Phát tán đốm loang

Chương 6. Mô hình hóa quá trình phát tán

6.3 Phát tán đốm loang

6.3.1 Phương pháp thể hiện Gauss

Những mô hình dự đoán nồng độ tại giai đoạn nào đó trong quá trình khuếch tán dựa vào giả thiết rằng, mặc dù thể tích bị chiếm chỗ bởi vật chất tăng theo thời gian, toàn bộ khối lượng là không đổi. Nếu biết khối lượng của vật chất, thì vấn đề giảm thiểu tới

việc xác định kích thước của thể tích sau thời gian khuyếch tán xác định nào đó. Phân bố nồng độ trong một hướng đã cho thường có dạng hình chuông, có thể giống với hàm Gauss, và mức trải rộng của phân bố này có thể biểu thị bởi độ biến thiên của nó. Thông thường mô tả độ biến thiên của phân bố nồng độ như sau















 

cdy dy cy

y

2

2 (6.6)

trong đó c là nồng độ tại bất kỳ vị trí y nào. Trong biểu thức này mẫu số thể hiện toàn bộ khối lượng của chất trong một đoạn có độ dày dx và độ sâu dz. Nếu M là toàn bộ khối lượng của chất thải thì

  







 cdxdydz

M . (6.7)

Khi phân bố thực sự là Gauss, hàm f(y) mô tả sự biến đổi theo hướng y bằng

 



















 2

2

exp 2 2

1

y y

y y

f    (6.8)

trong đó những biểu thức tương đương áp dụng trong những hướng tọa độ khác.

Nếu một đốm loang chất khuếch tán không có bất kỳ sự đối xứng nào trong phân bố nồng độ của nó, như có thể xuất hiện với một tập hợp của các hạt khuếch tán độc lập, thì sự lan rộng theo trục y có thể mô tả bằng

    











  c x y z t y dxdydz

y M

2

2 1 , , ,

 . (6.9)

Biểu thức này là một số đo chiều rộng toàn bộ đốm loang nhưng đòi hỏi một đặc trưng trường nồng độ trong ba chiều (Csanady, 1973: tr. 27). Đối với nhiều mục đích, có thể thực hiện sự đơn giản hóa là biến thiên của một phân bố trong một hướng sẽ độc lập với hai hướng khác. Dưới những hoàn cảnh như vậy, nồng độ tại bất kỳ điểm nào có thể viÕt

   y f z

f x Mf t z y x

c( , , , ) 1( ) 2 3 (6.10) trong đó những hàm số fi thể hiện những phân bố Gauss có dạng đã cho trong phương trình (6.8). Như vậy nồng độ này có thể viết

















 





 



  



 2

2 2 2 2 2 2

/

3 2

exp 1 )

2 ) ( , , , (

z y x z

y x

z y x t M

z y x

c        . (6.11)

Biểu thức này mô tả phân bố nồng độ trong ba chiều khi sự lan rộng của đốm loang vật chất chưa được chặn bởi những biên hoặc những lớp phân tầng trung gian. Một số nghiên cứu phát tán chất chỉ thị màu phát quang đã chỉ ra rằng trong những điều kiện rối sự phân bố chất chỉ thị là một xấp xỉ tốt với Gauss trong mặt phẳng nằm ngang

(Csanady, 1973: tr. 82; Bowden và nnk., 1974). Nói chung, hiệu ứng của cấu trúc mật độ thẳng đứng cản trở phân bố thẳng đứng do việc lấy dạng Gauss. Tuy nhiên, để mô tả

phân bố nồng độ của đốm loang vật chất bằng những số hạng toán học, tiện lợi hơn là giả

thiết phân bố đó là Gauss trong tất cả ba hướng.

Trong điều kiện xáo trộn mạnh đốm loang có thể nằm tại mặt nước, hoặc có thể gần đáy, cho nên sự lan rộng thẳng đứng bị hạn chế. Có thể tính đến hiệu ứng của biên lên phân bố bằng việc lấy một nửa độ lan rộng như đã cho bằng hàm số f3(z), sao cho phân bố thẳng đứng đó là 'bán Gauss' (hình 6.2) và

   y f z

f x Mf t

z y x

c( , , , )2 1( ) 2 3 (6.12) và tại tâm đốm loang

z y x

t M c







3/2 2 ) , 0 , 0 , 0

(  . (6.13)

Một trong những ưu điểm của việc sử dụng những hàm độc lập đã cho trong phương trình (6.10) là nếu phân bố là đồng nhất trong một hướng toạ độ, thì hàm số trong hướng đó đơn giản đến một độ dài nghịch đảo. Ví dụ, nếu phân bố đồng nhất theo độ sâu f3( z) = 1/h, trong đó h là toàn bộ độ sâu, và nồng độ tại tâm đốm loang này trở thành

y

h x

t M

c(0,0, )   . (6.14) Trong thực tế, h có thể là độ sâu xuống đến mặt phân cách mật độ nào đó mà ngăn chặn xáo trộn rối thẳng đứng.

Tỷ lệ của những độ lệch chuẩn hướng dọc so với hướng ngang tại bất kỳ thời điểm nào là một số đo tiện lợi về mức độ của ưu thế phát tán trượt theo một trong số hai hướng thành phần này. Tỷ lệ rv này xác định bằng

y x

rv



 (6.15)

phải bằng 1 nếu những điều kiện là đẳng hướng theo hướng ngang và làm cho đốm loang có hình tròn.

6.3.2 Nguồn có chiều rộng hữu hạn

Công thức nói trên giả thiết rằng vật chất đổ xuống như một nguồn điểm. Trong thực tế, trường hình thành bởi một sự thải rời rạc vật chất sẽ có kích thước hữu hạn trước khi sự lan rộng khuếch tán thật sự bắt đầu. Điều này phải được tính đến trong việc thiết lập một mô hình để mô tả sự thay đổi nồng độ theo thời gian khuyếch tán, mà thường

được đo từ thời gian mà tại đó một phần tử hình thành một phần của trường trên mặt.

Giả thiết rằng những biến thiên ban đầu vào thời gian t = 0 có một độ lớn hữu hạn bằng việc chấp nhận những phương trình

2 2

0 2

xt x

x  

   (6.16)

trong đó những chỉ số dưới 0 và t quy về những biến thiên của trường ban đầu tại mặt nước và phần của phân bố kế tiếp do xáo trộn thuần túy rối gây ra. Những biểu thức

tương ứng có thể phát biểu đối với những hướng thành phần khác. Tại t = 0, xt bằng không nên x02 thể hiện sự biến thiên phân bố dọc của trường ban đầu.

Phương trình (6.16) có thể thay vào phương trình (6.11) để cung cấp một biểu thức cho nồng độ của đốm loang có kích thước hữu hạn ban đầu. Một dạng đặc biệt hữu ích đối với nồng độ trên mặt tại tâm đốm loang, lan rộng từ một trường ban đầu có kích thước hữu hạn

2 / 1 2 2

0 2 / 1 2 2

0 2 / 1 2 2

0 2 /

3 ( ) ( ) ( )

2 ) , 0 , 0 , 0 (

zt z yt

y xt

x

t M

c         . (6.17)

Hình 6.3 Vệt loang được mô tả như (a) sự xếp chồng một đợt các đốm loang rời rạc, hoặc (b) một đợt các lát mỏng

Để áp dụng phương trình (6.17), một đánh giá biến thiên ban đầu của đốm loang có thể xác định từ kích thước của nó khi sử dụng phương trình (6.4), và những biến thiên kế tiếp sau thời gian khuyếch tán t nào đó sẽ xác định từ các mối quan hệ của các hệ số xáo trộn, như đã cho trong những phương trình (5.23) và (5.24).