiệu lực đối với trường rối đang nghiên cứu, thì kích thước các xoáy lớn nhất lc = utL.

Đối với phân bố xác suất chuẩn của độ dịch chuyển hạt, hệ số xáo trộn Kx theo hướng x bằng

dt Kx dX

2

2

1 . (4.24)

Với thời gian lớn, từ những phương trình (4.22), (4.23) và (4.24) thấy rằng





1

0

2 ( )

'

t

x u R d

K   (4.25)

và đối với T lớn

T K

X2 2 x . (4.26)

Trong dòng chảy không đổi, T = x / u và phương trình cuối cùng này phát biểu một cách thành công rằng sự lan rộng một vệt loang, như thể hiện bởi những độ lệch chuẩn thẳng đứng Z và ngang Y tương ứng, cuối cùng trở nên tỷ lệ với x1/2, có dạng parabôn.

Tại những thời gian khuyếch tán lớn, từ những phương trình (4.23) và (4.25) thấy rằng

c L

x ul

u t u u

K 2

2

2 '

' 

 . (4.27)

Biểu thức này có tầm quan trọng đáng kể vì nó mô tả sự khuyếch tán liên quan

đến tỷ lệ của cường độ rối với năng lượng của dòng chảy trung bình ra sao.

VÝ dô

Những đo đạc về rối trong nước ven bờ ngoài khơi hòn đảo Anglesey trong biển Ai len cho ta tỷ số u'2/u2  0,0169 (Bowden, 1962 b). Vận tốc dòng chảy trung bình khoảng 0,4 ms -1 để giả thiết kích thước xoáy cực đại lc = 15 m, phương trình (4.27) nói lên rằng Kx= 0,10 m2s-1. Một khi trường rối được xem như đẳng hướng theo phương ngang, thì có thể giả thiết Kx = Ky. Những đo đạc cũng đưa ra giá trị trung bình w'2 /u2  0,0044 , do vậy giả thiết các xoáy thẳng đứng lớn nhất phải bị hạn chế bởi độ sâu, lc = 15 m, nó được lấy theo một biểu thức tương đương với phương trình (4.27) trong đó Kz = 0,026 m2s-1.