Chương 5. CÁC THÔNG SỐ ĐÁNH GIÁ BÀI TRẮC NGHIỆM
III. CÁC SỐ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
Các số định tâm chỉ cho ta biết khuynh hướng tập trung tại trung tâm của các điểm số. Để hiểu rõ hơn về một phân bô điểm số, từ đó có thể đối chiếu các điểm số của hai hay nhiều nhóm (lớp) với nhau, ta cần biết thêm
các số đo tính chất biến thiên của điểm số quanh trung tâm, còn gọi là các số đo độ phân tán. Trong thống kê, có rất nhiều số khác nhau mô tả tính chất này, nhưng thông dụng nhất là hàng số, độ lệch tứ phân, độ lệch tiêu chuẩn.
Dưới đây giới thiệu hai trong số đó.
HÀNG SỐ (Range):
Định nghĩa: Hàng số là số đo khoảng cách giữa điểm số cao nhất và điểm số thấp nhất.
Công thức tính: Cho một dãy điểm số. Gọi MIN là điểm số thấp nhất, MAX là điểm số cao nhất trong dãy đó.
Hàng số = MAX - MIN Hoạt động 4:
Tìm hàng số của dãy điểm số:
3 12 4 8 14 7 20 4 10 4 16 3 6
Công dụng: Trong giáo dục, hàng số dễ tìm, nó cho biết độ phân tán điểm số của học sinh trong một lớp (hay một nhóm). Nếu giá trị của hàng số là lớn, các điểm số bị phân tán xa trung tâm. Nếu giá trị hàng số là bé, các điểm số tập trung gần trung tâm.
Ta thường dùng hàng số để so sánh mức phân tán điểm số giữa các lớp với nhau.
Hãy quan sát kết quả bài thi Toán của 2 lớp 10 A1 và 10 A2 như sau:
Điểm X (lớp 10A1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số f 2 1 2 5 7 10 4 4 3 2
Điểm X (lớp 10A2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số f 0 0 4 6 12 8 5 4 1 0
Có thể nhận xét được gì về học lực của các học sinh lớp 10 A1 và 10 A2? Ghi các ý vào một tờ giấy.
Nhận xét:
Quan sát các loại điểm số: Cả hai lớp đều có 10 học sinh đạt điểm yếu và kém. Số học sinh đạt loại điểm khá và trung bình ở hai lớp xấp xỉ nhau, về điểm giỏi, lớp 10A1 có nhiều học sinh hơn. Điểm của lớp 10A2 có khuynh hướng tập trung quanh khu vực trung tâm (quanh điểm 5) nhiều hơn lớp 10A1. Căn cứ vào đó ta kết luận trình độ học sinh lớp 10A1 khá hơn lớp 10A2, nhưng học sinh lớp 10A2 đều hơn.
Dùng hàng số có thể nhận xét nhanh: Hàng số của lớp 10A1 là 10 - 1 = 9, của lớp 10A2 là 9 - 3 = 6. Như vậy điểm số lớp 10A1 phân tán nhiều hơn.
Từ đó nói được học sinh học 10A2 đều hơn. (Lớp 10A1 có cả học sinh giỏi và kém, trong khi lớp 10A2 không có học sinh kém và rất ít học sinh giỏi).
Khi kiểm tra học sinh bằng trắc nghiệm, với số câu = 40 hay cao hơn = 60, điểm tối đa không phải = 10 mà có thể là 40 hay hơn. Các điểm số sẽ phân bố rộng hơn. Hàng số góp phần giúp ta nhận xét chất lượng tiếp thu bài của 2 hay nhiều lớp trong trường.
ĐỘ LỆCH TIÊU CHUẨN
(Standard Deviation, viết tắt là SD)
Định nghĩa: Độ lệch tiêu chuẩn là căn số bậc hai của số trung bình của bình phương các độ lệch.
Độ lệch = hiệu của một điểm số so với trị số trung bình.
Ký hiệu: Có hai ký hiệu:
S dùng cho độ lệch tiêu chuẩn mẫu.
ơ dùng cho độ lệch tiêu chuẩn của dân số.
Công thức: Được viết dưới nhiều dạng khác nhau, ở bài này ta chọn dạng công thức thực hành để tính toán được thuận tiện. Cần sự trợ giúp của một máy tính bỏ túi. Chú ý quy ước trong công thức: N - cỡ của dân số, n là cỡ của mẫu, X = điểm số, f = tần số của mỗi điểm số.
Cách tính: Nếu là điểm số rời, ta cần tính tổng và tổng bình phương các trị số X. Nếu là phân bố tần số, ta lập thêm các cột Xf, X2, X2f, sau đó tính tổng cột Xf và X2f. Cuối cùng thay vào công thức ơ (khi coi các điểm số là dân số), hay s (khi các điểm số chỉ là một mẫu).
Công dụng: Độ lệch tiêu chuẩn là một số đo lường cho biết các điểm số trong một phân bố đã đi lệch so với trung bình là bao nhiêu.
+ Nếu giá trị ơ là nhỏ -> các điểm số tập trung quanh trung bình.
+ Nếu giá trị ơ là lớn -> các điểm số lệch xa trung bình. Thường dùng độ lệch tiêu chuẩn khi:
(a). Cần so sánh mức phân tán hay mức đồng nhất của hai hay nhiều nhóm điểm số (cùng đơn vị đo và có trung bình xấp xỉ nhau).
(b). Dùng độ lệch tiêu chuẩn để xét tính chất tượng trưng của trung bình cộng. Nếu hai hay nhiều phân bố gần giống nhau, có trung bình như nhau, phân bố nào có SD nhỏ nhất thì trung bình cộng của phân bố ấy có tính chất tượng trưng nhiều nhất.
Độ lệch tiêu chuẩn có thể giúp ta xác định vị trí của một điểm số trong phân bố. (Xem chương 7: Các loại điểm số trắc nghiệm).
Thực hành:
1. Tính độ lệch tiêu chuẩn của các điểm số dưới đây:
a. 3 3 4 5 5 6 6 7 8 9 (ơ =1.91, s = 2.01)
b. 30 54 42 69 58 37 48 53 60 49 (ơ = 10.9, s= 11.5)
HD: Lập các cột X và X2, sau đó cộng các cột này, thay vào công thức điểm số rời.
2. Hãy lập phân bố tần số các điểm số bài thi của học sinh (hoặc điểm một môn học của lớp bạn). Sau đó tính trung bình và độ lệch tiêu chuẩn.
HD: Lập các cột Xf, X2, X2f sau đó tính các tổng Xf, X2f. Dùng công thức có tần số.