CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.1. Th ực nghiệm thứ nhất : tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh
4.1.3. Phân tích tiên nghi ệm
4.1.3.1. Bài toán 1
Bài toán này được xây dựng nhằm mục đích kiểm tra sự tồn tại trong kiến thức của học sinh đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm. Yêu cầu của bài toán ở đây không phải là tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm, mà là giải thích một xấp xỉ hàm.
a. Biến didactic
Biến V1: Xấp xỉ được lựa chọn
Trong số các xấp xỉ xuất hiện trong chương trình phổ thông đặc biệt là trong vật lí, chúng tôi lựa chọn xấp xỉ hàm lượng giác bởi lẽ: Với các xấp xỉ đại số, các em sẽ ưu tiên lựa chọn chiến lược sử dụng các biến đổi đại số để giải thích xấp xỉ. Tuy nhiên với xấp xỉ lượng giác sinx≈x thì chiến lược này sẽ không thể sử dụng. Điều này sẽ tạo thuận lợi cho các chiến lược khác xuất hiện, trong đó có chiến lược sử dụng đặc trưng xấp xỉ hàm nếu như quả thật đặc trưng này tồn tại trong quan hệ cá nhân của học sinh
b. Các chiến lược
Chiến lược xấp xỉ affin (CLxấpxỉ):
Khi x−x0 khá nhỏ thì ta có : 𝑓(𝑥)≈ 𝑓(𝑥0) +𝑓′(𝑥0)(x− 𝑥0) Áp dụng biểu thức gần đúng trên cho hàm f x( )=sinx ta có:
Khi xkhá nhỏ thì: 𝑠𝑠𝑠𝑥 ≈ 𝑠𝑠𝑠0 +𝑐𝑐𝑠0(𝑥 −0) → 𝑠𝑠𝑠𝑥 ≈ 𝑥 Chiến lược giới hạn (CLghạn):
Từ giới hạn: lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥 = 1
Suy ra khi x khá nhỏ (x càng gần 0) thì: sinx 1
x ≈ hay sinx≈x Chiến lược máy tính bỏ túi:
Chọn các giá trị x lần lượt ngày càng nhỏ rồi tính giá trị sinx tương ứng. Đối chiếu và chỉ ra kết luận sinx≈x khi x khá nhỏ.
Chiến lược vòng tròn lượng giác (CLđườngtrònLG):
Độ dài cung AB sẽ là: R.α α= (do R=1). Ta có αbằng độ dài cung AB và khi αkhá nhỏ thì ta có: α =AB≈AH =sinα
4.1.3.2. Bài toán 2
Đây vốn là bài toán đã xuất hiện trong SGKNC 12 mà chúng tôi đã nhắc đến trong phần phân tích các tổ chức toán học. Điểm thay đổi ở đây là chúng tôi đã bỏ đi câu thông báo mà SGK đã đưa vào trong bài toán: “Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn”. Hơn nữa, thay vì đặt câu hỏi như của SGK là “tính tốc độ tăng dân số” trong từng năm, chúng tôi yêu cầu học sinh so sánh xem trong hai thời điểm trên “năm nào dân số của thị trấn tăng nhanh hơn”. Việc đặt ra bài toán này sẽ giúp chúng tôi kiểm tra xem đặc trưng tốc độ biến thiên liệu có xuất hiện hay không trong mối quan hệ cá nhân của các em học sinh đã học qua khái niệm đạo hàm.
a. Biến didactic
Biến V2: Mô hình thực tế của bài toán
Mô hình ở đây là mô hình dân số. Việc chọn mô hình này sẽ làm cho câu hỏi chúng tôi đặt ra “năm nào dân số tăng nhanh hơn” trở nên rất quen thuộc và thuận lợi. Bởi lẽ, ý niệm về tốc độ tăng dân số đã được các em tiếp xúc nhiều trong thực tế cuộc sống hoặc trong một số môn học khác chẳng hạn như Địa lý…
Biến V3: Hàm số được chọn
Hàm số được chọn ở đây là hàm số phân thức ax b cx d +
+ quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12. Hơn nữa, vì là đặt ra câu hỏi về tốc độ tăng dân số nên hàm được chọn sao cho đồng biến trên miền đang xét.
Biến V4: Cách đặt câu hỏi
Nếu lựa chọn cách đặt câu hỏi như của SGK, học sinh buộc phải dùng đạo hàm để tính toán. Chúng tôi chọn đặt câu hỏi so sánh hai tốc độ tăng này bởi lẽ, học sinh có thể tìm thấy nhiều chiến lược khác để giải quyết yêu cầu đặt ra. Những chiến lược này sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về quan niệm của các em với khái niệm tốc độ biến thiên tức thời.
b. Các chiến lược
Chiến lược đạo hàm (CLđạohàm)
2
'( ) 120
( 5) f t = t
+
Tại năm 1990, t1=1990 1970− =20→ f '(20)=0,192 Với năm 2008, t2 =2008 1970− =38→ f '(38)=0, 065
Do f t'( )1 > f t'( )2 nên năm 1990 dân số thị trấn tăng nhanh hơn năm 2008 Chiến lược tốc độ tăng trung bình (CLtb)
Phương án 1:Tính lượng dân số tăng từ năm 1970 đến 1990 rồi chia đều cho số năm là 20 năm để tính trung bình. Tiến hành tương tự cho năm 2008 rồi so sánh 2 tốc độ trung bình này để kết luận.
Phương án 2: Tính số dân tăng từ năm 1989 đến 1990 và số dân tăng từ 2007 đến 2008. Có nghĩa là tìm số dân tăng trong một năm tính đến năm đang xét rồi so sánh để kết luận.
Chiến lược đồ thị (CLđồthi )
Vẽ đồ thị hàm f t( ) rồi xem xét trên đồ thị tại hai thời điểm cần xét xem tại đâu hàm số dốc hơn (nghĩa là sẽ tăng nhanh hơn).