Những ví dụ phân bố vận tốc tiêu biểu

Chương 5. Quá trình phát tán trượt

5.4 Những ví dụ phân bố vận tốc tiêu biểu

5.4.1 ứng dụng của lý thuyết phát tán trượt

Phương trình (5.20) đã được sử dụng để dự đoán những giá trị hệ số phát tán ứng với một số dạng phân bố của vận tốc thẳng đứng và khuếch tán (Bowden, 1965). Thật bổ ích khi làm một bài toán tương tự, trong đó khảo sát sự thích ứng của Kxe đối với một số phân bố dòng chảy khác nhau, giả thiết đơn giản rằng Kz không đổi theo độ sâu. Trong cách tiếp cận này chỉ xét những trạng thái ổn định, chúng có thể là một xấp xỉ hợp lý khi dòng triều mạnh nhất và mức độ thay đổi vận tốc nhỏ nhất. Khi có thủy triều, những điều kiện trạng thái ổn định như vậy không còn được áp dụng, và như sẽ thấy trong Chương 8, trượt hướng ngang có thể trở nên đặc biệt quan trọng.

Một khi dẫn xuất của phương trình (5.20) là một bài tập hữu ích trong việc hiểu biết giả thiết đề ra, việc chứng minh được trình bày dưới đây là cho phân bố vận tốc tuyến tính theo độ sâu. Những ai yêu thích toán học có thể tự mình dẫn xuất lời giải này. Tuy nhiên, những ai không như vậy cần phải tiếp tục đến mục 5.4.3.

5.4.2 ứng dụng đối với phân bố vận tốc tuyến tính

Xét một phân bố tuyến tính của dòng chảy có dạng đã cho trong hình 5.5, trong đó vận tốc mặt nước là 2us và giảm đến không tại đáy. Mặc dầu hệ số xáo trộn thẳng đứng dự kiến biến đổi theo độ sâu, nó có giá trị bằng không tại mặt nước và đáy vì ở đó không có dòng chảy qua những biên này, việc đơn giản hóa giả thiết rằng Kz không đổi theo độ sâu. Thấy rằng

  

2us 1

u (5.41)

và

Const K

Kz  zm  . (5.42)

Dòng chảy trung bình độ sâu lấy bằng

s s

h

o

s z h dz u d u

h u

u       

1

0

) 1 ( 2 ) / 1 ( 1 2



 (5.43)

vì dz = h d, và độ lệch của dòng chảy so với trung bình độ sâu bằng )

2 1 ( )

1 (

2     





 s s s

v u u u u u

u . (5.44)

Từ phương trình (5.8) thấy rằng



) 1 2

(  

fv (5.45)

và vì Kz bất biến với độ sâu

g   1. (5.46)

Hàm số đơn giản này cho g() có nghĩa là hàm số F() trong phương trình (5.13) trở thành

  '

ζ

0 ζ

0

'') ζ ζ ζ

ζ (

'' '

d d f

F    v . (5.47)

Thay thế fv và lấy tích phân cho ta

2 3

0 0 3

1 2

d 1 d 2 1

F '' ' '' ''

'

) ( )

(ζ ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ''







   . (5.48)

Tích số sẽ là

    '' '' '' ''2 ''3 ''2 ''3 ''4

3 2 3

4 2

1 3

1 2

2 1

1      



   



 



 



 F

fv . (5.49)

Lấy trung bình độ sâu tích số này    

30 1 3

2 3

4 2

1 ''

1

0

4 '' 3 '' 2 '' ''

''  



 



  

    



 F d

fv . (5.50)

Việc sử dụng kết quả này trong phương trình (5.20) cho ta kết quả thông báo trong phương trình (5.21), tức là

z s

xe K

h K u

30

2 2

 . (5.51)

Để minh họa ứng dụng công thức này, xét một cột chất chỉ thị thẳng đứng được giới hạn bởi mặt nước và đáy biển. Bằng việc giả thiết rằng biến thiên ban đầu của phân bố nồng độ theo hướng dòng chảy là nhỏ để bỏ qua, độ biến thiên xe2 tại thời gian về sau nào đó có thể tính toán từ những phương trình (4.17) và (5.51) để cho ta

z s

xe K

t h u 15

2 2

2 

 . (5.52)

VÝ dô

Giả sử một cột chất chỉ thị màu được xáo trộn đều giữa mặt nước biển và đáy biển khi dòng chảy gần đến cực đại của nó, do vậy đối với xấp xỉ đầu tiên, dòng chảy mặt nước us= 0,05 ms-1. Nếu độ sâu trung bình xấp xỉ h = 10 m trong chu kỳ 60 phút, thì có thể

đánh giá sự lan truyền hướng dọc của chất màu với giả thiết rằng Kz = 0,01 m2s-1. Lấy độ dài của phân bố Gauss là 4xe giữa những vị trí mà tại đó nồng độ là một phần mười nồng

độ lớn nhất (mục 6.2). Thay thế giá trị tham số trong phương trình (5.52), thấy rằng biến thiên sau 1 giờ là xe2 = 6 x 103 m2. Ví dụ này chỉ ra rằng sau một giờ một nguồn thẳng

đứng có thể dãn đến độ dài 310 m dưới ảnh hưởng của sự trượt ổn định dọc theo dòng chảy.

5.4.3 Ph©n bè theo quy luËt sè mò

Có thể dẫn xuất một biểu thức tổng quát đối với Kxe, giả thiết rằng Kz không đổi và phân bố thẳng đứng của trượt dòng chảy tuân theo một quy luật hàm mũ có dạng

u us(1) . (5.53) Phân bố vận tốc này ứng với dòng chảy mà giảm từ giá trị us tại mặt nước ( = 0)

đến không tại đáy ( = 1). ưu điểm của phân bố quy luật hàm mũ này là có thể xấp xỉ sự

đa dạng của những phân bố vận tốc trong môi trường biển bằng việc chọn một giá trị thích hợp cho hằng số .

Việc dẫn xuất tuân theo những bước tương đương với những bước phác thảo trong mục 5.4.2. Lấy lời giải tổng quát đã cho trong phương trình (5.20) là

f    ζ Fζ

K h

K u v

z 2 2 s

xe  (5.54)

thấy rằng thừa số cho những hàm mô tả biến đổi vận tốc và xáo trộn theo độ sâu bằng

   

                      



    



 





 





3 2 1

1 3

1 2

1 2

3 2 1

1 1

6 1

2

F 2

fv .

(5.55) Mặc dầu thoạt nhìn lời giải này có vẻ khá phức tạp, nhưng các số hạng tương đối dễ lập trình, như vậy cho phép những thừa số sẽ được tính toán sẵn cho những giá trị khác nhau của .

VÝ dô

Giả thiết một phân bố tuyến tính,  = 1,0, phương trình (5.53) nói lên rằng u = us

(1 - z/h). Thừa số từ phương trình (5.55) = -1/120 nên hệ số hướng dọc trong một dòng chảy trượt như vậy bằng

z s

xe K

h K u

120

2 2

 .

Có thể nhận ra rằng, trong ví dụ này vận tốc mặt nước bằng us (tức là một nửa độ lớn 2us, giả thiết trong phương trình (5.21) và được minh họa trong hình 5.5) - do đó hệ số trong mẫu số là bốn lần mẫu số trích dẫn trước đó đối với phân bố tuyến tính.

Biểu thị Kxe ở dạng tổng quát của phương trình (5.20), vậy

z L s

xe A K

h K u

2 2

 . (5.56)

trong đó

     F 

A f

v L

 1

 . (5.57)

Hằng số AL có thể có liên quan đến độ lớn của  khi sử dụng phương trình (5.55).

Hình 5.13 cho thấy sự biến đổi AL đối với một loạt giá trị của  khi sử dụng quan hệ đã

cho trong phương trình (5.55). Có thể thấy rằng độ uốn cong của phân bố hàm mũ trở nên

ít rõ ràng hơn, ứng với những giá trị của  tiến đến 1 có sự giảm nhanh độ lớn của AL.

Điều này nói lên rằng đối với một độ lớn đã cho của Kz những hệ số phát tán lớn nhất xuất hiện với một phân bố vận tốc tuyến tính.

5.4.4 ứng dụng đối với những phân bố trong môi trường biển

Một loạt những biểu thức đối với Kxe có thể dẫn xuất theo cách tương tự như trên,

đơn giản bằng việc thay đổi dạng giả thiết đối với phân bố vận tốc thẳng đứng. Dòng chảy trong các cửa sông và vùng ven bờ có xu hướng có những phân bố điển hình nhất định, và một vài ví dụ đưa ra dưới đây thể hiện hiệu ứng của việc thay đổi những biểu thức đối với trượt thẳng đứng. Hệ số xáo trộn thẳng đứng Kz giả thiết là bất biến theo độ sâu, mặc dù như được chỉ ra ở trên, đây là mâu thuẫn về mặt vật lý, vì dạng phân bố của Kz chưa bao giờ được thiết lập rõ ràng trong môi trường biển.

Hình 5.13 Sự thích ứng của hằng số phân bố AL theo quy luật vận tốc hàm mũ  . (Theo Riddle và Lewis, 1997, được sự đồng ý của Academic Press)

Phân bố lôgarit cộng với parabôn

Phân bố vận tốc gần một biên rắn là đặc trưng cho dạng lôgarit và kiểu phân bố này đã được xét bởi Elder (1959) trong việc dẫn xuất một công thức lý thuyết đối với hệ số phát tán. Tuy nhiên, quan trắc trong những dòng triều cho thấy rằng những phân bố lệch với lôgarit tại một chiều cao trên đáy biển; dựa trên những quan trắc trong vịnh Red Wharf cách xa hòn đảo Anglesey trong biển Ai len, Bowden (1965) giả thiết rằng trên một

độ sâu phân số nhất định, lấy là 0,86h từ mặt nước, phân bố có dạng parabôn hơn là lôgarit. Điều này đưa đến giá trị AL bằng 800 đối với tác động phát tán do việc kết hợp phân bố lôgarit và parabôn theo toàn bộ độ sâu. Từ hình 5.13 có thể thấy rằng điều này ứng với một quy luật hàm mũ xấp xỉ cho toàn bộ độ sâu, trong đó  = 1/5,0 (tức là 0,2).

Ph©n bè van Veen

Sử dụng những kết quả của một số lớn quan trắc trong các cửa sông tại Hà lan và trong eo biển Dover, van Veen (1938) xác định một hàm số mà nói chung mô tả phân bố vận tốc dòng triều dưới điều kiện đồng nhất. Hằng số  được thấy tiêu biểu là 1/5,2, mặc dầu nó có thể lớn hơn trong những khu vực mà dòng triều bị ảnh hưởng bởi những sóng cát hoặc một đáy biển nhiều đá. Phân bố van Veen chỉ ra rằng dòng chảy cực đại xuất hiện tại mặt nước và dòng chảy trung bình theo độ sâu xuất hiện tại độ cao 0,4 của toàn bộ độ sâu trên đáy. Giá trị  này tương ứng với AL = 625 khi sử dụng công thức phân bố hàm mũ.

Một lý thuyết tổng quát đối với biến đổi vận tốc thủy triều theo độ sâu được phát triển bởi Prandle (1982). Một khi với công thức van Veen, dòng chảy trong khu vực lân cận kề ngay với đáy, tương ứng xấp xỉ 1 mét đầu tiên tính lên phía trên, không được xét.

Lý thuyết của Prandle phù hợp với những quan trắc của van Veen trong đó dòng chảy trung bình độ sâu được dự đoán là 0,4h trên đáy, mặc dầu dạng chính xác của phân bố phụ thuộc vào hàm giả thiết đối với độ nhớt rối.

Hoàn lưu mật độ

Một phân bố vận tốc tiêu biểu đối với hoàn lưu mật độ dựa vào những quan trắc hiện trường, có dạng đưa ra trong hình 3.3. Lấy tọa độ thẳng đứng là dương theo hướng lên trên, Bowden (1965) chấp nhận công thức

3 1

2

1 2



 us 

u (5.58)

như một sự thể hiện phân bố của hoàn lưu mật độ. Ông thể hiện rằng một phân bố như

vậy tương ứng với giá trị AL = 52,0.

Trong cửa sông phân bố này giả định rằng khi lấy trung bình một chu kỳ thủy triều đầy đủ, có sự chuyển động của những tầng nước mặt về phía biển và sự chuyển động của nước đáy về phía đất. Công thức nói lên rằng hướng của dòng chảy đảo ngược tại một

độ sâu bằng hai phần năm toàn bộ độ sâu kể từ mặt nước. Phân bố hoàn lưu thẳng đứng (tức là dòng mật độ) của phương trình (3.27) có thể xấp xỉ theo một phân bố tuyến tính có dòng chảy us tại mặt nước, - us tại đáy và bằng không tại chính giữa độ sâu. Mức phát tán sử dụng ở công thức trên xấp xỉ 60 % mức phát tán đối với phân bố tuyến tính, trong đó có sự đảo ngược của dòng chảy tại chính giữa độ sâu (tức là AL = 30), chỉ ra rằng việc chấp nhận sự trượt tuyến tính đơn giản dẫn đến một đánh giá thiên lớn về phát tán dọc. Trong thực tế độ lớn của Kz có vẻ nhỏ hơn rất nhiều trong những điều kiện trung bình thủy triều, thường liên quan đến hoàn lưu mật độ so với khi triều lên hoặc xuống cực đại. Như

vậy là sự phụ thuộc ngược của Kxe vào Kz, cho trong phương trình (5.21) có thể tạo ra hoàn lưu mật độ, nguyên nhân thống trị gây ra phát tán dọc dưới những điều kiện phân tÇng.

Prandle (1982) đánh giá phân bố trung bình thủy triều (tức là dòng dư) theo lý thuyết của ông. Một phân bố dư được dẫn xuất, đưa ra một cách nhìn hợp lý với những

dòng chảy quan trắc trong biển Celtic và trong lòng dẫn phía Bắc của biển Ai len dưới

điều kiện xáo trộn mạnh. Nó có dạng

  















 



 



 



 3

1 2

89 1 , 0

1 2

R

R z u

u (5.59)

trong đó dấu ngang trên biểu thị giá trị trung bình độ sâu. Prandle đã quan trắc thấy rằng dòng dư có thể bị ảnh hưởng bởi những hiệu ứng tinh tế hơn, như dòng chảy mật độ.

Tuy nhiên, khi xem xét thành phần thủy triều sơ cấp, những quá trình như vậy có thể có lý do để bỏ qua do có hiệu ứng nhỏ lên phân bố dòng triều.

Dòng chảy rối phát triển hoàn toàn trong máng thí nghiệm

Đối với nhiều ứng dụng công trình trong dòng chảy rối hoàn toàn phát triển, thấy rằng dòng chảy trên một bề mặt mịn có giá trị  xấp xỉ bằng 1/7,0. Những kết quả phát hiện đã đề cập trước đây được tổng kết trong bảng 5.1. Giả thiết những dòng mặt, những hệ số khuyếch tán thẳng đứng và độ sâu là đồng nhất, những so sánh thực hiện với phân bố tuyến tính được cho trong hình 5.5. Độ lớn của Kxe lấy tùy ý là 1,00 m2s-1, một giá trị xấp xỉ với giá trị đã cho trong ví dụ đầu tiên ở mục này. Sự phù hợp của Kxe với dạng của phân bố vận tốc rõ ràng là có ý nghĩa, giả sử những điều kiện khác không thay đổi, và chỉ ra rằng tại sao những thay đổi về phân bố dòng chảy trong chu kỳ thủy triều lại có thể dẫn đến những biến đổi đáng kể giá trị đo được của Kxe. Mỗi phân bố được giả thiết ở trạng thái ổn định khi ảnh hưởng lên mức độ phát tán; không cho phép ảnh hưởng của dòng chảy đảo ngược như được phác thảo trong mục 5.3.

Bảng 5.1 Hiệu ứng của những phân bố vận tốc khác nhau lên Kxe

KiÓu ph©n bè AL Kxe(m2s-1)

Dòng chảy rối =1 / 7,0 1012 0,030

Lôgarít + parabolic 800 0,037

van Veen =1/5,2 625 0,048

Tuyến tính từ mặt nước đến đáy us 120 0,250

Hoàn lưu mật độ 52 0,577