CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.2. Th ực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học
4.2.5. Phân tích k ịch bản
Pha 1: Trong pha này, chúng ta nhắc lại khái niệm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số. Kiểu nhiệm vụ chính chúng ta muốn hướng đến ở đây là so sánh hai tốc độ biến thiên tức thời. Chúng tôi chọn giá trị của biến V5 là có đưa vào yêu cầu tính tốc độ tăng trung bình nhằm mục đích tạo điều kiện thuận lợi để chiến lược Strungbinh (dựa vào tốc độ tăng trung bình để so sánh) xuất hiện. Từ đó, nếu các em chọn chiến lược này thì với cách chọn các biến V V V6; 7; 8như đã nói ở trên sẽ dẫn đến một kết luận không chính xác. Ý đồ này là nhằm làm xuất hiện một tình huống phá vỡ hợp đồng khi tốc độ trung bình không phản ánh đúng tốc độ tức thời tại mỗi thời điểm.
Tuy vậy để học sinh nhận ra sai lầm trong kết luận của mình thì chúng ta cần phải giúp các em tìm ra được một chiến lược mới để biết được câu trả lời đúng đắn. Đó chính là chiến lược đồ thị: Sdothi.
Pha 1’: Mục đích của pha này là làm xuất hiện chiến lược đồ thị. Vì lẽ đó, chúng tôi đã chọn biến V2 là tìm các phương án khác để giải quyết lại câu c bài toán 1 để buộc các nhóm phải tìm thêm các chiến lược giải khác. Cùng với đó là sự lựa chọn biến V6: hàm f t( ) là hàm số bậc 3 quen thuộc, đây là hàm số có thể dễ dàng hình dung và vẽ được đồ thị cho nên chiến lược đồ thị rất có hi vọng sẽ xuất hiện.
Pha 2: Trong pha này, các em sẽ sử dụng chiến lược Sdothi để tìm thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn. Rõ ràng là muốn có được kết luận chính xác thì đồ thị càng phải được “phóng to” càng tốt. Để tăng độ chính xác và thuận lợi cho các em đưa ra các nhận định của mình chúng tôi đã cung cấp cho các em đồ thị của hàm số này cùng với hình ảnh phóng to tại hai thời điểm đang xét. Chiến lược Sđồthi sẽ giúp các em có được câu trả lời cho thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn và rõ ràng kết luận từ chiến lược này là đối nghịch với chiến lược
trungbinh
S ở trên. Tình huống có vấn đề này buộc các em phải xem xét lại chiến lược sử dụng tốc độ trung bình vì sao mà không cho kết quả đúng. Chúng tôi thấy rằng, để thực hiện được bước chuyển từ việc tính toán tốc độ biến thiên trung bình sang tốc độ biến thiên tức thời cần thêm một giai đoạn trung gian. Thực hiện giai đoạn này chính là mục tiêu của pha 3.
Pha 3: Để thực hiện bước chuyển này chúng tôi đã yêu cầu học sinh thay đổi lại giá trị của
∆t để tốc độ tăng trung bình phản ánh đúng sự nhanh chậm ở từng thời điểm. Mục đích của pha này là để học sinh nhận ra khi ∆tcàng nhỏ thì tốc độ tăng trung bình càng phản ảnh chính xác tốc độ tăng tức thời tại thời điểm ấy. Và như vậy, đến thời điểm này thì các em đã
được tạo rất nhiều thuận lợi để tiến gần hơn đến nghĩa tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm.
Pha 3’: Qua pha 3, các em đã được tạo một “tâm thế” sẵn sàng và pha này chính là thời điểm thích hợp để chiến lược đạo hàm xuất hiện và theo đó nghĩa tốc độ biến thiên cũng được hình thành. Với đối tượng các học sinh lớp 12 đã học qua khái niệm đạo hàm thì các em đã được làm quen với định nghĩa đạo hàm là '( )0 lim0
x
f x y
∆ → x
= ∆
∆ . Tốc độ thay đổi trung bình của hàm số cũng được tính dưới dạng y
x
∆
∆ . Việc cần phải cho ∆t càng bé (ngầm ẩn là tiến về 0) ở pha 3 đã tạo cơ hội lớn cho chiến lược đạo hàm xuất hiện. Việc dùng chiến lược này để giải lại câu c sẽ là một cơ hội để các em kiểm chứng được tính chính xác và ưu việt của công cụ đạo hàm trong tình huống trên.
Pha 4: Theo như mong đợi của chúng tôi đến cuối pha 3’, nghĩa tốc độ biến thiên tức thời của đạo hàm sẽ được hình thành và được thể chế. Pha này nhằm mục tiêu soi sáng lại các ứng dụng của nó trong các vấn đề Vật lí mà ở đó đạo hàm hiện diện như một công cụ để đặc trưng cho tốc độ biến thiên của một đại lượng. Qua pha này các em sẽ nhận ra rằng ý nghĩa mới này của đạo hàm (mới đối với các em) rõ ràng là cần thiết cho việc ứng dụng đạo hàm trong các vấn đề của những môn khoa học khác mà đặc biệt là Vật lí.
Buổi thứ 2
Pha 5: Để hình thành nghĩa “xấp xỉ” chúng tôi đặt ra cho học sinh một bài toán tính gần đúng giá trị hàm số mà không được sử dụng máy tính. Đây không phải là một kiểu nhiệm vụ hoàn toàn mới mẻ bởi vì nó đã xuất hiện trong bài vi phân và các em hoàn toàn có thể sử dụng công thức gần đúng (*) để giải quyết bài toán. Tuy nhiên, như trong phần phân tích thể chế và các luận văn trước đây đã chỉ ra: Kiểu nhiệm vụ này cũng với công thức (*) xuất hiện khá mờ nhạt và không được dành nhiều chú ý. Đáng chú ý hơn, trong luận văn “Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm” của Bùi Thị Thu Hiền tác giả đã chỉ ra rằng: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”
Theo chúng tôi, muốn thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine phải thông qua con được quan sát đồ thị. Trong pha này, việc chọn giá trị biến V9 là có đưa vào yêu cầu vẽ đồ thị đã tạo ra một điểm nhấn hút hướng suy nghĩ của các em vào sự xấp xỉ này của đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đưa vào một
giai đoạn chuyển tiếp từ xấp xỉ về mặt đồ thị đến xấp xỉ về mặt giá trị hàm cho nên chúng tụi đó đưa thờm vào cõu hỏi : ô Nếu gọi phương trỡnh tiếp tuyến là y=g x( ) và xột một điểm
x1 nằm rất gần x0 =1. Hãy nhận xét về hai giá trị: f x( )1 và g x( )1 ?”
Mục đích của pha này thiết lập mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine (xấp xỉ hàm số bằng tiếp tuyến của nó quanh lân cận tiếp điểm). Trong các pha sau đó, học sinh sẽ có cơ hội vận dụng mối quan hệ mới mẻ này trong việc tính gần đúng giá trị hàm số và xây dựng công thức xấp xỉ cho một hàm số.
Pha 5’: Trong pha này, chúng tôi đã lựa chọn giá trị biến V12 là giá trị x1 nằm rất gần x0. Nhờ đó, học sinh có cơ hội vận dụng xấp xỉ đã nói ở trên để tính gần đúng giá trị của hàm ở những điểm gần với x0 (ở đây là x1). Giá trị gần đúng tính được sau khi được so sánh với kết quả có được bằng máy tính bỏ túi sẽ quay trở lại làm củng cố hơn niềm tin về hình thức xấp xỉ mới mà các em được tiếp cận. Kiểu nhiệm vụ yêu cầu tính giá trị của hàm tại một điểm cụ thể x1 =1.0001cũng là một bước chuẩn bị cho pha tiếp theo, mà ở đó học sinh được yêu cầu thiết lập công thức tính gần đúng f x( )1 với giá trị x1 tùy ý gần x0
Pha 6: Trong pha này học sinh sẽ sử dụng lại các thao tác xấp xỉ ở trên để thiết lập một công thức tính gần đúng f x( )1 với giá trị x1 tùy ý gần x0. Công thức này chính là một xấp xỉ hàm số f x( ) bởi hàm tiếp tuyến của nó: f x( )1 ≈ f x'( )(0 x1−x0)+ f x( )0 . Nếu thay đổi biến x1
thành xvà kí hiệu ∆ = −x x x0, học sinh sẽ tìm lại được công thức gần đúng mà mình đã từng được học trong bài vi phân. Tuy nhiên, lúc này cách hiểu về công thức xấp xỉ này của các em đã có sự thay đổi. Đó không đơn thuần chỉ là một công thức gần đúng với lí do không rõ ràng, mà trái lại các em sẽ có được một cách nhìn hoàn toàn khác: công thức xấp xỉ này có được là rút ra từ việc xấp xỉ hàm số có đạo hàm bởi hàm số tiếp tuyến của nó ở trong lân cận của tiếp điểm. Thật vây, trong công thức xấp xỉf x( )≈ f x'( )(0 x1−x0)+ f x( )0 thì bên trái là phương trình của hàm số trong khi bên phải là phương trình tiếp tuyến của nó. Việc đặt thêm câu hỏi: “Hàm số f x( )phải có điều kiện gì thì mới có thể thiết lập được biểu thức tính gần đúng này?” là để nhấn mạnh hơn vai trò của đạo hàm trong xấp xỉ này. Thật vậy, để xây dựng được xấp xỉ trên thì cần thiết phải viết được phương trình tiếp tuyến, mà muốn thể thì hàm số f x( ) phải có đạo hàm tại x0.
Pha 7: Chúng tôi tiếp tục nối một sợi dây liên kết với các ứng dụng trong Vật lý. Như ta đã biết, trong nghiên cứu Vật lý người ta sử dụng rất nhiều các xấp xỉ và Vật lý phổ thông cũng
không là ngoại lệ khi việc nghiên cứu một số chủ đề đòi hỏi phải sử dụng các xấp xỉ hàm khác nhau. Mục đích của pha này là để các em vận dụng nghĩa xấp xỉ của đạo hàm, cụ thể hơn là công thức xấp xỉ hàm số mà các em vừa xây dựng được để giải thích các xấp xỉ xuất hiện trong chương trình Vật lý phổ thông. Việc chọn giá trị của biến V13 trong một chừng mực nào sẽ có thể ảnh hưởng đến chiến lược giải mà các em lựa chọn. Trong câu a, chúng tôi đưa ra một xấp xỉ đại số và theo nhận định của chúng tôi là sẽ có một số em chọn chiến lược Sdaiso để giải thích. Tuy nhiên khi đưa vào một xấp xỉ lượng giác thì cơ hội để các em tìm ra các chiến lược khác là rất khó. Trong hoàn cảnh này, chiến lược Sxấpxi sẽ là một chiến lược tối ưu và hiệu quả nhất.
Pha 8 : Đây là pha để tổng kết và thể chế lại những điểm quan trọng trong hai buổi làm việc. Việc xây dựng được hai nghĩa của đạo hàm là nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” sẽ mang lại sự đầy đủ và sâu sắc hơn cho bức tranh khái niệm đạo hàm. Bức tranh mới này, không những giúp các em hiểu được ý nghĩa của đạo hàm mà còn làm cho các ứng dụng của đạo hàm trong vật lí sẽ trở nên rõ ràng và dễ hiểu hơn. Điều này không chỉ có ích cho việc học toán mà còn cho các em thấy được sức mạnh và vai trò của môn khoa học này trong việc nghiên cứu và ứng dụng ở các lĩnh vực khác.