Giai đoạn mở rộng và phát triển các tính chất của đạo hàm với sự thúc đẩy đến từ

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

1.1. L ịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm

1.1.3. Giai đoạn mở rộng và phát triển các tính chất của đạo hàm với sự thúc đẩy đến từ

Công cụ đạo hàm trong Vật lí

Mặc dù những ứng dụng đầu tiên của đạo hàm trong Vật lí đã xuất hiện ngầm ẩn trong phương pháp tìm cực trị của Fermat khi ông sử dụng nó trong việc xác định đường đi của tia sáng thì thật ra, thời kì hoàng kim của công cụ giải tích trong nghiên cứu Vật lí chỉ mở ra từ sau khi có dấu ấn sâu đậm của Newton. Newton có thể xem là cha để của cơ học cổ điển khi xây dựng một nền tảng vững vàng cho Vật lí dựa trên các định luật về chuyển động và lực hấp dẫn. Và sự thực thì phát minh ra phép tính vi tích phân nhằm xây dựng một công cụ toán học phù hợp để ông nghiên cứu các vấn đề Vật lí nên không gì lạ khi lý thuyết giải tích mà ông xây dựng dựa trên ý niệm về chuyển động và đạo hàm được quan niệm như là vận tốc biến đổi của các đại lượng.

Trong cuốn sách nổi tiếng nhất của mình “Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” Newton đã phát biểu ba định luật quan trọng về chuyển động trong đó định luật thứ hai nói rằng: “Sự biến thiên của chuyển động17F18 thì tỉ lệ với lực tác động lên vật và có hướng là hướng của lực đó”. Nếu chúng ta phát biểu nó theo ngôn ngữ của giải tích thì định luật này có dạng: F=(mv) '=m v( ) ' =ma (nếu khối lượng m là hằng số). Vậy là mọi thay đổi trong trạng thái chuyển động đều được gây ra bởi lực và mối quan hệ giữa chúng đã được làm rõ, đó là lực tác động tỉ lệ với đạo hàm cấp hai của hàm tọa độ chất điểm. Lúc này nếu biết trước được lực tác động chúng ta có thể tính toán được quỹ đạo cũng như dự đoán trước được tương lai của một sự kiện. Định luật này đã mang đến cho các nhà Vật lí một quyền lực ghê gớm, và quyền lực ấy rõ ràng đến từ sức mạnh của công cụ đạo hàm.

18 Ngày nay chúng ta hiểu đó là động lượng (mv

) của chuyển động.

Thế kỉ 18 là một thời kì nở rộ những ứng dụng phong phú đa dạng của giải tích trong vật lí mà đặc biệt là trong cơ học.

“Các nhà toán học cố gắng sử dụng giải tích để giải quyết được ngày càng nhiều các bài toán vật lí và đã nhanh chóng nhận ra mình phải biết ơn nó như thế nào khi đã giải quyết được hàng loạt những vấn đề rất mới. Họ thậm chí còn làm được hơn nhiều những gì đã mong muốn” (Morris Kline,1972), tr. 468).

Chúng ta sẽ xem xét sau đây một minh họa khá tiểu biểu trong việc ứng dụng giải tích để nghiên cứu dao động điều hòa:

Khi khảo sát chuyển động của con lắc lò xo, nếu gọi x quãng đường18F19thì định luật hai Newton sẽ cho ta: F =mx''. Mặt khác lực tác động này có được do lực đàn hồi của lò xo gây nên, mà lực này theo định luật Hooke có dạng đại số là −kx. Do đó chúng ta có: mx''+kx=0 (1). Năm 1739, Euler là người đầu tiên đã thiết lập và giải được phương trình vi phân (1) để mô tả được quy luật của dao động lò xo, đó là một hàm số dạng sin (hoặc cos).

Như vậy là nhờ đặc trưng mô tả tốc độ biến thiên của mình mà đạo hàm đã giúp vật lí thiết lập các phương trình mô tả các hiện tượng tự nhiên. Nhu cầu giải các phương trình này đưa đến việc xây dựng lý thuyết về các phương trình vi phân và sau đó là phương trình đạo hàm riêng, nghiệm tìm được sẽ cho phép ta tìm ra quy luật vật lí của hiện tượng. Đến gần giữa thế kỉ 18, phương trình vi phân đã trở thành một công cụ toán học hữu hiệu nhất trong lịch sử vật lí.

Euler và sự mở rộng các tính chất của đạo hàm

Một phát minh quan trọng khác được Brook Taylor đưa ra vào năm 171519F20 mà bây giờ chúng ta biết đến nó với tên gọi: Công thức khai triển Taylor.

Khi khảo sát tính chất của các sai phân hữu hạn, Taylor đã biểu diễn f x( +h)theo f x( ) và các tỉ số vi phân của nó với các bậc khác nhau. Taylor sau đó cho các vi phân này nhỏ đến vô cùng và thay thế các tỉ số vi phân bằng đạo hàm các bậc khác nhau và thu được công thức sau:

( )

'( ) ''( ) 2 ( )

( ) ( ) ... ...

1! 2! !

n

f x f x f x n

f x h f x h h h

+ = + + + + n +

Công thức Taylor sau đó đã trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu hàm số và xấp xỉ nghiệm của phương trình, nhưng điều chúng ta muốn nhấn mạnh sau đây là việc

19 Chính xác hơn là li độ của con lắc (khoảng cách tính đến vị trị cân bằng) với quy ước dấu theo chiều dương được chọn trước.

20 Thật ra thì từ thế kỉ 17, Newton và James Gregory cũng đã tìm được những kết quả tương tự nhưng không tổng quát và trực tiếp như Taylor.

nghiên cứu về chuỗi Taylor đã cung cấp một cách nhìn hoàn toàn mới về bản chất của đạo hàm. Đầu tiên, Euler đã sử dụng khai triển này trong nghiên cứu của mình về chuỗi lũy thừa và đã giải quyết triệt để bài toán tìm cực trị hàm số mà từ đó Lagrange đã giúp cho đạo hàm có được một cách quan niệm mới.

Năm 1755 khi nghiên cứu về chuỗi lũy thừa, trong cuốn “Phép tính vi phân” Euler đã đưa ra một tiêu chuẩn về việc giữ lại một số hữu hạn các số hạng của chuỗi mà bỏ đi phần còn lại – tiêu chuẩn này rất hữu ích trong các xấp xỉ chuỗi lũy thừa.

Tiêu chuẩn mà Euler có thể viết lại dưới dạng đầy đủ hơn như sau:

“với bất kì một chuỗi nào có dạng a+bx+cx2+dx3+... chúng ta đều có thể tìm được giá trị x đủ nhỏ sao cho nếu ta ngắt đi phần chuỗi số sau một số hạng nào đó – chẳng hạn x2, thì số hạng chứax2này sẽ luôn lớn hơn, về giá trị tuyệt đối, so với tổng của phần chuỗi đó”.(Trích theo Grabiner, 1983), tr. 201 – 202)

Ông không đưa ra chứng minh cho nhận định này nhưng sau đó đã áp dụng nó để đi đến những khảo sát đầy đủ nhất cho vấn đề cực trị vốn chưa được giải quyết triệt để. Chúng ta sẽ tìm hiểu lập luận của Euler, chẳng hạn cho trường hợp cực đại:

Xét hàm số f x( ) và f x( 0) là cực đại của nó, theo định nghĩa cực đại thì với h nhỏ ta

luôn có: 0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

f x h f x f x h f x

− <

 + <

 (2)

Sử dụng khái triển Taylor cho f x( 0+h) và f x( 0−h) điều kiện (2) có thể được viết lại như sau:

0 2 0

0 0 0

0 2 0

0 0 0

'( ) ''( )

( ) ( ) ... ( )(3)

1! 2!

'( ) ''( )

( ) ( ) ... ( )(4)

1! 2!

f x f x

f x h f x h h f x

f x f x

f x h f x h h f x

 − = − + − <



 + = + + + <



Trong hai chuỗi lũy thừa theo h ở trên, nếu chúng ta chọn h đủ nhỏ để số hạng thứ hai '( 0)

1!

h f x trội hơn phần còn lại của chuỗi thì cách duy nhất để cho cả hai bất đẳng thức (3) và (4) đều thõa mãn là số hạng này phải bằng 0. Điều này đồng nghĩa với việc điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x0là f x'( 0)=0. Tuy nhiên, ngay cả khi điều này xảy ra thì do h2 >0 và số hạng ''( )0 2

2!

f x

h trội hơn phần còn lại nên để thõa (4) thì f ''(x0)<0. Trong trường hợp ''( 0)

f x tiếp tục bằng 0 thì chúng ta lại phải xét đến các đạo hàm cấp cao hơn… Phân tích của Euler đã cho thấy một điểm mới mẻ mà chuỗi Taylor mang lại, đó là bài toán cực trị

phải liên quan đến không chỉ đạo hàm bậc một và bậc hai, mà còn với các đạo hàm bậc bất kì khác.

Kết luận Euler đưa ra không hẳn là hoàn toàn mới20F21, nhưng điều quan trọng hơn ở chỗ, lập luận ông đưa ra thuần túy là giải tích mà không mang tính hình học. Ông đã xây dựng một lý thuyết đại số về cực trị dựa trên phép xấp xỉ, cũng đồng thời dựa trên các bất đẳng thức đại số21F22 và lý thuyết này đã trở thành một sự kiện quan trọng ảnh hưởng đến những nghiên cứu của Lagrange sau này.

Lagrange và hàm số đạo hàm

Lagrange quan tâm đến sự thiếu chặt chẽ của tất cả các luận cứ đã tồn tại trong giải tích, ông cố gắng làm cho giải tích trở nên chặt chẽ hơn bằng cách lược giảm nó thành một ngành đại số của các chuỗi vô hạn và trong nỗ lực đó, đã đưa ra được một định nghĩa hoàn toàn mới cho khái niệm đạo hàm. Vào năm 1797, Lagrange phát biểu rằng, bất kì một hàm số nào (nghĩa là, một biểu thức giải tích bất kì, hữu hạn hay vô hạn) đều có một khai triển thành chuỗi lũy thừa:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ...

f x+h = f x +p x h+q x h + 22F23(5)

Trong khai triển này, Lagrange đã đưa ra định nghĩa cho một hàm số mới: hàm số p x( ) (hệ số của số hạng tuyến tính theo h) và gọi hàm số này là “hàm số dẫn xuất cấp một” của

( )

f x . Thuật ngữ “hàm số dẫn xuất” (derived function) chính là nguồn gốc của từ “đạo hàm”

mà chúng ta sử dụng bây giờ, cùng với đó Lagrange cũng đưa vào kí hiệu f x'( ) cho “hàm số đạo hàm” này. Ông định nghĩa f ''( )x là “hàm số dẫn xuất cấp một” của hàm số f x'( ) và cứ như thế với các đạo hàm cấp cao hơn, và từ đó chứng minh được rằng trong khai triển (5) thì: ( ) ''( )

2!

f x

q x = và ( ) '''( ) 3!

f x r x = ….23F24

Định nghĩa mới mẻ này về đạo hàm đã giải phóng đạo hàm khỏi những quan niệm hạn chế trước đó: Từ việc Newton giải thích đạo hàm như là tốc độ biến thiên liên quan đến khái niệm chuyển động trong toán học đến Leibniz khi ông xem đạo hàm như là tỉ số của hai vi phân, được hiểu là thương của hai số gia vô cùng bé. Đạo hàm bây giờ là một hàm số, đạo

21 Phương pháp sử dụng chuỗi Taylor để đánh giá cực trị của hàm số theo dấu của đạo hàm các bậc khác nhau đã được đưa ra vào năm 1742 bởi Colin Maclaurin nhưng chỉ giải thích bằng hình học.

22 Grabiner(1981), The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, Tr. 118.

23 Khác với chúng ta, Lagrange dùng kí hiệu i thay cho h.

24 Xem thêm chứng minh của Lagrange từ: Fraser, C (2005), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Chương 19, Joseph Louis Lagrange,Théorie des fonctions analytiques, tr. 263 – 264.

hàm cấp hai hay cả các cấp cao hơn đơn giản cũng chỉ là những hàm số xuất hiện trong khai triển Taylor của hàm số ban đầu mà thôi.24F25

Mặc dù định nghĩa mới này của Lagrange là không hoàn toàn thỏa đáng bởi lẽ nó phải giả thiết rằng mỗi hàm khả vi bất kì đều phải là tổng của một chuỗi Taylor nhưng quan niệm này của Lagrange lại dẫn ông đến một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm. Ông đi đến tính chất này bằng cách sử dụng tiêu chuẩn trên của Euler khi cắt bỏ phần dư của chuỗi lũy thừa. Cụ thể xét khai triển Taylor của hàm số f x( ):

2 3

'( ) ''( ) '''( )

( ) ( ) ...

1! 2! 3!

f x f x f x

f x h+ = f x +h +h +h

Trong tiêu chuẩn của Euler, có thể chọn được h đủ nhỏ để số hạng hf x'( )trở nên trội hơn phần còn lại của chuỗi 2 ''( ) 3 '''( )...

2! 3!

f x f x

h +h Lagrange nói rằng điều này là tương đương với tính chất sau:

( ) ( ) '( )

f x+h = f x +hf x +hH (6).

Ở đây, H là một hàm số theo x và h mà sẽ tiến đến 0 cùng với h. Lagrange đã tìm ra được một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm, từ đặc trưng này ông đã xây dựng một bất đẳng thức tương ứng và sau này trở thành một gợi ý quan trọng cho Cauchy trong nỗ lực xây dựng cho đạo hàm một cơ sở chặt chẽ.

Kết luận cho giai đoạn này

Trong quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm, vật lí có một vai trò rất đặc biệt. Từ cái nhìn của vật lí, Newton đã mang lại cho đạo hàm một đặc trưng rất trực quan và hữu ích:

Đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của một đại lượng. Quan niệm này đã mở đường cho những ứng dụng ồ ạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong việc giải quyết nhiều vấn đề vật lí khác nhau. Thế kỉ 18 ghi dấu thời kì hoàng kim của việc ứng dụng giải tích trong nghiên cứu vật lí mà đặc biệt là lý thuyết về phương trình vi phân trở thành một trong những công cụ hữu hiệu nhất.

Dựa trên khai triển Taylor và tiêu chuẩn cắt cụt một chuỗi lũy thừa của mình, Euler lần đầu tiên đã đưa ra một phương pháp thuần túy đại số để giải quyết hoàn toàn bài toán cực trị (mà không dựa trên cách tiếp cận có tính hình học). Theo đó thì bài toán cực trị không chỉ liên quan đến đạo hàm bậc một hay bậc hai mà còn với cả các đạo hàm có bậc khác. Ý

25 Kí hiệu f x'( ) của Lagrange cũng là nhằm thể hiện quan điểm xem đạo hàm như một hàm số.

tưởng của Euler là nghiên cứu giải tích dựa trên các chuỗi vô hạn và thao tác chúng theo các quy trình đại số.

Lagrange dựa trên phương pháp của Euler khi ông ấp ủ ý định làm cho giải tích trở nên chặt chẽ hơn bằng cách lược giảm nó thành một ngành đại số các chuỗi vô hạn. Để thực hiện ý định này, ông đã đưa ra một định nghĩa hoàn toàn mới cho khái niệm đạo hàm, theo đó đạo hàm được định nghĩa bằng vai trò của nó trong khai triển Taylor – một định nghĩa tuy không hoàn toàn hợp lý nhưng điều quan trọng là Lagrange đã thiết lập một đặc trưng rất quan trọng của đạo hàm f x( +h)= f x( )+hf x'( )+hH, rồi thể hiện đặc trưng này dưới dạng một bất đẳng thức và sử dụng nó trong các chứng minh mà không cần phải dùng đến những số gia vô cùng bé như Newton hay Leibniz.