Phát sinh và tiêu tán cục bộ năng lượng rối

Chương 3. Động lực học chất lỏng - Dòng chảy phân tầng

3.4 Phát sinh và tiêu tán cục bộ năng lượng rối

3.4.1 Khái niệm về phát sinh và tiêu tán cục bộ

Trong mục này xem xét năng lượng rối phát sinh và được sử dụng trong xáo trộn tại cùng khu vực của chất lỏng. Điều này không có nghĩa là năng lượng tạo ra rối không thể có nguồn gốc từ xa. Ví dụ, những sóng nội có thể làm tăng mức độ trượt của dòng chảy qua mặt phân cách và phát sinh sự bất ổn định làm cho sóng bị vỡ và phát sinh rối; bằng cách này ít nhất một phần năng lượng ban đầu của sóng bổ sung vào rối toàn bộ. Vì sóng có thể đã phát sinh tại một khoảng cách nào đó của dòng chảy, cơ chế này mang năng lượng từ một khu vực ở xa đến một vị trí mà tại đó xáo trộn rối đang được nghiên cứu.

Tuy nhiên, xem xét cơ bản trong mục này là động năng rối phát sinh bởi sự trượt tại một vị trí trong cột nước, một số trong đó có thể sử dụng trong quá trình xáo trộn làm

tăng thế năng của cột nước, để lại một phần dư sau đó tiêu tán bởi tổn thất năng lượng do

độ nhớt phân tử. Sự phát sinh và tổn thất năng lượng cho xáo trộn được giả thiết xảy ra trong cùng khu vực lân cận - không xét đến năng lượng rối được chuyển tải hoặc khuếch tán đến điểm quan tâm từ phần kia của dòng chảy như lớp biên đáy.

3.4.2 Mức độ phát sinh năng lượng rối

Chính ứng suất trượt (hoặc ứng suất Reynolds) làm cho năng lượng bị mất đi từ chuyển động trung bình và chuyển thành rối (mục 4.2.1). Có thể đánh giá mức độ mà tại

đó quá trình xảy ra bằng việc xem xét ứng suất trượt tác động lên một phần tử chất lỏng (hình 3.13). Giả thiết chuyển động là một dòng chảy ổn định theo hướng x, để các ứng suất trên mặt trên và dưới của phần tử là như nhau.

Mức độ mà ứng suất trượt  thực hiện công trong một dòng chảy có vận tốc u trên một đơn vị diện tích nằm ngang là u. Như vậy sự khác nhau giữa công được thực hiện tại mặt trên và mặt dưới của phần tử có thể tích x y z là

y x z z u u y x

u     

 ( )





 (3.38)

trong đó diện tích mặt nằm ngang của thể tích là x y.

Hình 3.13 Các ứng suất  trên những mặt trên và dưới của một phần tử chất lỏng nhỏ trong dòng chảy có gradient vận tốc thẳng đứng

Sự khác nhau này thể hiện mức độ công thực hiện trên phần tử bằng chuyển động trung bình và bởi vậy, là số đo mức độ phần tử được cung cấp năng lượng rối. Nó cho thấy mức độ chuyển năng lượng trên thể tích đơn vị G bằng

)2

( z N u z

G u z



 



 

   (3.39) trong đó đã sử dụng phương trình (1.4). Biểu thức

( )2

z N u

G z



  (3.40) thường dùng để đánh giá mức độ phát sinh cục bộ động năng rối do tác động của sự trượt thẳng đứng.

3.4.3 Thay đổi phân tầng do xáo trộn

Trong một hệ thống phân tầng ổn định trọng tâm của cột nước được nâng lên bởi tác động của xáo trộn. Khoảng cách mà trọng tâm được nâng lên là số đo của công thực hiện do trọng lực, và do đó là thay đổi thế năng của cột nước.

Thế năng tăng lên do xáo trộn có thể biểu thị bằng một ví dụ đơn giản. Giả thiết một lớp nước có mật độ 1 đồng nhất và bề dày h1 nằm trên một lớp có mật độ 2 đồng nhất và bề dày h2. Giả thiết mặt nước bằng không đối với thế trọng lực, thế năng trên một

đơn vị diện tích nằm ngang là

) (

)

( 1 2 2 1 2

1

1 2

2 1 2

1 g h h  g h h h

   . (3.41)

Nếu hai lớp này trở nên xáo trộn hoàn toàn bởi một quá trình nào đó, thế năng tổng hợp trên đơn vị diện tích nằm ngang cho ta

) )(

( 1 1 2 2 1 2

2

1 g h  h h h

   . (3.42)

Do đó chênh lệch thế năng do xáo trộn PL bằng

( 2 1) 2 1

2

1g h h

PL    . (3.43)

Ví dụ này chỉ ra rằng sự tăng năng lượng do xáo trộn là độc lập với mặt quy chiếu

đối với thế trọng lực. Phát hiện này làm cho có thể dẫn xuất một biểu thức đối với mức độ thay đổi thế năng do xáo trộn khuếch tán.

Giả thiết một phần tử nhỏ có thể tích v và có mật độ , hạ thấp đến một khoảng cách z, vậy độ giảm thế năng là

gvz (3.44)

và mức tăng theo thời gian của thế năng Pe trên đơn vị thể tích bằng

Pe = -gw (3.45) trong đó w là thành phần đi xuống của vận tốc.

Cho rằng w thể hiện tổng của vận tốc đi xuống trung bình wm và thành phần thẳng đứng của dao động rối của vận tốc w', như vậy là w = wm + w’. Giả thiết không có dòng chảy thẳng đứng thực tế khi lấy trung bình trong một thời khoảng ngắn, wm = 0. Vì

đang xét một thể tích đơn vị, tích số w' đại diện cho lưu lượng vận chuyển khối lượng bởi những dao động rối của vận tốc. Nếu xa hơn nữa giả thiết rằng mật độ trung bình không

đổi theo thời gian trong cùng thời đoạn ngắn đó như đã sử dụng để xác định wm, thì nó cho thấy ’w' là lưu lượng vận chuyển khối lượng tức thời, trong đó = m+  '. Nếu P là giá trị trung bình của Pe trong thời đoạn, thì có thể đánh giá P bằng việc lấy trung bình những giá trị tức thời của Pe như thể hiện bởi phương trình (3.45), cho nên

P g w gQturb gKz zm



 









 

' ' (3.46) trong đó đã sử dụng phương trình (1.2) và những dấu móc có góc biểu thị trung bình trong khoảng thời gian được chọn. Điều ẩn ý trong dẫn xuất này ở chỗ trung bình của

wm' qua thời đoạn cho ta mức vận chuyển thẳng đứng bằng không, việc sử dụng giả thiết này về sau được thực hiện trong mục 4.2.1.

3.4.4 Tiêu chuẩn duy trì của rối Số Richardson thông lượng

Nếu giả thiết năng lượng rối phát sinh tại khu vực nào đó trong một chất lỏng cũng được dùng trong xáo trộn tại chính khu vực đó, thì có thể dẫn xuất điều kiện duy trì

đối với rối bằng cách sử dụng những mối quan hệ đã cho ở trên. Khi mức cung cấp năng lượng rối từ dòng chảy trung bình vượt quá mức tăng thế năng do xáo trộn, thì chuyển

động rối có thể tiếp tục. Như vậy thấy rằng G > P và từ những phương trình (3.40) và (3.46)

gK z z

Nz u z



 



 

 ( )2 (3.47)

trong đó hiểu một cách ẩn rằng u và  là giá trị trung bình trong một khoảng lấy trung bình nào đó.

Sắp xếp các bất đẳng thức này lại ta có

0

2 1, ) / (

) /

( 







 

z u N

z Rf gK

z z



 (3.48)

nếu rối vẫn duy trì. Rf được gọi là 'số Richardson thông lượng' và thể hiện phần năng lượng rối phát sinh bởi ứng suất trượt, được sử dụng để duy trì xáo trộn rối chống lại gradient mật độ. Như vậy đó là phần năng lượng rối chuyển thành thế năng thông qua việc phá vỡ phân tầng do xáo trộn. Thấy rằng không có nguồn năng lượng rối trừ khi được phát sinh cục bộ, Rf phải nhỏ hơn 1. Trong thực tế, như sẽ chỉ ra trong mục 3.5.3, xáo trộn là một quá trình rất không hiệu quả và Rf thường thấy nhỏ hơn 0,2 (Linden, 1979).

Sè Richardson gradient

Số Richardson thông lượng có thể viết ở dạng N Ri

Rf K

z

 z (3.49)

trong đó

)2

/ (

) / (

z u

z Ri g







 



 . (3.50)

Ri là 'số Richardson gradient' và có ưu điểm hơn Rf là nó không chứa những hệ số khuếch tán và hệ số rối, và chỉ phụ thuộc vào những tham số đo đạc trực tiếp của mật độ và vận tốc. Từ tiêu chuẩn để duy trì rối (phương trình (3.47)) thấy rằng

z z

K

Ri N . (3.51)

Số Richardson gradient được sử dụng rộng rãi trong động lực học chất lỏng, khí

quyển và đại dương, và có nhiều ví dụ trong đó nó là một tham số cơ bản. Tuy nhiên, khi

áp dụng số Richardson gặp vấn đề là các hạn chế cố hữu trong việc đánh giá độ lớn của Ri phải được ghi nhớ. Đặc biệt:

1. Trường rối chứa những thành phần chu kỳ dài, có lẽ là vài phút, có thể làm cho vận tốc trung bình và mật độ biến đổi đáng kể, phụ thuộc vào độ dài khoảng lấy trung bình được chọn.

2. Có lẽ không chắc là động năng rối phải phát sinh tại cùng thời gian và trong cùng một chỗ như nó được sử dụng cho xáo trộn thẳng đứng. Năng lượng sẵn có cũng có thể

được lấy từ những khu vực khác của dòng chảy và đưa đến đến điểm mà xáo trộn xuất hiện. Ví dụ, rối có thể phát sinh tại đáy hoặc gần đáy, bên trong lòng chất lỏng, đặc biệt nơi những gradient mật độ xuất hiện, hoặc tại mặt biển, do tác động của ứng suất gió và sóng vỡ. Trong những hoàn cảnh như vậy, đóng góp cho việc phát sinh năng lượng do sự trượt cục bộ có thể tương đối thứ yếu.

3. Có thể thấy Ri trở nên vô hạn khi u/z = 0, nói lên rằng rối hoàn toàn bị khử đi.

Trong thực tế, u/z có thể có những giá trị bằng không tại độ sâu nào đó và không chắc rằng rối hoàn toàn biến mất trong những trường hợp như vậy. Hợp lý hơn là giả thiết rằng rối được duy trì tại một điểm tại đó u/z = 0 bởi năng lượng rối được đưa đến hoặc

được khuếch tán từ những khu vực lân cận.

4. Giả thiết ẩn khác trong số Richardson là không có gradient dọc của mật độ. Như

vậy tác động trượt là đơn thuần phát sinh rối mà phá vỡ sự ổn định. Như được chỉ ra trong mục 3.2.3, với sự có mặt của một gradient mật độ dọc, sự trượt phải có hiệu ứng trực tiếp lên tính ổn định, bằng cách làm tăng hoặc làm giảm mức độ phân tầng.

5. Bởi vì cần một thời gian hữu hạn để xáo trộn xảy ra, cấu trúc mật độ tạo ra từ một giá trị phân giới của Ri có thể không quan trắc được cho đến lúc nào đó, sau khi giá trị phân giới được quan trắc. Có thể cho phép sự 'trễ pha' này khi sử dụng những giá trị của Ri để suy luận những điều kiện xáo trộn đặc biệt.

Với những lý do này, số Richardson gradient là một tham số cần sử dụng với sự cân nhắc nào đó. Nó tiếp tục hữu ích để chỉ rõ điều kiện tăng trưởng hoặc tắt dần của rối, nhưng các hạn chế của nó phải được ghi nhớ khi áp dụng Ri cho những vấn đề thực tế.

Sè Richardson líp

Trong một lớp bị phân tầng, một tham số hữu ích hơn số Richardson gradient là

‘số Richardson lớp’ RiL, được xác định như sau )2

( u Ri gd

m

L 

 



 (3.52)

trong đó độ trượt vận tốc trên một lớp có bề dày d là u, và thay đổi tương ứng của mật độ là  (hình 3.14). m là mật độ trung bình độ sâu. Số Richardson lớp tiệm cận với số Richardson gradient khi bề dày lớp trở nên vô cùng nhỏ.