Chương 8. Nghiên cứu những hệ thống xáo trộn mạnh
8.4 Phát tán có quy mô thời gian trung bình
8.4.2 Những hệ số khuyếch tán hiệu quả
Khuếch tán không đổi
Trong một vài thực nghiệm chất chỉ thị trước đây, khi sử dụng một màu phát quang hoặc chất chỉ thị phóng xạ, những đường đẳng nồng độ giả thiết đối xứng qua tâm khi lấy như một tập hợp trung bình. Không dự định phân biệt những mức độ lan rộng dọc và vuông góc với dòng chảy trung bình. Mỗi đường đẳng trị với nồng độ c (hình 8.13) được gán một bán kính hiệu quả re, cho nên diện tích thực tế a nằm bên trong đường đẳng trị bằng a = re2
Đối với một độ sâu đơn vị, khối lượng của chất giữa những đường đẳng trị có bán kính re và re + dre là 2c re dre. Do đó biến thiên cr2 của phân bố toàn bộ lấy bằng
0 0
3
σ2rc credre/ credre. (8.23) Những kết quả thực nghiệm được phân tích bằng cách này và đã thu được những giá trị đối với hệ số khuyếch tán hiệu quả từ quan hệ
dt dr 2 K 1
2 rc
r . (8.24)
Hình 8.13 Những định nghĩa sử dụng trong tính toán độ biến thiên của đốm loang chất chỉ thị theo vòng tròn. (Theo Bowden, 1983, được sự đồng ý của John Wiley)
Một sự đơn giản hóa tổng quát giả thiết rằng hệ số Kz không đổi. Cần nhớ rằng hệ số khuyếch tán không đổi được dự đoán cho lan truyền trong một trường rối đồng nhất
đẳng hướng khi tất cả các xoáy hiện có đều tham gia vào quá trình khuếch tán (mục 4.3.4). Độ khuếch tán không đổi đã được giả thiết bởi Okubo (1971) khi xác định lan truyền hướng ngang của một đốm loang. Gần đây nhất, kết quả từ những thực nghiệm màu thực hiện tại các tuyến cửa sông và những vị trí gần bờ biển Ireland được khảo sát
với cùng cách như vậy (Elliott và nnk., 1997). Bảng 8.2 bao gồm các giá trị hệ số phát tán ngang toàn bộ đã nhận được. Giá trị trung bình của Kh nằm trong phạm vi 0,05 -1,69 m2s-
1 là 0,47 m2s-1 .
Bảng 8.2 Hệ số phát tán trong nước ven bờ và cửa sông Ai len. (Theo Elliott và nnk., 1997, được sự đồng ý của Academic Press)
Vị trí Kh
(m2s-1)
Kxe (m2s-1)
Kye (m2s-1)
u (ms-1)
h (m)
Kxe/uh
Lough Foyle 1,25 4,49 0,35 0,55 7,5 1,09
Cushendall 0,28 1,30 0,06 0,40 15,0 0,22
Cushendall 0,38 1,92 0,07 0,35 15,0 0,36
Belfast Lough 0,10 0,37 0,03 0,30 8,0 0,15
BelfastLough 0,12 0,33 0,04 0,25 8,0 0,16
Strangford Lough 0,44 1,19 0,16 0,50 10,0 0,24
Strangford Lough 0,63 2,13 0,19 0,12 6,5 2,73
Vịnh Dundalk 0,26 0,63 0,11 0,30 5,0 0,42
Vịnh Dundalk 0,21 0,50 0,09 0,20 5,0 0,50
Courtown 0,96 3,72 0,25 0,45 9,0 0,92
Courtown 0,94 4,55 0,19 0,42 8,6 1,26
Kinsale 0,79 2,85 0,22 0,35 5,5 1,48
Kinsale 1,69 7,17 0,40 0,25 5,5 5,21
Vịnh Bantry 0,93 3,80 0,23 1,00 8,5 0,44
Vịnh Bantry 0,66 2,09 0,21 0,75 8,5 0,33
Vịnh Westport 0,51 1,36 0,19 0,40 3,5 0,97
Vịnh Westport 0,39 1,05 0,15 0,25 3,5 1,20
Đảo Achill 0,35 0,53 0,23 0,35 4,5 0,34
Đảo Achill 0,05 0,15 0,02 0,35 5,5 0,08
Cảng Donegal 0,56 3,18 0,10 0,65 3,0 1,63
Khi những đốm loang vật chất có xu hướng trải dọc theo dòng chảy, có thể rút ra nhiều thông tin hơn từ những thực nghiệm chất chỉ thị bằng việc khảo sát những thay đổi
x
2 và y2 riêng rẽ. Một số nhà khảo sát đã vẽ những biến thiên này là một hàm số theo thời gian và tính toán những hệ số khuyếch tán hiệu quả, bằng cách sử dụng giả thiết độ khuếch tán không đổi. Những thực nghiệm khuyếch tán trong nước vùng ven bờ Ai len cho ta những giá trị Kxe và Kye trong bảng 8.2. Những giá trị đối với những vận tốc tiêu biểu của dòng triều u và độ sâu nước h cũng cho trong bảng. Kye biến đổi giữa 0,03 và 0,40 m2s-1 và giá trị trung bình đối với thực nghiệm là 0,18 m2s-1. Những giá trị Kxe có bậc độ lớn lớn hơn những giá trị Kye và giá trị trung bình đối với Kxe là 2,11 m2s-1.
Thực nghiệm đã được chỉ đạo trong khoảng thời gian những chu kỳ thủy triều riêng biệt tại một số vị trí ven bờ và cửa sông ở miền Nam nước Anh (Talbot và Talbot, 1974). Trong mỗi trường hợp, chất chỉ thị màu phát quang được thải để hình thành những đốm loang rời rạc và những phân bố kết quả được lấy mẫu với chu kỳ khoảng 6 giờ, nhưng trong một vài tình huống việc theo dõi tiếp tục ngoài thời gian 12,5 giờ của một chu kỳ bán nhật triều. Bảng 8.3 liệt kê một vài giá trị nhận được đối với những hệ số phát tán hướng ngang và dọc, tất cả nhận được bằng cách sử dụng giả thiết hệ số không
đổi.
Bảng 8.3 Hệ số phát tán trong nước ven bờ và cửa sông nước Anh. (Theo Talbot và Talbot, 1974,
được sự đồng ý của Hội đồng Quốc tế Thám hiểm Biển)
Khu vực Thời đoạn (giê)
Thêi gian
khuếch tán ( x104s )
Kxe (m2s-1)
Kye (m2s-1)
Kxe/umh
Cửa sông Fal 3,0 0,93 1,6 0,16
8,0 1,26 0,8 —
7,5 2,49 3,6 0,14
7,5 1,20 — 0,29
Lòng dẫn Solent 7,0 0,54 3,3 0,02
1,62 22,0 0,40 1,2
6,0 0,78 16,7 0,06
1,98 97,4 0,17 5,5
6,5 0,56 2,5 0,10
2,00 6,1 0,17 0,6
Cửa sông Swale 7,0 1,20 3,5 — 1,2
1,35 7,0 — 2,3
Roach 5,5 1,8 10,6 0,63 1,7
Colne 5,5 1,8 14,2 0,75 2,8
Breydon Water 1,0 0,09 1,39 0,05
0,18 1,19 0,03
0,27 1,79 0,04
Bê Lowestoft 4,0 0,81 13,7 0,45
1,29 15,4 0,28 1,3
7,0 0,78 6,3 0,59
1,22 10,9 0,35 0,9
7,0 0,86 51,8 0,42
1,29 119,0 0,21
1,67 142,0 0,60
Những kết quả này cho thấy một mức độ biến thiên cao. Những giá trị Kxe tăng một cách không đều theo sự tăng thời gian khuyếch tán, làm cho nó khó xác định theo bất kỳ quan hệ nào với quy mô xoáy. Những giá trị Kxe lớn hơn Kye một bậc, và trong nước ven bờ ngoài khơi thành phố Lowestoft, sự khác nhau này vượt quá hai bậc độ lớn tại những thời gian khuyếch tán dài hơn. Bảng này, ít nhất cho ta ấn tượng nào đó về phạm vi rộng lớn của giá trị Kxe so với Kye, ví dụ ngoài khơi Lowestoft tỷ lệ của cực đại với cực tiểu Kxe là 22 trong khi tỷ lệ tương ứng đối với Kye chỉ là 3. Điều này có thể phản ánh tính biến thiên thành phần dọc của trượt trong dòng triều. Điều thú vị là, giá trị trung bình đối với Kye tương tự như trong vùng ven bờ nước Anh và Ai len, nằm trong khoảng 0,18 và 0,28 m2s-
1, tương ứng.
Vận tốc khuyếch tán
Joseph và Sendner (1958) giả thiết rằng đối với một đốm loang đối xứng qua tâm,
độ khuếch tán có thể lấy tỷ lệ thuận đối với bán kính đốm loang. Như vậy Kr liên quan tuyến tính với quy mô khuyếch tán và có thể biểu thị như sau
Kr Pr (8.25)
trong đó P là 'vận tốc khuyếch tán' độc lập với r. Từ phương trình (8.24) thấy rằng giả
thiết này là tương đương với việc re2 r2. Sử dụng dữ liệu những phân bố tự nhiên đã
xảy ra của chất hoà tan, Joseph và Sendner cho thấy với những quy mô trong phạm vi từ 10 km đến 1500 km, quan hệ tuyến tính này của độ lệch chuẩn so với thời gian được tuân thủ khá tốt. Giá trị của P nhận được là 0,01 0,005 ms-1.
Một vài lý thuyết mô tả thống kê khuyếch tán rối, và sự đóng góp do trượt dòng chảy, đã liên kết sự biến thiên với số mũ nào đó của thời gian khuyếch tán (mục 4.3.5). Để giải thích số liệu hiện trường và đưa ra sự so sánh với những dự đoán lý thuyết, tiện lợi hơn cả là dẫn xuất một biểu thức tổng quát giữa số mũ của thời gian và độ khuếch tán.
Công trình của Kenneth Bowden (hình 8.14) đóng góp rất lớn cho những hiểu biết hiện tại về rối và phát tán trong các cửa sông và nước ven bờ. Trong những nghiên cứu trước đây của mình, ông bị lôi cuốn vào việc thực hiện một vài phép đo trực tiếp đầu tiên của rối trong dòng triều. Điều này dẫn ông đến việc xem xét hiệu ứng của rối lên quá
trình pha loãng, lúc đầu sử dụng độ mặn như một chất chỉ thị để định lượng những mức
độ phát tán và về sau sử dụng những chất chỉ thị màu để nghiên cứu những khía cạnh chi tiết hơn của các cơ chế.
Kenneth Bowden là một con người trầm tĩnh và cẩn trọng, được cả nhân viên lẫn sinh viên yêu quý bởi sự thân ái và hỗ trợ lớn lao của ông. Ông là con người ít nói và việc nhận được những quan điểm của ông về một chủ đề nghiên cứu thường đòi hỏi nhiều nỗ lực từ phía người hỏi. Tiến sỹ David Krauel nhớ lại, khi mới là một nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của giáo sư Bowden, ông được cử hộ tống con người học thức này đến Manchester bằng tàu hỏa. Bowden đắm chìm trong tư duy và họ ngồi yên lặng khá lâu.
Để thử bắt chuyện, Krauel lưu ý Bowden rằng là một người viết mật mã trong thời gian Chiến tranh Thế giới lần thứ II chắc ông phải có nhiều câu chuyện hay để kể. Bowden lặng lẽ trả lời, 'ồ, vâng'. Hành trình lại tiếp tục một cách lặng lẽ!
Hình 8.14 Kenneth Bowden. (Được sự đồng ý của Dr Martin Preston, Khoa Các Khoa học về Trái đất, Trường đại học Liverpool)
Giả thiết có phát tán từ một nguồn điểm, để y2 = 0 tại thời điểm t = 0, biến thiên hướng ngang có thể biểu thị như
p 2 y at
σ (8.26)
trong đó a và p là những hằng số. Hệ số khuếch tán Ky có thể biểu thị như
p 1
2 y
y pt
2 1 dt d 2
K 1 σ a
. (8.27)
Thay thế t bằng cách sử dụng phương trình (8.26), thấy rằng
Ky by2(p1)/p bny (8.28) trong đó
p 2 1
b / a1/p (8.29)
và
p n 2(p1)
. (8.30)
Những thực nghiệm thải màu liên tục trong biển Ai len tại những vị trí ở vịnh Red Wharf và vịnh Liverpool cho thấy những biến thiên hướng ngang quan trắc được có thể khớp với những định luật hàm mũ là 1,5 hoặc 2 (tức là p = 1,5 hoặc p = 2), không có sai sót đáng kể (Bowden và nnk.,1974). Ngược lại, có sai sót đáng kể nếu dữ liệu được so với những số mũ là 1 hoặc 3. Hơn nữa, màu thải liên tục trong phía Nam Biển Bắc, ngoài khơi bờ biển Suffolk, cho ta biến thiên hướng ngang tăng lên ứng với số mũ thời gian là 1,84 (Elliott và Wallace, 1989). Những suy luận từ các thí nghiệm là, trong các quy mô
thời gian khuyếch tán giới hạn từ 1 phút đến 3 giờ, biến thiên hướng ngang tuân theo
định luật hàm mũ bình phương của thời gian, hoặc hơi chậm hơn. Với giả thiết độ biến thiên tuân thủ định luật bình phương hoàn chỉnh theo thời gian (tức là p=2), từ phương trình (8.28) thấy rằng hệ số phát tán tăng tuyến tính với quy mô y của trường lan truyền (tức là n=1). Khi p = 2, phương trình (8.27) có thể viết như
Ky atB2t (8.31)
trong đó B là ‘vận tốc khuyếch tán' đối với lan truyền hướng ngang và tương đương với tham số P giả thiết bởi Joseph và Sendner đối với phát tán ngang hướng tâm.
Bảng 8.4 Vận tốc và hệ số khuếch tán ngang đối với biển Ai len. (Theo Bowden và nnk., 1974,
được sự đồng ý của Academic Press)
Khu vực Năm Dòng chảy Vận tốc khuếch tán Ky
trung b×nh (ms-1)
Cấp độ Trung bình (m2s-1) Vịnh Red Wharf 1969 0,33 0,007-0,018 0,011 0,43 Vịnh Red Wharf 1969 0,33 0,007-0,011 0,007 0,20 Ngoài khơi Cumbria 1969 0,52 0,003-0,0026 0,012 0,52 Vịnh Liverpool 1970 0,58 0,013-0,016 0,014 0,76 Vịnh Liverpool 1970 0,72 0,008-0,013 0,012 0,52 Ngoài khơi Isle of
Man
1971 0,22 0,004-0,008 0,006 0,13
Cần chú ý rằng mối phụ thuộc của Ky với quy mô về nguyên lý là thích hợp cho việc liên hệ nó với thời gian khuyếch tán; Taylor (1959) đã chỉ ra rằng cần cho hệ số khuyếch tán theo thời gian này thành hai mức độ khuyếch tán khác nhau tại cùng một điểm trong không gian, điều này phá vỡ nguyên lý có thể chồng lên nhau của những phân bố nồng
độ. Sự phản bác đối với hệ số phụ thuộc thời gian là hợp lý cho một quá trình thuần túy khuếch tán nếu nó độc lập với kích thước rối, bởi vì tất cả các xoáy đều đang tham gia vào tác động khuếch tán của rối. Tuy nhiên, trong thời gian tăng trưởng một đốm loang, như
được thảo luận trong mục 4.3.3, sự tách ra của những phần tử độc lập được thống trị bởi các xoáy lớn hơn ngày càng tăng. Chỉ khi độ dãn cách của những phần tử vượt quá quy mô của các xoáy lớn nhất đang có mặt trong rối, thì đạt đến giai đoạn khuếch tán, trong
đó Ky không đổi. Nếu đã đạt đến giai đoạn này sẽ thấy rằng có sự phụ thuộc của Ky vào
thời gian, những yếu tố khác như trượt dòng chảy trung bình hoặc những điều kiện không ổn định do thay đổi thủy triều, phải đóng góp cho cơ chế phát tán.
Bảng 8.5 Tham số xáo trộn xác định trong phía Nam Biển Bắc. (Được in lại theo Morales và nnk., 1997, víi sù cho phÐp tõ Elsevier Science Ltd, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington 0 X5 1 GB,
Vương quốc Anh)
Ngày Khuếch tán ngang Khuyếch tán đứng
tháng a p Kye a p Kz u
(m2s-1) (m2s-1) (ms-1)
22/5/91 44,2 1,27 0,0188 - - 0,0021 0,33
22/5/92 0,5 1,82 0,0198 93,4 0,95 0,0032 0,60
23/5/91 0,01 2,21 0,0258 201,8 0,70 0,0009 0,38
23/5/91 - - 0,0169 111,0 0,92 0,0030 0,69
18/6/91 0,01 2,57 0,0338 2945,1 0,58 0,0075 0,98 19/6/91 198,4 1,19 0,0438 2703,9 0,54 0,0042 0,59
20/6/91 3,8 1,60 0,0194 - - 0,0017 0,62
20/6/91 0,7 1,85 0,0273 - - 0,0011 0,78
07/8/91 6,4 1,53 0,0161 1733,7 0,54 0,0029 0,41
07/8/91 - - 0,0133 0,8 1,57 0,0024 0,80
08/8/91 - - 0,0199 - - 0,0063 0,17
25/9/91 29,6 1,33 0,0187 - - 0,0032 0,14
25/9/91 9,1 1,66 0,0514 166,4 0,94 0,0056 0,70
26/9/91 17,3 1,53 0,0318 104,6 1,05 0,0078 0,81
26/9/91 16,1 1,66 0,0613 0,0143 1,05 0,0099 0,92
27/9/91 52,6 1,40 0,0380 198,6 0,95 0,0076 0,96
23/7/92 0,1 2,22 0,0227 - - 0,0036 0,69
24/7/92 283,7 1,07 0,0227 - — 0,0041 0,59
25/7/92 0,2 2,17 0,0268 510,2 0,67 0,0027 0,56
26/7/ 92 - - 0,0298 - - 0,0026 0,61
Bảng 8.4 giới thiệu một vài giá trị đối với vận tốc khuếch tán ngang B xác định từ thực nghiệm thải màu liên tục trong nước xáo trộn mạnh tại vịnh Red Wharf và bờ biển Cumbrian trong biển Ai len (Bowden và nnk., 1974). Giá trị trung bình là 0,011 ms-1 đối với vịnh Red Wharf, tương tự như dẫn xuất bởi Joseph và Sendner (1958). Lấy thời gian khuyếch tán là 1 giờ, điều này ứng với hệ số khuếch tán ngang là 0,43 m2s-1, có thể so sánh với những giá trị nước ven bờ cho trong bảng 8.2 và 8.3. Giá trị cao hơn ở vịnh Liverpool trích dẫn trong bảng 8.4 có thể phản ánh một điều là những vùng nước này chưa được xáo trộn mạnh và sự phát tán sẽ có vẻ được trợ giúp vì trượt dòng chảy được tăng cường.
Một đợt thải liên tục chất chỉ thị phát quang được nghiên cứu trong vùng nước ngoài khơi phía Nam Biển Bắc (Morales và nnk., 1997). Mặc dầu những thực nghiệm này rất tốt ở ngoài khơi bờ biển, những kết quả cho ta sự so sánh thú vị với những giá trị được trích dẫn ở trên. Bảng 8.5 trình bày những tham số xáo trộn được xác định đối với khuyếch tán cả hướng ngang lẫn thẳng đứng. Thực nghiệm thực hiện trong những điều kiện được khuấy kỹ do tác động gió và sóng, và cột nước nói chung là đồng nhất. Bảng trên đưa ra những tham số a và p đã cho trong phương trình (8.26) đối với những tham số phát tán hướng ngang và những tham số tương ứng đối với khuyếch tán thẳng đứng.
Những giá trị hằng số (Fick) đối với Kye và Kz xác định bởi việc làm khớp với đường p = 1 thông qua các tập hợp dữ liệu.
Đối với lan truyền hướng ngang, độ lớn của p nằm trong phạm vi từ 1,07 đến 2,58, với giá trị trung bình là 1,8. Điều này có nghĩa là mức tăng độ biến thiên là tương tự như đã
thấy từ những sự thải màu liên tục trong biển Ai len (Bowden và nnk., 1974). Những giá
trị Kye lên xuống từ 0,01 và 0,06 m2s-1, có bậc độ lớn nhỏ hơn những giá trị được thông báo
đối với vùng ven bờ (Talbot và Talbot, 1974; Bowden và nnk., 1974; Elliott và nnk., 1997). Đối với khuyếch tán thẳng đứng, p lên xuống từ 0,54 và 1,57 và có giá trị trung bình là 1,06, ứng với khuyếch tán Fick. Độ lớn của Kz biến đổi giữa 0,0009 và 0,0099 m2s-1 mà hoàn toàn thật sự là một phạm vi khá rộng đối với điều kiện xáo trộn mạnh như vậy.
Như đã thấy trong mục 4.3.5, một định luật hàm mũ lập phương (tức là p = 3) đối với mức tăng độ biến thiên cũng được dự đoán từ lý thuyết tách hạt của Richardson.
Những kết quả thực nghiệm chất chỉ thị (Bowden và nnk., 1974; Elliott và Wallace, 1989) suy luận rằng có thể có sự tăng độ khuếch tán theo quy mô, nhưng nó không nhanh như
được giả thiết bởi lý thuyết của Richardson. Đã thấy ở trên rằng giá trị p = 2 nói lên sự thích ứng tuyến tính với quy mô (tức là n = l), và giá trị p = 1,5, ứng với phía biên thấp của kết quả thực nghiệm, nói lên rằng khuyếch tán tuân theo định luật 'hai phần ba' của quy mô (tức là n = 2/3). Những giá trị này nằm trong phạm vi của định luật hàm mũ được giả thiết bởi Bell (1985) đối với nước gần bờ.