Chương 5. CÁC THÔNG SỐ ĐÁNH GIÁ BÀI TRẮC NGHIỆM
II. CÁC SỐ ĐỊNH TÂM
Thông thường người ta dùng các số định tâm sau để mô tả kết quả điểm số (luận đề hay trắc nghiệm) của một nhóm (gồm một hay nhiều lớp) học sinh:
SỐ YẾU VỊ (Mode)
Định nghĩa và cách tính: Điểm số chiếm nhiều nhất trong một phân bố điểm số (hay có tần số lặp lại cao nhất) được gọi là số yếu vị.
Nếu là phân bố đẳng loại thì đẳng loại yếu vị là đẳng loại có tần số lớn nhất.
Chú thích: Người ta dùng đẳng loại khi cần phân chia điểm số thành các loại, các nhóm điểm số. Thí dụ: Chuyển điểm số thành 5 nhóm điểm: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10. Bài trắc nghiệm thường có số câu từ 40 đến 60, điểm của học sinh sẽ tạo ra dãy điểm số có độ chênh lệch khá lớn giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất, nên việc chia thành đẳng loại sẽ dễ tính toán. Tuy vậy, ta phải chịu phần sai số do việc chia đẳng loại. Số yếu vị trong trường hợp này thường được xác định bằng trung điểm của đẳng loại yếu vị.
Thí dụ minh họa:
1. Dãy điểm số 6, 5, 3, 6, 4, 4, 8, 6, 5, 7, 6, 9, 6, 10 có yếu vị là 6 (vì điểm 6 lặp lại đến 5 lần, là cao nhất trong số lần xuất hiện mỗi điểm số).
2. Điểm kiểm tra (luận đề) của học sinh được xếp thành phân bố tần số:
Điểm số X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số f 1 1 2 3 6 9 3 5 3 1
Ta thấy: Tần số lớn nhất là 9 tại điểm số 6. Do đó Mo - 6.
Cần biết các trường hợp:
* Nếu hai điểm số liền nhau đều có tần số bằng nhau và cao nhất thì Mo sẽ là trung bình cộng của hai số đó.
* Nếu trong một phân bố có hai điểm số không liền kề nhau mà có tần số bằng nhau và cao nhất thì cả hai số ấy đều là yếu vị và ta gọi phân bố ấy có yếu vị đôi.
Công dụng: Dùng số yếu vị để tìm khuynh hướng thể hiện của các điểm số. Nếu yếu vị là điểm 6, có thể nghĩ rằng vùng trung tâm của các điểm số là khoảng giữa của thang đo từ 0 đến 10. Nếu yếu vị là điểm 8, vùng trung tâm được dời lên phía các điểm số cao (tức đề thi dễ so với trình độ học sinh làm bài).
Lưu ý: Số yếu vị được tính đơn giản nên không tin cậy cao. Khi dùng yếu vị ta chỉ quan tâm đến điểm số có tần số cao nhất. Các điểm số khác chưa được xét đến.
SỐ TRUNG VỊ (Median)
Định nghĩa: Số trung vị là điểm số nằm ngay tại vị trí chính giữa của một phân bố điểm số. Đấy là điểm phân chia một phân bố điểm số thành hai phần bằng nhau, mỗi bên bằng 50% điểm số.
Cách tính: Để tính số trung vị, ta phải xếp thứ tự các điểm số thành dãy số tăng dần (hay giảm dần) và lưu ý có hai trường hợp:
a. Nếu số điểm số trong dãy là một số lẻ: Cụ thể có 5 điểm số như 20, 16, 22, 10, 11. Ta xếp thứ tự thành 10, 11, 16, 20, 22. Số trung vị là 16 vì đây là điểm số nằm ở vị trí chính giữa.
b. Nếu số điểm số trong dãy là một số chẵn: Cụ thể có 6 điểm số như 17, 18, 25, 12, 14, 20. Ta xếp thứ tự thành 12, 14 17 18, 20, 25. Số trung vị bây giờ là 17.5 (tức = trung bình cộng của 17 và 18) bởi vì vị trí chính giữa bây giờ không thuộc điểm số nào của dãy số mà nằm giữa hai số 17 và 18.
Cần biết thêm: Khi được cung cấp sẵn một phân bố tần số ta cũng áp dụng cách tính trên, nhưng trước hết phải tích lũy tần số tại các điểm số và biết được N là số điểm số có trong phân bố. Sau đó tính (N + 1) / 2 để biết vị trí số trung vị.
Theo dõi thực hành tính toán Median của 40 điểm số theo các bước sau:
Điểm số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1
Bước 1: Tích lũy tần số tại các điểm số bằng cách cộng dồn từ điểm số thấp nhất:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số (f) 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1
TS tích lũy 2 4 9 17 21 28 31 36 39 40
Bước 2: Tính (N + 1) / 2 = (40 + 1) / 2 = 20.5. Như vậy, vị trí Me tại 20.5.
Bước 3: Dò theo cột tần số tích lũy, ta thấy vị trí 20.5 thuộc về dãy điểm số 5. Có 2 điểm số 5 tại vị trí 20 và 21.
Do đó Me = (5+5)/2 = 5.
Hoạt động 2:
Áp dụng cách tính trên, hãy tính trung vị của dãy số sau:
0 6 9 7 8 8 7 9 7.
Hoạt động 3:
1. Tính trung vị của phân bố điểm số:
Điểm số 2 3 4 5 6 7 8 9
Tần số 1 3 5 10 12 5 3 3
2. Tính trung vị của phân bố điểm số:
Điểm số 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số 1 1 6 7 9 2 1 2 1
Trả lời: 1. Me = 7; 2. Me = 6; 3. Me = (5 + 6)/2 = 5.5, vị trí của Me = 15.5.
Công dụng của số trung vị:
- Bạn có biết những trường hợp nào người ta dùng số trung vị không?
Hãy liệt kê các trường hợp này theo cách gạch đầu dòng.
Để hiểu công dụng của số trung vị, ta liên hệ một vài trường hợp cụ thể.
1. Theo các số liệu được ngành giáo dục công bố sau kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2002 và 2003, điểm trung bình 3 môn thi của trên 800 nghìn thí sinh không tính hệ số là 8.53. Với thang điểm tối đa = 10 cho 1 môn thi, đọc con số ấy ai cũng biết trình độ thí sinh dự thi như vậy là thấp. Nhưng không thể biết có bao nhiêu % thí sinh có điểm thi dưới (hay trên) 8.53 (tức dưới hay trên trung bình). Nếu dùng số trung vị thì theo định nghĩa, ta biết có 50% (tức có trên 400 nghìn) thí sinh đạt điểm thi 3 môn nằm dưới trung vị. Số liệu đã công bố cho biết trung vị = 7. Quan sát thêm bảng phân bố tần số ta thấy nhiều thí sinh cùng đạt tổng điểm = 7 (các điểm 7 này sẽ nằm phía trên và phía dưới vị trí trung vị). Cho nên ta kết luận rằng có khoảng trên 400 nghìn thí sinh đạt tổng điểm thi 3 môn từ 7 trở xuống.
2. Khi mô tả kết quả học tập của một học sinh (hàng tháng hay học kỳ), lâu nay dùng điểm trung bình cộng, số trung bình phản ánh đúng chất lượng học tập nếu học sinh học đều, không có các điểm số đột biến quá cao hay quá thấp. Nếu một học sinh có học lực khá (các điểm số phần nhiều từ 7 trở lên) do một trở ngại nào đó có một điểm số 0, điểm trung bình bị giảm nhiều, trong khi trung vị giảm ít hoặc gần như không bị thay đổi.
Quan sát dãy điểm số của một học sinh ở hoạt động 2, nếu không có điểm 0, điểm trung bình của học sinh này là 7.60 trung vị là 7.5 (gần nhau).
Khi rủi ro bị một điểm 0, điểm trung bình giảm còn 6.77 (giảm gần 1 điểm), trong khi trung vị mới là 7.0, không bị suy giảm nhiều.
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (Mean)
Số trung bình cộng rất quen thuộc với mỗi giáo viên và học sinh. Phần lớn giáo viên biết định nghĩa và cách tính. Tuy nhiên có thể một số giáo viên chưa biết công dụng của số trung bình trong một bài trắc nghiệm.
Bạn có thể phát biểu định nghĩa và cách tính trung bình cộng của một tập hợp điểm số X1, X2, X3,… Xn không? Cụ thể là tính trung bình của 5 điểm số 15, 20, 30, 34, 38?
Định nghĩa: số trung bình cộng (dưới đây có lúc viết là Mean thường gọi là điểm trung bình) được tính bằng cách cộng tất cả điểm số (của bài làm học sinh) và sau đó chia cho tổng số bài (hay số học sinh có bài làm).
Cách tính: Điểm trung bình của 5 điểm số trắc nghiệm 15, 20, 30, 34, 38 là:
(15 + 20 + 30 + 34 + 38)/5 = 137/5 = 27.4
Lưu ý: Tính điểm trung bình khi mỗi điểm số có hệ số khác nhau, ta nhân hệ số với điểm số trước khi cộng và mẫu số bây giờ là tổng các hệ số.
Nếu là phân bố tần số, ta nhân từng điểm số với tần số (để có X.f) sau đó mới cộng chung lại. Tổng này sẽ chia với tổng các tần số, ta được Mean.
Thí dụ: Tính điểm trung bình của 3 bài thi: bài 1 = 7 có hệ số 2 bài 2 = 9 có hệ số 1, bài 3 = 8 có hệ số 3. Tổng hệ số = 6 và kết quả trung bình sẽ là: 7 x 2 + 9 x 1 + 8 x 3 = 47/6 = 7.83
Hoạt động 3:
Hãy ghi ra những trường hợp dùng số trung bình cộng trong đời sống mà bạn được biết. Giải thích ý nghĩa của các con số đó.
Thí dụ: Thường nghe đài nói bình quân sản lượng lúa thu hoạch tại một tỉnh. Báo viết bình quân số con trong gia đình v.v…
Hỏi: Nếu bình quân số con trong gia đình vùng nông thôn bằng 4 ta hiểu như thế nào?
HD: Số bình quân tức là số trung bình cộng. Nói Mean số con bằng 4, ta hiểu số con trong mỗi gia đình nông thôn là khác nhau, có thể ít hơn hay nhiều hơn số trung bình cộng, nhưng gộp lại và chia đều ra thì mỗi gia đình có khoảng 4 con.