Những mô hình trạng thái ổn định

Chương 6. Mô hình hóa quá trình phát tán

6.6 Những mô hình cửa sông một chiều

6.6.4 Những mô hình trạng thái ổn định

Những mô hình lăng trụ thủy triều mô tả ở trên chia cửa sông thành từng đoạn riêng biệt, độ dài của nó phụ thuộc vào sự dịch chuyển thủy triều, và giả thiết rằng mỗi

đoạn là độc lập ở chỗ nó không bị ảnh hưởng bởi xáo trộn từ các đoạn kề bên. Trong thực tế, sự xáo trộn giữa các đoạn kề nhau làm trơn những phân bố, và những biến đổi nồng độ (ví dụ muối hoặc chất ô nhiễm) là liên tục, cho thấy không có xu hướng thay đổi một cách

đột biến tại những vị trí dọc theo chiều dài cửa sông. Những biến đổi liên tục của nồng độ

được mô tả bởi sự cân bằng khối lượng (tức là phương trình bình lưu - khuyếch tán), đã

cho ở dạng những phương trình vi phân đạo hàm riêng trong mục 4.2.3; những mô hình

đó tốt hơn những mô hình lăng trụ để đánh giá phân bố nồng độ.

Một phương trình cân bằng khối lượng có thể sử dụng để đánh giá nồng độ của chất hoà tan, hoặc được bảo toàn hoặc bị suy thoái (tức là phân huỷ bởi tác động vi sinh vật hoặc hóa học); mục này sẽ giới hạn ở việc áp dụng một phương trình như vậy đối với trạng thái ổn định, trong đó chất đang phát tán không bị suy thoái. Để minh họa một mô

phỏng máy tính có thể bắt nguồn từ những phương trình này ra sao, sẽ xét một trạng thái

tương đối đơn giản với lòng dẫn hình chữ nhật có mặt cắt ngang không đổi, trong đó dòng chảy là ổn định và nồng độ được biểu thị là trung bình mặt cắt, do vậy chỉ có những thay

đổi dọc theo cửa sông được xét đến. Phương trình cân bằng khối lượng (mục 4.2.3) mô tả

sự biến đổi nồng độ theo trục có thể đơn giản thành

sv

xe I

x K c x c x

u c 



 















 (6.44)

trong đó c là nồng độ trung bình mặt cắt và trung bình chu kỳ triều của chất, u là vận tốc trung bình mặt cắt và Kxe là hệ số phát tán dọc. Isv là mức khối lượng đổ vào của chất trên

đơn vị thể tích tại vị trí nguồn, thể tích này xác định bằng tích số của diện tích mặt cắt và

độ dài đơn vị dọc theo cửa sông.

Đối với lòng dẫn không đồng nhất, tính liên tục thể tích đòi hỏi rằng vận tốc u qua bất kỳ mặt cắt ngang nào của cửa sông bằng

A

u  R (6.45)

trong đó A là diện tích mặt cắt và R là thể tích dòng chảy nước ngọt đi qua hệ thống.

Một phương trình cân bằng khối lượng đối với lòng dẫn không đồng nhất có thể dẫn xuất từ phương trình (4.14) bằng việc lấy tích phân trên mặt cắt ngang lòng dẫn để cã

I A

x A c x K x

Auc

sv

xe 



 











 



( )

. (6.46)

Biểu thức này có thể áp dụng để mô tả nồng độ của bất kỳ chất hoà tan nào tại bất kỳ vị trí nào dọc theo cửa sông. Nếu vật chất, như chất ô nhiễm phát ra từ một nguồn đổ,

được cho tại một vị trí nằm giữa đỉnh cửa sông và biển, thì tại vị trí đó, được xác định bằng khoảng cách x = s từ một đầu của cửa sông, Is là mức khối lượng trung bình thủy triều của nguồn vào của chất. Tại những vị trí không có chất ô nhiễm nhập vào, Is bằng không trong phương trình (6.46).

Những cách giải sai phân hữu hạn

Phương trình (6.46) có thể giải bằng việc chia độ dài cửa sông thành một loạt những mặt cắt cách đều nhau - độ dài của chúng không liên quan đến dịch chuyển thuỷ triều. Kỹ thuật dựa trên giả thiết là mức độ thay đổi theo không gian của một đại lượng có thể xấp xỉ bằng chênh lệch nồng độ trên đơn vị độ dài. Để sự xấp xỉ này hợp lệ, khoảng cách giữa những mặt cắt phải nhỏ đến mức, thậm chí khi sự thay đổi nồng độ là không tuyến tính, mức thay đổi nồng độ có thể xem như hằng số. Ví dụ, sự thay đổi c/x có thể viết là

x

c c x

c n n



 



  

2

1

1 (6.47)

trong đó khoảng cách giữa những mặt cắt kề nhau là x, và cn+1 và cn-1 là nồng độ tại những mặt cắt tại 2 phía của mặt cắt thứ n với nồng độ cn. Có nhiều biểu thức khác nhau để xấp

xỉ những mức thay đổi trong các phương trình vi phân - ví dụ này thiên về 'xấp xỉ sai ph©n trung t©m' (James, 1984).

Những đạo hàm bậc hai cũng có thể biểu thị bằng các công thức sai phân hữu hạn khác nhau và chúng gồm nồng độ tại tất cả ba mặt cắt cho nên

2

1 1

2

2 2

x c c c

x

c n n n





 



  

. (6.48)

Sử dụng những xấp xỉ sai phân hữu hạn này, có thể bằng thao tác đại số nào đó để chỉ ra rằng phương trình (6.46) tại điểm lưới thứ n có thể biểu thị như

pncn1 Qncn Rncn1 0 (6.49) trong đó những hệ số Pn, Qn, Rn của nồng độ xác định như sau

 

2 1

1 1

1

2 2

1

x A K x

A K A

R K

Pn x n n n n n n



 











 

 

    

2

2 x

A Qn Kn n

 





2 1

1 1 1

2 2

1

x A K x

A K A R K

Rn x n n n n n n

 











 

      .

Những tham số Kn và An thể hiện những giá trị của hệ số phát tán và diện tích mặt cắt tại mặt cắt thứ n dọc theo cửa sông, R là dòng chảy nước ngọt do sông nhập vào.

Có thể sử dụng máy tính để giải những phương trình này nếu R và mặt cắt ngang

được biết. Những giá trị Kn có thể dẫn xuất từ công thức có dạng đã cho trong Chương 5, nhưng một kỹ thuật ưu tiên là sử dụng phân bố dọc của độ mặn thực đo, biểu thị bằng trung bình thủy triều, nếu dữ liệu như vậy sẵn có. Điều này đòi hỏi giải phương trình (6.49) với c là độ mặn hoặc nồng độ của nước ngọt.

Kỹ thuật kéo theo việc so sánh phân bố độ mặn dự đoán với quan trắc; những giá

trị Kn được điều chỉnh cho đến khi sự so sánh này được thỏa mãn. Để dự đoán phân bố chất ô nhiễm, những hệ số xáo trộn đối với chất ô nhiễm lấy như hệ số suy luận từ phân bố độ mặn. Nếu một chất ô nhiễm được đưa vào cửa sông tại vị trí gần một mặt cắt đặc trưng, xác định như mặt cắt nguồn s, thì những nồng độ tại vị trí này và tại những mặt cắt thượng lưu và hạ lưu vị trí này là cs, cs-1 và cs+1, tương ứng. Quy trình sẽ giả thiết rằng mức khối lượng nguồn vào Is của chất ô nhiễm sẽ phân bố đều giữa những mặt cắt tại 2 phía của mặt cắt nguồn để phương trình (6.49) trở thành

x 2 c I R c Q c

Ps s 1 s s s s 1 s

 Δ



 

 . (6.50)

Để giải những phương trình (6.49) và (6.50), những điều kiện phải được chỉ rõ tại các biên của mô hình. Ví dụ, tại đầu phía đất thành phần nước ngọt phân số f = 1,0, độ mặn s = 0, và khi không có nguồn ô nhiễm, c = 0. Tại biên phía biển, thường giả thiết f = 0, s = ssw, trong đó ssw là độ mặn của biển, và giả thiết nồng độ của chất ô nhiễm trong biển là không đáng kể, c = 0. Đối với mô hình loại này, những điều kiện biên được chỉ rõ

tại cả hai đầu thượng lưu và hạ lưu của mô hình. Những phương trình đối với độ mặn hoặc nồng độ chất ô nhiễm được giải bằng cách sử dụng kỹ thuật nghịch đảo ma trận; nó cung cấp giá trị tại từng mặt cắt giữa sông và biển.

VÝ dô

Kỹ thuật này được áp dụng bởi Stommel (1953) để tính toán phân bố độ mặn và chất ô nhiễm trong cửa sông Severn. Bảng 6.4 cho thấy phân bố của nước ngọt tính toán, cũng biểu thị bằng độ mặn, và phân bố cho một nguồn vào 10 ted-1 của một chất ô nhiễm bảo toàn. Tính toán thực hiện đối với tập hợp những mặt cắt cách nhau 3.2 km, nhưng để giảm độ dài của bảng, không phải tất cả các mặt cắt được đưa ra. Nguồn được định vị gần mặt cắt số 7 nhất, và bởi vậy, tải lượng được phân bố giữa những mặt cắt 6 và 8.

Dòng chảy mùa hè có lưu lượng 10 m3s-1 được giả thiết cho sông Severn.

Bảng 6.4 Phân bố nồng độ dự đoán cho một tải lượng thải là 10 ted-1 của chất bảo toàn

Mặt cắt Khoảng cách (km)

Thành phần nước ngọt

ph©n sè fn

Độ muối Nồng độ dự

đoán (mgl-1)

1 3,2 1 0,00 0,00

2 6,4 0,929 2,49 5,67

3 9,6 0,84 5,60 12,78

4 12,8 0,679 11,24 25,64

5 16 0,536 16,24 37,06

6 19,2 0,465 18,73 42,73

7 22,4 0,393 21,25 48,50

8 25,6 0,35 22,75 43,19

9 28,8 0,308 24,22 38,01

10 32 0,265 25,73 32,70

15 48 0,108 31,22 13,33

20 64 0,046 33,39 5,68

25 80 0,011 34,62 1,36

Phân huỷ sinh học

Một vài chất có thể bị phân huỷ bởi vi khuẩn hoặc bởi phản ứng hóa học. Sự phân huỷ vật chất do vi khuẩn có thể đặc biệt quan trọng bởi vì vi khuẩn dùng oxi hoà tan (DO) trong hoạt động này, và trong nước xáo trộn không đầy đủ, mức độ giảm DO có thể

ảnh hưởng ngược đến đời sống biển. Độ hấp thụ oxi bởi một chất có thể phân huỷ gọi là 'nhu cầu oxi hóa sinh’ (BOD). Vì nhu cầu này đôi khi xuất hiện, BOD được định lượng dưới dạng hấp thụ oxi qua một chu kỳ xác định; chu kỳ thường sử dụng là 5 ngày. Như

vậy, BOD 5 ngày đối với một chất là sự rút hết oxi mà nó phải gây ra trong thời gian đo trong phòng thí nghiệm tại 20oC.

Nói chung, mức độ phân huỷ một chất do vi khuẩn tỷ lệ thuận với nồng độ của chất đó tại bất kỳ thời điểm nào. Nói cách khác, khi vật chất được sử dụng, vi khuẩn thực hiện chậm hơn và mức thay đổi nồng độ giảm. Quá trình này có thể mô tả bởi một phương trình tương đối đơn giản, và bằng phép tích phân theo thời gian, có thể dẫn xuất một biểu thức cho sự giảm nồng độ tại bất kỳ thời gian xác định nào từ khi bắt đầu quá trình phân huỷ sinh học.

Hãy giả thiết rằng k là hằng số tỷ lệ giữa mức thay đổi nồng độ c/t và nồng độ c vào thời gian t. Thấy rằng

dt kc

dc  . (6.51)

Dấu trừ chỉ ra rằng nồng độ giảm theo thời gian. Biểu thức này có thể sắp xếp lại

để lấy tích phân

  0t

c

c k dt

c dc

b 0

(6.52) trong đó c0 là nồng độ ban đầu của chất và cb là giá trị kế tiếp sau thời gian t của nó. Tích phân và sắp xếp lại cho ta

cb c0ekt. (6.53) Hằng số mức độ k liên quan đến thời gian Ti = 1/ k, là thời gian để một chất có nồng độ co phân huỷ đến nồng độ c0 / e, trong đó e có giá trị là 2,71.

Hiệu ứng phân huỷ có thể bổ sung vào phương trình trạng thái ổn định để phương trình (6.46) trở thành

kAc

x c x

A K x A c x K

R c xe

2 2

xe 











 



 (6.54)

trong đó R là thể tích của dòng chảy nước ngọt đi qua hệ thống. Phương trình này có thể viết ở dạng sai phân hữu hạn để đưa ra những biểu thức tương tự với những điều được trình bày trong phương trình (6.49), ngoại trừ rằng mỗi hệ số Qn phải bao gồm một số hạng bổ sung kAn, để cho phép phân huỷ sinh học.

HÊp thô Oxi

Để mô hình hóa sự rút oxi trong cửa sông, cả độ giảm sút BOD do việc suy giảm chất và sự thay đổi nồng độ của oxi hoà tan đều phải được xét đến. Những quá trình này

được mô tả bởi hai phương trình riêng biệt được liên kết lại để xét đến sự phụ thuộc của

độ thay đổi BOD vào mức oxi hoà tan hiện có. Hơn nữa, Oxi từ khí quyển hỗ trợ việc cung cấp DO bị mất và phương trình cân bằng DO thể hiện sự trợ giúp rõ ràng đối với việc thông khí lại. Thuận tiện hơn là giả thiết rằng có một mức thông khí lại không đổi thông qua mặt nước cửa sông. Khối lượng vào của DO đánh giá bằng cách nhân hằng số này với diện tích mặt nước và chênh lệch nồng độ DO trong nước mặt và không khí ở trên. Khi nước cửa sông trở nên hoàn toàn bão hòa, sự khác nhau này bằng không và hiệu ứng thông khí lại ngừng.

Những phương trình cân bằng đối với BOD và DO có thể viết

1 B 1

2 1 2

1 k Ac

x c x KA x

KA c x

R c 











 



 (6.55)

1 0 D 2 R 2 2

2 2

2 k Ac k Ac

x c x KA x

KA c x

R c  











 



 (6.56)

trong đó

c1 là nồng độ BOD

c2 là mức thiếu hụt nồng độ DO kB là mức độ phân huỷ BOD kR là mức độ thông khí lại và kDO là mức độ tổn thất DO.

Những phương trình này có thể viết ở dạng sai phân hữu hạn theo cách mô tả ở trên và nồng độ xác định qua việc giải các phương trình này bằng nghịch đảo ma trận, cùng cách như các phương trình đối với chất bảo toàn.

Đầu ra từ mô hình cho ta mức thiếu hụt DO từ nồng độ bão hòa. Trong nước biển bão hòa, nồng độ oxi hoà tan khoảng 8,2 mgl-1 và trong nước ngọt là khoảng 10 mgl-1. Để

đánh giá nồng độ oxi hoà tan thực tế trong nước của một cửa sông, độ thiếu hụt tính toán c2 phải được trừ đi từ mức bão hòa cục bộ, có xét hiệu ứng của độ mặn lên mức bão hòa cục bộ (Baton, 1995). Nhiệt độ nước cũng có thể ảnh hưởng đến nồng độ bão hòa của oxi hoà tan. Cần thấy rằng nếu tổn thất của oxi hoà tan chỉ do quá trình phân huỷ sinh học, thì mức độ sử dụng DO lấy bằng mức độ BOD phân huỷ (tức là kDO = kB).