4.3 Các thuộc tính thống kê của trường rối
4.3.3 Khuyếch tán đốm loang rời rạc
Có thể nhận thấy sự khác nhau giữa những trạng thái trong đó vật chất đang khuếch tán từ một nguồn liên tục và trong đó vật chất đang lan rộng như một đốm loang rời rạc. Ví dụ trước có thể biểu thị bằng sự thải liên tục các hạt từ một nguồn cố định, trong khi ví dụ sau phải dựa vào một mô hình khái niệm khác, như sự lan rộng của một nhóm hạt. Đối với một số lớn hạt, trạng thái vừa nói có thể xem như thể hiện sự phát tán một đốm loang riêng biệt của chất hoà tan quanh trọng tâm của nó. Richardson (1926) khảo sát vấn đề này bằng việc xem xét sự tách ra của một cặp hạt trong một cụm.
Một đặc tính tiêu biểu của cách tiếp cận này để đánh giá dòng vật chất là sự phụ thuộc vào khoảng lấy trung bình đã chọn. Richardson bắt đầu luận điểm của ông bằng việc đề xuất rằng hoàn toàn không thể phân biệt giữa những biến đổi vận tốc cấu thành dòng chảy trung bình và những dòng chảy thuần túy rối. Nếu khoảng lấy trung bình rất ngắn, thì giá trị trung bình dẫn xuất có thể không đặc trưng cho dòng chảy. Mặt khác, lấy trung bình qua một chu kỳ dài có thể tạo ra những thay đổi đặc trưng cho sự thay đổi bình thường của dòng chảy trung bình, bao gồm trong nhiễu động rối.
Ví dụ, những số đo chuyển động rối trong môi trường biển thường được tính trung bình trong khoảng thời gian 10 phút để tối giản đóng góp cho chuyển động rối từ những thay đổi vận tốc dòng chảy triều. Với chu kỳ lấy trung bình như vậy, dao động nguyên lý bởi thủy triều phải được phân biệt rõ ràng. Việc lấy trung bình trong cả chu kỳ 25 giờ loại trừ hầu hết chuyển động thủy triều nhưng vẫn để lại những thành phần của dòng chảy xuất hiện từ những sự kiện dài hạn, như những thay đổi trường áp suất không khí. Tại
đầu bên kia, việc lấy trung bình dòng chảy qua chu kỳ 1 giây phải bao gồm những nhiễu
động sóng mặt trong dòng chảy trung bình nhưng vẫn loại trừ một vài chuyển động rối nhanh hơn.
Hình 4.4 minh họa một đốm loang chất chỉ thị bị ảnh hưởng bởi ba quy mô xoáy khác nhau tại một thời điểm bất kỳ ra sao. Các xoáy lớn hơn đốm loang vận chuyển nó mà không làm ảnh hưởng đến hình dạng của nó (hình 4.4 (a)); các xoáy quy mô trung gian gây ra những biến dạng, kéo dài biên với chất lỏng bao quanh (hình 4.4 (b)). Các xoáy nhỏ hơn đốm loang đóng vai trò khuếch tán, làm trơn những biến dạng hoặc những thứ không đều đặn của hình dạng đốm loang (hình 4.4 (c)).
Hình 4.4 Hiệu ứng của những quy mô xoáy khác nhau lên sự vận chuyển và lan truyền một đốm loang vật chất
Lý luận toán học của Richardson thực chất như sau. ở dạng một chiều, những phương trình (4.14) và (4.15) đơn giản thành
2
2
K x u x
t x
(4.28)
trong đó là số hạt trên đơn vị độ dài của một đường thẳng theo hướng x và Kx là hằng sè.
Richardson biểu thị dưới dạng một 'hàm số khoảng cách - lân cận' và thấy rằng nếu các xoáy có kích thước l là lý do cơ bản phân tách một cặp hạt, thì tính liên tục có thể biểu thị bởi phương trình
l l n l K t
n ( ) (4.29)
trong đó n là số lượng hạt trong một đơn vị độ dài, và l bằng độ lệch chuẩn của các hạt so với vị trí trung bình của chúng. Nồng độ n không bao giờ thật sự xuất hiện trong dòng chảy thực tế bởi vì nó phụ thuộc vào sự chồng lên nhau của trọng tâm những nhóm hạt.
Trên cơ sở những quan trắc trên phạm vi rộng các quy mô độ dài, Richardson thể hiện rằng hệ số khuyếch tán Fick biến đổi theo
K = 0,2 l 4/3 (4.30) trong đó l - độ dài đặc trưng đối với hệ thống quan trắc, như được minh họa trong hình 4.5. Phương trình (4.30) được gọi là 'Định luật số mũ bốn phần ba' của Richardson.
Hình 4.5 Khuyếch tán tương đối quanh trọng tâm một đám mây
Lewis Fry Richardson (hình 4.6) có một tính cách sáng tạo và phi thường. G.
Taylor mô tả ông như một 'tính cách độc đáo và rất thú vị, người ít khi nghĩ cùng một cách như những đồng nghiệp của ông và thường họ không hiểu ông'. Richardson là một tín đồ Tin Lành yêu hòa bình, từng hoạt động như một người lái xe cứu thương trên mặt trận trong thời gian Chiến tranh Thế giới lần thứ Nhất. Thậm chí trong những điều kiện
đáng sợ đó ông vẫn quan tâm đến sự phát tán của khói khi những quả đạn nổ. Điều này
đặt nền tảng cho lý thuyết của ông về sự phát tán tương đối từ một đốm loang vật chất riêng biệt, được phác thảo trong luận điểm 1926 của ông. Về sau trong cuộc sống của mình một trong số những khảo sát của ông lôi kéo việc theo dõi sự phát tán của những lát củ cải trong một cái hồ ở Xcốt-len, sử dụng một thiết bị tự chế tạo để đo đạc sự tách ra tương đối; một bản vẽ của giáo sư Henry Stommel minh họa ví dụ tiêu biểu này về tài khéo léo và tính lập dị của Richardson (hình 4.7). Luận điểm tổng quát bắt đầu một cách vui vẻ: 'Chúng ta vừa quan trắc sự chuyển động tương đối của hai mảnh nổi của củ cải... '.
Hình 4.6 Lewis Fry Richardson. (Phiên bản, với sự cho phép của Ashford, 1985)