Chương 5. Quá trình phát tán trượt
5.3 Dòng chảy trượt không ổn định
5.3.1 Phát tán trong dòng chảy nhiễu động
Hiệu ứng đảo ngược dòng chảy lên phát tán được thể hiện bởi G.I. Taylor khi sử dụng một thí nghiệm đơn giản trong phòng. Ông chèn một hình trụ vào trong một côngtenơ hình trụ thứ hai để chúng đồng trục; hệ thống được thiết kế để côngtenơ ở phía ngoài cố định và hình trụ bên trong có thể quay được. Gli-xe-rin, một chất lỏng rất nhớt,
được đưa vào khu vực hình khuyên giữa hình trụ và côngtenơ, và một chất chỉ thị màu sử dụng để vẽ nên một đường thẳng qua mặt chất lỏng sao cho nó vuông góc với hình trụ.
Khi hình trụ được quay, gli-xe-rin kề với bề mặt của nó bị dịch chuyển, dẫn đến sự trượt qua chỗ trống giữa hình trụ và thành của côngtenơ. Việc này làm cho đường màu biến dạng đến một phạm vi mà sau vài vòng quay của hình trụ nó không còn hình dạng xác
định nào đó. Tuy nhiên, việc quay hình trụ theo hướng đối diện ngược với hướng ban đầu lại làm lộ ra đường màu lần nữa.
Thực nghiệm này chỉ ra rằng, khi không có xáo trộn, sự trượt không có hiệu ứng pha loãng trong thực trạng của nó; sự pha loãng bởi quá trình phát tán phụ thuộc vào trượt kết hợp với xáo trộn trong trường trượt. Hình 5.11 minh họa hiệu ứng trượt trong một dòng chảy dao động. Trong dòng triều, vận tốc có thể giả thiết dao động hình sin theo cách mà những phân bố tại những thời điểm dòng chảy cực đại là tuyến tính. Để đơn giản hóa thảo luận, hãy cho rằng khi dòng chảy đang chảy theo một hướng, phân bố có độ lớn bằng dòng chảy trung bình trong toàn bộ một nửa chu kỳ thủy triều. Khi dòng chảy chảy ngược, giả thiết thực hiện một cách tức thời và những phân bố có dạng ảnh phản chiếu với nửa thứ hai của chu kỳ. Nếu chu kỳ đầy đủ bao trùm một thời đoạn T, vận tốc có phân bố hình chữ nhật theo thời gian đối với từng nửa chu kỳ T/2.
Hình 5.11 Phát tán trong dòng chảy nhiễu động với một phân bố vận tốc tuyến tính, cho thấy hiệu ứng lên một cột chất chỉ thị
Những sơ đồ phía dưới trong hình 5.11 cho thấy hiệu ứng của trượt nhiễu động lên một cột chất chỉ thị. Tại thời gian bằng không, lúc bắt đầu của chu kỳ, chất chỉ thị giả
thiết chiếm giữ một cột thẳng đứng theo độ sâu như được minh họa trong biểu đồ (a).
Hiệu ứng của trượt vận tốc sẽ làm lệch cột, và kết hợp với xáo trộn thẳng đứng, nó phải
được mở rộng, để vào cuối nửa chu kỳ phải có dạng thể hiện trong biểu đồ (b). Trong thời gian nửa chu kỳ thứ hai, xáo trộn thẳng đứng bổ sung phải tăng cường pha loãng nhiều
hơn. Sau chu kỳ này, sự đảo ngược của phân bố trượt sẽ hiệu chỉnh biến dạng cho nên vào cuối chu kỳ đầy đủ nó phải xuất hiện như trong biểu đồ (c).
Có thể hình dung hai biến đổi cực trị với trạng thái này. Nếu xáo trộn là rất chậm so với chu kỳ nhiễu động đầy đủ, sự trượt đảo ngược phải hoàn trả lại cột với dạng như
khi nó bắt đầu, theo cách đã thể hiện bởi thực nghiệm của Taylor. Như vậy, biểu đồ (c) phải trông như biểu đồ (a) trong hình 5.11. Mặt khác, nếu xáo trộn thẳng đứng là rất nhanh so với chu kỳ dao động để bất kỳ những hiệu ứng biến dạng nào do trượt cũng nhanh chóng được làm trơn, thì sự pha loãng phải không nhạy cảm theo hướng dòng chảy. Như vậy, mức độ pha loãng của cột cũng phải là như thế đối với cả hai nửa của chu kỳ, và hiệu ứng toàn bộ phải mở rộng cột của chất chỉ thị bị pha loãng vào thời gian cuối của chu kỳ. Cột tại điểm chính giữa của chu kỳ phải không giống với biểu đồ (b), mà phải là một cột xáo trộn thẳng đứng không có sự xê dịch theo độ sâu. Trạng thái xáo trộn thẳng đứng nhanh này xấp xỉ sự pha loãng ở trạng thái ổn định trong một dòng chảy đơn hướng.
Thời gian cho xáo trộn thẳng đứng Tc có thể đánh giá từ quan hệ Tc =h2/8Kz, trong
đó h là toàn bộ độ sâu và độ khuếch tán rối thẳng đứng Kz được giả thiết không đổi theo
độ sâu. Công thức này có thể dẫn xuất từ quan hệ t K 2 z
2 z
σ (5.35)
tương ứng với phương trình (4.17) áp dụng cho hướng thẳng đứng, lấy cùng xấp xỉ là xáo trộn thẳng đứng sẽ hoàn toàn khi z = h/2 (một giả thiết thích hợp được thảo luận trong mục 6.4.2, là z = 0,8h đối với xáo trộn hoàn toàn). Như đã mô tả ở trên, hiệu ứng của trượt đảo ngược lên phát tán phụ thuộc vào độ dài của thời gian Tc so với chu kỳ nhiễu
động T.
Nhiều công thức đã được phát triển để liên hệ độ lớn trượt trong dòng chảy nhiễu
động với sự phát tán dọc dưới những tỷ lệ khác nhau của T đối với Tc (Holley, Harleman và Fischer, 1970; Fischer và nnk., 1979: tr. 94; Okubo, 1967; Carter và Okubo, 1965). Hai cực trị của tỷ lệ này có thể xem xét đối với sự phát tán trượt trong dòng chảy giới hạn bởi mặt nước và đáy, ứng với xáo trộn thẳng đứng nhanh và chậm.
5.3.2 Xáo trộn thẳng đứng chậm
Nếu xáo trộn thẳng đứng là chậm, thì thời gian để xáo trộn hoàn toàn theo độ sâu dài hơn chu kỳ nhiễu động rất nhiều. Okubo (1967) dẫn ra biểu thức cho biến thiên dọc của đốm loang vật chất dưới hoàn cảnh như vậy. Trong ví dụ này Tc > T và
T t T K
h U
c z s x
2 6
2 2
2
(5.36)
trong đó Tc là thời gian để xáo trộn qua độ sâu h và Okubo giả thiết rằng Tc = h2 /( 2Kz), dựa vào một giả thiết hơi khác với giả thiết sử dụng trong định nghĩa ở trên. Phân bố vận tốc giả thiết giảm tuyến tính theo độ sâu, với giá trị bằng không tại đáy và biên độ dòng chảy nhiễu động tại mặt nước bằng 2Us. Độ khuếch tán thẳng đứng Kz lấy không đổi theo
độ sâu.
Bằng việc sử dụng phương trình (5.36), dưới giả thiết đơn giản rằng phân bố nồng
độ xấp xỉ Gauss, từ phương trình (4.16) thấy rằng hệ số khuyếch tán hiệu quả KxT do trượt nhiễu động bằng
2 2 4 2
10 20
5
c z xT s
T T K
h
K , U . (5.37)
Với chứng tỏ rằng thời gian được dùng để trả lại cột nước đồng nhất lớn hơn đáng kể so với chu kỳ dao động (hai đến ba lần), có thể đánh giá phát tán do trượt nhiễu động bằng cách sử dụng biểu thức này.
VÝ dô
Giả thiết trong một dòng triều, biên độ Us = 0,25 ms-1 trong nước có độ sâu h = 10 m.
Dưới những điều kiện phân tầng trong đó xáo trộn thẳng đứng được chặn, một giá trị tiêu biểu của hệ số xáo trộn thẳng đứng Kz là 0,0001 m2 s-1. Thời gian T đối với chu kỳ thủy triều đầy đủ là 12,42 giờ, và thời gian tính toán Tc đối với xáo trộn hoàn toàn theo độ sâu có sử dụng công thức của Okubo (tức là Tc = h2/( 2Kz)) là 28,1 giờ. Như vậy phương trình (5.37) chỉ ra rằng KxT= 23,71 m2s-1, là một độ lớn hợp lý đối với phát tán dọc mạnh trong dòng chảy trượt (mục 8.5.1).
5.3.3 Xáo trộn thẳng đứng nhanh
Nếu xáo trộn thẳng đứng đủ nhanh để làm trơn biến dạng phát sinh bởi sự trượt dòng chảy, trước khi dòng chảy đảo ngược có thể làm thay đổi dạng phân bố, thì Tc < T và có thể dẫn xuất một biểu thức khác đối với hệ số khuyếch tán hiệu quả. Nhớ rằng với sự xáo trộn rất nhanh, Tc <<T, và có thể loại trừ tất thảy hiệu ứng trượt. Bowden (1965) thể hiện rằng, khi xem xét những điều kiện trung bình của hơn một hoặc nhiều chu kỳ thủy triều, hiệu ứng trượt có thể tạo ra biểu thức tổng quát có dạng
) ( ) 2 (
1 2 2
F K f
h
K U v
zm s
xT . (5.38)
Việc so sánh kết quả này với phương trình (5.20) cho thấy rằng hệ số trong dòng chảy nhiễu động là xấp xỉ một nửa hệ số trong trượt ổn định, nếu biên độ vận tốc của dòng chảy tuần hoàn lấy bằng vận tốc của dòng chảy ổn định và nếu những tham số khác, như độ sâu nước, cũng như vậy.
Nếu dòng chảy nhiễu động có phân bố tuyến tính giữa mặt nước và đáy sao cho biên độ mặt nước là 2Us và mức độ xáo trộn thẳng đứng giả thiết không đổi theo độ sâu, thì
phương trình (5.38) có thể được viết như
z s
xT K
h K U
60
2 2
. (5.39)
Như vậy độ khuếch tán kết hợp do rối thuần tuý, sự trượt trạng thái ổn định và sự trượt nhiễu động có thể biểu thị bằng
z 2 2 s z 2 2 s x
xS 60K
h U K 30
h K u
K . (5.40)
Hình 5.12 Sự phụ thuộc của hệ số phát tán vào tỷ lệ của thời gian xáo trộn thẳng đứng Tc so với chu kỳ thủy triều T. (Theo Smith, 1982, được sự đồng ý của Cambridge University Press)
Điều này giả thiết rằng những phân bố nhiễu động và ổn định là tuyến tính, và rằng Kz không đổi qua chu kỳ dao động. Một khi dòng chảy trong trạng thái thủy triều có vẻ tương đối lớn so với trong dòng chảy ổn định, sự trượt nhiễu động có lẽ là nguyên nhân nổi bật của phát tán, dưới điều kiện giả thiết rằng xáo trộn thẳng đứng tương đối nhanh.
VÝ dô
Xét dòng triều trong một vùng ven bờ xáo trộn mạnh, trong đó dòng chảy mặt ở trạng thái ổn định us = 0,05 ms-1, biên độ của dòng chảy nhiễu động tại mặt nước Us = 0,25 ms-1, toàn bộ độ sâu h = 10 m, và những hệ số xáo trộn Kz = 0,01 m2s -1 và Kx =0,05 m2s-1. Phương trình (5.40) phải cho Kxs = 0,05 + 0,83 + 10,42 = 11,30 m2s-1, như vậy trong ví dụ này thể hiện ưu thế của trượt nhiễu động khi những độ lớn xáo trộn và dòng chảy tiêu biểu cho nước ven bờ được chọn.
5.3.4 Hiệu ứng của thay đổi vận tốc xáo trộn
Smith (1982) dẫn xuất một biểu thức cho hệ số phát tán hiệu quả trong dòng chảy nhiễu động, trong đó phân bố vận tốc lôgarit thay cho tuyến tính, và đã chỉ ra hệ số này biến đổi theo tỷ lệ của thời gian xáo trộn đối với chu kỳ dao động ra sao (hình 5.12). Hình vẽ chỉ ra rằng hệ số phát tán cực đại Kxemax dự đoán xuất hiện khi thời gian cho xáo trộn thẳng đứng bằng chu kỳ dao động.
Khi xáo trộn thẳng đứng rất nhanh, Tc nhỏ so với độ dài của chu kỳ thủy triều và hiệu ứng trượt lên phát tán là không đáng kể. Khi thời gian cho xáo trộn thẳng đứng hoàn toàn tăng lên, hiệu ứng trượt trở nên đáng kể và hệ số phát tán tăng đến giá trị cực
đại. Với những mức độ xáo trộn thậm chí chậm hơn, chuyển động nhiễu động hiệu chỉnh sự biến dạng do trượt trước khi xáo trộn có thời gian để đồng nhất cột nước. Như vậy, sự trượt trở nên ít hiệu quả hơn trong việc phát sinh phát tán và Kxe giảm nhiều hơn cùng việc tăng thời gian xáo trộn. Smith giải thích rằng lý thuyết này có thể phù hợp với một
cửa sông 'sâu' trong đó có xáo trộn tương đối nhỏ của vật chất qua cửa sông trong một chu kỳ thủy triều, như thế đóng góp từ trượt nhiễu động hướng ngang có thể bỏ qua.