Hiệu ứng của kích thước xoáy

Chương 8. Nghiên cứu những hệ thống xáo trộn mạnh

8.3 Phát tán quy mô thời gian ngắn

8.3.2 Hiệu ứng của kích thước xoáy

Định lượng hiệu ứng của quy mô xoáy

Quy mô xoáy trở nên đặc biệt quan trọng nếu có một kích thước cực đại đối với xoáy có mặt trong trường rối. Hình 8.3 minh họa vai trò đang thay đổi của các xoáy có quy mô đặc biệt trong việc đẩy mạnh sự pha loãng. Nếu quy mô ban đầu của chất phát tán tương tự như quy mô xoáy, thì các xoáy này chỉ vận chuyển đốm loang và không tạo ra phát tán. Mặt khác, nếu quy mô đốm loang chỉ lớn hơn quy mô xoáy một ít, thì tác

động biến dạng của các xoáy trợ giúp quá trình lan truyền. Khi đốm loang lớn hơn quy mô

xoáy đặc trưng, các xoáy đóng vai trò khuếch tán trong quá trình pha loãng.

Hình 8.3 Thay đổi vai trò của các xoáy có quy mô đặc trưng lên sự vận chuyển và lan truyền một đốm loang

Những dòng triều dẫn đến sự hình thành các xoáy với một phạm vi rộng lớn về kích thước. Ngoài hiệu ứng của ma sát với đáy biển, nước thủy triều có thể được khuấy bởi tác động của sóng. Hình dạng đáy biển cưỡng bức chuyển động của nước và làm cho

dòng chảy chảy song song với những đường đồng mức, phát sinh rối bởi ma sát hướng vuông góc với các biên. Những chướng ngại, như những đảo nhỏ hoặc những mũi đá, có thể phân chia dòng chảy, tạo nên các vết xoáy để hình thành những xoáy có quy mô lớn hơn (mục 2.3.6). Nói chung kích thước xoáy trong hướng thẳng đứng được ngăn chặn bởi sự kề cận với mặt nước và đáy biển, cho nên những quy mô thẳng đứng nhỏ hơn nhiều những quy mô trong mặt phẳng nằm ngang.

Hình 8.4 Hình vẽ trên tỷ lệ lôga - lôga sự biến đổi hệ số khuếch tán ngang Ky theo độ lệch chuẩn của chiều rộng vệt loang. (Dựa theo Bowden and Lewis, 1973, được sự đồng ý của Academic Press)

Trong mục 4.3.3 đã phác hoạ khái niệm mô tả khuyếch tán ở dạng phân tách những cặp hạt. Giả thiết rằng mức độ tách ra của một cặp hạt tại một thời điểm bất kỳ tỷ lệ với khoảng cách đi ra của chúng, Richardson chỉ ra rằng hệ số khuếch tán tỷ lệ với số mũ bốn phần ba của độ lệch chuẩn l do hạt dịch chuyển khỏi vị trí trung bình của chúng.

Điều này được biểu thị trong phương trình (4.30) như sau

3

l4

K a / (8.6) a là hằng số, được Richardson đánh giá là 0,2.

Câu hỏi xuất hiện là, liệu định luật ‘bốn phần ba', hoặc bất kỳ định luật nào khác của quy mô mới có hiệu ứng đáng kể lên sự lan rộng chất hoà tan hoặc chất lơ lửng trong biển. Richardson hy vọng giải thích phạm vi rộng của hệ số khuyếch tán theo Fick (tức là hằng số) được thấy trong khí quyển, và lý thuyết quy mô xoáy của ông có vẻ có câu trả lời.

Tuy nhiên, phạm vi của những quy mô sử dụng bởi Richardson trong hình vẽ bốn phần phần ba của ông khá kinh ngạc. Ông xem xét mọi điều từ khuếch tán phân tử có quy mô

5 x 10 -2 cm đến những áp thấp có quy mô 1000 km.

Như đã chỉ ra trong mục trước, những hoàn cảnh thuận tiện nhất đối với rối đồng nhất và đẳng hướng là những hoàn cảnh cho những giai đoạn sớm của một vệt loang chất chỉ thị. Hình 8.4 cho thấy một hình vẽ của hệ số khuếch tán ngang Ky theo quy mô xoáy,

được thể hiện bằng độ lệch chuẩn ngang một vệt loang liên tục của chất chỉ thị màu trong biển Ailen; đây là một trong số các nghiên cứu loại này đã được mô tả bởi Bowden và nnk.

(1974). Những kết quả giả thiết rằng mức lan truyền ứng với một hằng số trong định luật hàm mũ là 2,4, tức là xấp xỉ định luật 5/2, thay vì định luật 4/3 của Richardson. Mặc dầu

đây chỉ là một ví dụ, nó đáng để nhấn mạnh rằng định luật hàm mũ của quy mô được thấy trong môi trường biển không thể giả thiết luôn luôn tuân theo mức độ lý thuyết.

Hình 8.5 Akira Okubo. (được sự đồng ý của Giáo sư Malcolm Bowman, Trường đại học Quốc gia New York, Stony Brook)

Khái niệm của định luật quy mô chỉ là một trong số nhiều khía cạnh phát tán trong biển được nghiên cứu về mặt lý thuyết và thực hành bởi nhà khoa học lỗi lạc Akira Okubo (hình 8.5). Một người đàn ông dễ tiếp xúc và từ tốn, Akira Okubo luôn luôn dành thời gian để thảo luận về khoa học với những đồng nghiệp và những sinh viên, chia sẻ sự

đam mê của ông về thế giới tự nhiên. Ông không hạn chế những nghiên cứu của mình về phát tán trong biển mà áp dụng những khái niệm khuyếch tán rối cho nhiều ứng dụng đa dạng như đám muỗi vằn trong những cánh đồng ngô của Minnesota, hoặc sự di trú của các con cáo từ chỗ ở nguyên bản của chúng đến một nơi mới. Những cách tiếp cận đối với những vấn đề như vậy, bao gồm cả phép mô hình hóa khuyếch tán chất dinh dưỡng trong biển, được phác thảo trong sách giáo khoa kinh điển của ông (Okubo, 1980). Để thấy rằng

nếu có một định luật tổng quát cho việc xác định quy mô thích hợp trong biển, Okubo (1971) đã đối chiếu dữ liệu từ một số thực nghiệm thải màu tức thời. Dữ liệu này là từ những vùng nước ở xa bờ biển phía Đông của Hoa Kỳ và ngoài khơi bờ biển California.

Okubo cũng sử dụng các kết quả từ một thực nghiệm ở phía Nam Biển Bắc trong đó 2000 kg màu rhodamine - B được thải và được theo dõi với chu kỳ ba tuần. Chỉ các dữ liệu đó là

được chọn, trong đó đốm loang kết quả của màu còn thấy rõ ở xa bờ biển nên chúng có thể giả thiết vô hạn trong mặt phẳng nằm ngang.

Okubo tính toán độ biến thiên lệch tâm h2 bằng cách sử dụng biến thiên phân bố nồng độ đo dọc theo (x2) và vuông góc với (y2) dòng chảy trung bình, do đó

y x

h  

2 2 . (8.7)

Hình 8.6 Diễn biến toàn bộ đốm loang theo thời gian phát tán. (Theo Okubo, 1971, với sự cho phép thân thiện của Elsevier Science Ltd, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington 0X5 1GB, Vương quốc Anh)

Mặc dầu chúng không thể coi như những khảo sát quy mô thời gian ngắn một cách chặt chẽ, cách tiếp cận có một tiền đề tương tự ở chỗ không có sự phân biệt nào thể hiện giữa lan truyền dọc và ngang (tức là không có đốm loang hình êlíp do sự trượt dòng chảy). Hiệu ứng của trượt, mà chắc rằng đã có mặt, được Okubo lưu ý đến như một phần

ảnh hưởng của kích thước rối lên sự lan truyền đốm loang, như được thảo luận trong mục 4.3.3.

Hình 8.7 Sự biến đổi của hệ số phát tán toàn bộ đốm loang theo quy mô độ dài. (Theo Okubo, 1971, với sự cho phép thân thiện của Elsevier Science Ltd, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington 0X5 1GB, Vương

quèc Anh)

Những giá trị h2 được sử dụng để tính toán hệ số phát tán ngang Kh từ quan hệ

Kh th

4

2

 (8.8)

trong đó t là thời gian ứng với mỗi giá trị h. Giả thiết rằng vào thời gian khuyếch tán trung bình t/2, độ lệch chuẩn trung bình là h/ 2. Okubo cũng giả thiết quy mô độ dài của khuyếch tán lấy bằng l = 3 h.

Một hình vẽ của h2 theo t lên một tỷ lệ lôga - lôga (hình 8.6) cho ta quan hệ

34 2 6 2 1,08 10 t ,

h 



  (8.9)

trong đó h tính bằng mét và t tính bằng giây.

Hình 8.8 Quan hệ xấp xỉ bốn phần ba dựa vào những thực nghiệm đốm loang và vệt loang màu ngoài khơi vùng ven bờ California. (Theo Foxworthy, 1968, Allan Hancock Foundation, Đại học Nam California)

Một hình vẽ của Kh theo quy mô l với cùng dữ liệu đó (hình 8.7) cho ta quan hệ

15 1

10 4

05

2, l,

Kh    (8.10)

trong đó l tính bằng m và Kh tính bằng m2 s-1.

Như vậy, định luật hàm mũ của quy mô được suy luận bởi Okubo (tức là 1,15) nhỏ hơn so với giá trị lý thuyết là 1,33 giả thiết bởi định luật hàm mũ 'bốn phần ba' của Richardson (mục 4.3.3). Vì dữ liệu sử dụng bởi Okubo trải qua phạm vi thời gian từ khoảng một giờ đến một tháng và quy mô độ dài từ 100 m đến 100 km, trong đó những

điều kiện phải khác với ổn định và đẳng hướng, điều đáng ngạc nhiên là những kết quả

xuất hiện tuân theo một định luật đơn.

Kể từ khi lý thuyết của Richardson được đề xuất, có nhiều mối quan tâm trong việc kiểm tra tính hợp lệ của nó trong môi trường tự nhiên. Một số nhà khảo sát nước tự nhiên và khí quyển đã thực hiện các xác định định luật hàm mũ; chúng thường cho ta số mũ, có phần thấp hơn định luật bốn phần ba. Ví dụ, Murthy và Kenney (1974) tìm thấy

định luật hàm mũ 6/5 (tức là 1,2) từ quan trắc những biến thiên hướng ngang của các vệt loang trong hồ Lớn, và Randerson (1972) tìm thấy một số mũ tương tự là 1,17 đối với việc trải rộng đám mây của mảnh vụn hạt nhân trong khí quyển.

Những khảo sát thực hiện trong cả chu kỳ 5 năm ngoài khơi bờ biển California kèm theo những lần thải đốm loang và vệt loang chất chỉ thị (Foxworthy và nnk., 1966).

Bởi vì những thực nghiệm thực hiện dưới sự đa dạng của những điều kiện hải dương học, có lẽ không ngạc nhiên là định luật hàm mũ của quy mô bắt nguồn từ tất cả dữ liệu là chưa thể xác định. Tuy nhiên, Foxworthy đã thấy rằng trong nhiều thực nghiệm của ông ngoài bờ biển Califomian, biến thiên hướng ngang tỷ lệ theo thời gian, nói lên rằng Ky không đổi. Ông lý luận rằng, trong những trường hợp đó, thậm chí những quy mô rối lớn nhất đã bắt đầu tham gia vào quá trình khuếch tán, và biến thiên hướng ngang y0 tại lúc bắt đầu giai đoạn này của lan truyền phải tỷ lệ với kích thước xoáy cực đại có mặt trong trường rối. Một hình vẽ Ky theo y0 từ những thực nghiệm khác nhau, rõ ràng ứng với những trường rối với các quy mô xoáy cực đại khác nhau, hình như hỗ trợ định luật hàm mũ bốn phần ba với độ lệch chuẩn trong phạm vi từ khoảng 8 đến 80m (hình 8.8). Vì

chiều rộng của phân bố Gauss xấp xỉ bốn lần độ lệch chuẩn của nó (mục 6.2), phạm vi này ứng với những chiều rộng giữa 30 m và 320 m.

Tuy nhiên, kết quả từ những thực nghiệm hiện trường phải được phân tích cẩn thận để bảo đảm rằng chúng chưa bị ảnh hưởng quá mức bởi giả thiết thực hiện trong quy trình phân tích. Foxworthy (1968) chỉ ra rằng kỹ thuật áp dụng để thực hiện so sánh với quy mô có tầm quan trọng về mặt tiêu chuẩn. Lấy độ lệch chuẩn trung bình ym trong một khoảng thời gian là một số đo của quy mô

 2 1

2 1

y y

ym  

   (8.11)

trong đó y1,y2 là những độ lệch chuẩn trải rộng hướng ngang ở thời gian t1 và t2. Trong khoảng thời gian t1 đến t2, Ky có thể xấp xỉ bằng

( )

) (

2 1

1 2

2 1 2

2

t

Ky ty y



  

(8.12)

và biến thiên hướng ngang trung bình được tính toán từ

) 2(

1 2

1 2

2 2

y y

ym  

   . (8.13)

Nếu y2>>y1 và t2>>t1, thì những biểu thức này đơn giản thành

2 2 2

2 1 Ky ty



2 2

1

y

ym 

  . (8.14)

Nếu thời gian t2 xấp xỉ hằng số, một hình vẽ Ky theo ym đơn giản tương đương với hình vẽ của y22 theo y2. Trên hình vẽ lôga - lôga phải có một đường có độ dốc 2 so với 1, ứng với định luật hàm mũ bình phương hiển nhiên của quy mô. Hơn nữa, nếu cách tiếp cận này được sử dụng và những kết quả được vẽ theo dữ liệu nhận được từ các thực nghiệm khác nhau bao gồm những thời điểm quan trắc khác nhau một cách đáng kể, thì

sự phân tán kết quả có thể xuất hiện để hỗ trợ định luật bốn phần ba, hoặc đối với vấn đề

đó, định luật hàm mũ khác nào đó. Điều này minh họa cho sự mạo hiểm trong việc so sánh những cặp biến bao gồm một tham số chung.

Phổ năng lượng rối

Kolmogorov đề xuất rằng rối có thể xem như một dãy liên tục các kích thước xoáy, với động năng được chuyển từ các xoáy lớn hơn đến các xoáy nhỏ hơn và cuối cùng tiêu tán bởi nhớt (mục 4.3.4). Đặc tính khuyếch tán rối phụ thuộc vào sự phân bố năng lượng giữa những chuyển động rối có quy mô khác nhau. Những quy mô lớn hơn của các xoáy, ứng với những tần số dao động thấp nhất, có hầu hết năng lượng. Trong phổ đề xướng bởi Kolmogorov, các xoáy lớn này truyền năng lượng của chúng cho những quy mô xoáy ngày càng nhỏ hơn, cho đến khi cuối cùng năng lượng trở nên tiêu tán thành nhiệt bởi tác động của nhớt. Trong dải quán tính của phổ năng lượng, các xoáy gây ra khuyếch tán ngang của một chất là đẳng hướng và đồng nhất cục bộ. Những thuộc tính của các xoáy trong dải được giả thiết chỉ phụ thuộc vào mức độ cung cấp năng lượng từ các xoáy quy mô lớn hơn và mức độ tiêu tán năng lượng bởi nhớt. Để sự cân bằng được thiết lập, trong đó trường xoáy rối ở trạng thái ổn định, năng lượng phải liên tục được cung cấp cho các xoáy lớn với mức độ bằng mức độ tổn thất do nhớt.

Trong nước ven bờ, nguồn năng lượng rối có thể là đầu vào từ chuyển động thủy triều, mặt trời đốt nóng hoặc tác động gió. Ozmidov đề xướng rằng phổ năng lượng rối trong biển có thể có dạng chỉ ra trong (hình 8.9), với phạm vi cân bằng tách biệt tương ứng với những nguồn năng lượng nhập vào khác nhau. Một đặc tính cơ bản của phổ này là đối với những quy mô chỉ lớn hơn những quy mô của năng lượng nhập vào, mức năng lượng là rất thấp. Nói cách khác, quy mô xoáy của năng lượng nhập vào thể hiện các xoáy lớn nhất xuất hiện trong dải cân bằng cục bộ. ý tưởng một trường rối xoáy có quy mô xoáy cực đại nào đó là tổng quát đối với nhiều lý thuyết thống kê về khuyếch tán. Mô hình Ozmidov lấy nó làm một bước đi xa hơn bằng việc đề xuất rằng một chuỗi các trường xoáy tách biệt cùng tồn tại trong biển, mỗi trong số chúng có dải quy mô và kích thước cực đại cho riêng nó. Trong dải quán tính, lý thuyết tương tự dự đoán rằng

3 / 5 3 / 2

) 1

(k a k

E  . (8.15)

trong đó E(K) là năng lượng tại số sóng k, a1 là hằng số vạn năng và  là mức độ tiêu tán năng lượng. Định luật 'năm phần ba' của phân bố năng lượng trong trường rối đã được thể hiện bằng thực nghiệm trong cửa sông và nước ven bờ. Những giá trị tiêu biểu đối với năng lượng đầu vào là sóng gió (10 m), dao động thủy triều và quán tính (10 km) và hệ thống áp suất không khí cho hoàn lưu chung (1000 km) - chúng được chỉ ra trong hình 8.9. Tính hợp lệ về sự giải thích của Ozmidov vẫn còn bỏ ngỏ để xác minh.

Hình 8.9 Phổ của động năng rối E(l) với quy mô rối khác nhau, đề xướng bởi Ozmidov. (Theo Okubo, 1974,

được sự đồng ý của Hội đồng Quốc tế Thám hiểm Biển)

Okubo (1974) chỉ ra rằng bằng cách chia nhỏ những dữ liệu của ông thành ba cấp

độ riêng biệt và tuân thủ khái niệm giả thiết bởi Ozmidov, có sự phù hợp hợp lý cho những dự đoán dựa vào lý thuyết rối đẳng hướng cục bộ. Cách tiếp cận này dẫn đến những biểu thức liên hệ sự biến thiên với số mũ lập phương của thời gian và hệ số phát tán tuân theo định luật bốn phần ba của quy mô. Như vậy là

h2 c1t3 (8.16)

3 / 4 3 / 1

2 l

c

Kh   (8.17)

trong đó c1, c2 là những hằng số. Những giá trị của Kh được vẽ theo quy mô độ dài l cho trong h×nh 8.10.

Đối với quy mô độ dài từ 50 m đến 5 km, ứng với thời gian khuyếch tán 1 đến 12 giờ, Ozmidov (1965) đánh giá  ở mức 10-7 m2s-3. Okubo sử dụng hình này để đánh giá

hằng số c1 là 0,01. Nó cho ta những giá trị của  đưa vào bảng 8.1 đối với hai dải riêng biệt trong hình 8.10.

Một giải thích cho những mức độ tiêu tán này là: trong dải quy mô độ dài vượt quá

1 kilômet, trọng tâm của những đốm loang chất chỉ thị được định vị tại độ sâu lớn hơn so với tại dải quy mô ngắn hơn. Những quan trắc giả thiết rằng độ lớn của  giảm cùng độ

sâu, ví dụ, tại độ sâu 2 m,  thay đổi từ 5,2 x 10- 7 đến 4,5 x 10-6 m2s-3, nhưng tại 15 m,  là khoảng 1,1 x 10-7 m2s-3 (Stewart và Grant, 1962). Như vậy, những giá trị thấp hơn được xác định cho những quy mô độ dài > 1,0 km phải do sự xáo trộn liên tục xuống dưới của chất chỉ thị mà thoạt tiên được thải tại mặt biển.

Hình 8.10 Những dải phân biệt trong hình vẽ hệ số phát tán ngang theo quy mô độ dài. (Theo Okubo, 1974,

được sự đồng ý của Hội đồng Quốc tế Thám hiểm Biển)

Okubo chỉ ra rằng, mặc dầu định luật bốn phần ba đưa ra để hiểu rõ những dải tách biệt, rối trong biển vẫn còn không chắc đồng nhất hoặc đẳng hướng trên dải có quy mô

bao trùm những thực nghiệm đã làm. Ông giả thiết rằng, tối đa, rối có thể xấp xỉ đẳng hướng trong mặt phẳng nằm ngang. Liệu 'đẳng hướng ngang' có thể xuất hiện hay không