CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.2. Th ực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học
4.2.6. Phân tích h ậu nghiệm
Thực nghiệm được triển khai tại lớp 12A3 (40 học sinh) trường Trung học thực hành Đại Học Sư Phạm TP. HCM vào khoảng đầu tháng 10. Dữ liệu thu được bao gồm phiếu làm bài của 8 nhóm, file ghi âm và một số giấy nháp của học sinh.
Buổi thứ nhất
Pha 1. Tất cả 8 nhóm đều sử dụng chiến lược Strungbìnhđể xác định thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn. Kết quả này theo chúng tôi là hợp lý bởi lẽ, trong thực nghiệm thứ nhất cũng đã chỉ ra mỗi khi cần phải so sánh tốc độ tăng tức thời chiến lược xuất hiện nhiều nhất là chiến lược so sánh tốc độ tăng trung bình. Hơn nữa, trong bài toán 1, trước khi đặt ra câu hỏi so sánh tốc độ tăng tức thời chúng tôi đã yêu cầu các em tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình trong hai khoảng thời gian.
Đúng như những gì chúng tôi dự đoán, chiến lược Sđạohàmđã không xuất hiện. Chúng tôi phát hiện có hai nhóm đã vận dụng đạo hàm để chỉ ra tính đồng biến của hàm số tuy nhiên vẫn sử dụng chiến lược Strungbinh và đi đến kết luận không đúng về thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn.
Việc đưa ra yêu cầu tính toán tốc độ biến thiên nhiệt độ trung bình trong hai khoảng thời gian đã tạo một môi trường thuận lợi để các em chọn chiến lược Strungbinh để so sánh tốc độ tăng ở hai thời điểm. Sai lầm từ tình huống này sau khi học sinh nhận ra sẽ là thời cơ để các em điều chỉnh lại quan niệm của mình.
Pha 2. Sau khi thu lại phiếu làm bài và nhận xét chung về kết quả thu được, chúng tôi đã tiến hành làm việc tập thể và yêu cầu các nhóm tìm ra các phương pháp khác để xác định thời điểm hàm số tăng nhanh hơn. Sau đây là đoạn đối thoại của giáo viên với các học sinh trong lớp :
Gv : Các em có tìm ra được cách nào khác để trả lời câu hỏi c không ? Im lặng…
Gv : Các em đã từng gặp trường hợp nào đề cập đến tốc độ tăng chưa ? Hs1 : Dạ thưa Thầy, hình như trong Địa lí tụi em có gặp tốc độ tăng dân số.
Gv : Môn địa lí thường yêu cầu các em làm gì để thể hiện sự tăng giảm dân số theo từng năm ?
Hs1 : Tụi em thường phải vẽ biểu đồ dân số, rồi dựa vào đó nhận xét dân số tăng giảm thế nào trong từng giai đoạn ạ.
Gv : Như vậy biểu đồ có thể cho ta cái nhìn trực quan về sự tăng giảm, còn trong tình huống này liệu chúng ta có tìm được cách nào khác để xác định được thời điểm nào nhiệt độ tăng nhanh hơn không ?
Hs2 : À, đúng rồi. Chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số này rồi quan sát đồ thị để biết được…
Gv : Đúng rồi, tuy nhiên để đánh giá được chính xác hơn thầy sẽ cung cấp cho các em đồ thị và hình ảnh phóng to của chúng tại hai thời điểm chúng ta đang quan tâm…
Sau khi quan sát đồ thị nhận được, tất cả các nhóm đều thống nhất ý kiến cho rằng thời điểm t=0, 5 mới là lúc nhiệt độ tăng nhanh hơn. Kết quả của pha này đã chỉ cho học sinh thấy được sai lầm trong việc chọn chiến lược Strungbinh để so sánh tốc độ tăng tức thời và vấn đề nằm ở các khoảng thời gian ∆t được chọn.
Pha 3. Trong bài toán 1 chúng tôi lựa chọn ∆t và ∆t' bằng nhau cho nên mặc dù trong bài toàn 3 này không có ràng buộc đó nhưng các nhóm đều lựa chọn theo cách này. Sau đây là kết quả :
Nhóm 1 2 3 4 5 6 7 8
Chọn
lần 1 t t' 0, 2
∆ = ∆ = 0,5 0,125 0,1 0,001 0,6 0,5 2 Chọn
lần 2 0,01 2 0,1 0,01
Chọn
lần 3 0,001
Đúng như ý đồ của chúng tôi đưa ra, việc chọn biến V7 và V8 đã tạo ra tình huống phá vỡ hợp đồng khi ở pha 1 và pha 2 học sinh đã nhận ra rằng việc tính toán tốc độ trung bình trong các khoảng không cho biết chính xác tốc độ tăng tức thời tại hai thời điểm. Tình huống này buộc các em phải ý thức lại việc chọn ∆t và ∆t' sao cho hợp lí. Có hai nhóm phải chọn lại lần thứ 2 bởi vì lần lựa chọn đầu tiên vẫn chưa phù hợp. Hãy quan sát nhóm 6, sau khi chọn lần thứ nhất không phù hợp đã quyết định chọn ∆t và ∆t' lớn hơn nhưng lại không thành công và cuối cùng các em cũng nhận ra cần phải chọn hai khoảng này thật nhỏ.
Thao tác này giúp các em nhận ra được việc chọn khoảng để tốc độ trung bình trên đó càng mô tả chính xác hơn tốc độ tăng tức thời :
Câu trả lời của nhóm 5 thậm chí đã đưa ý tưởng vận tốc biến thiên tức thời khi nhận định “∆ →t 0 thì càng chính xác”, đồng thời khi cho ∆ →t 0 có em đã nhận ra ý tưởng về đạo hàm trong tình huống này:
Pha 3’. Khi tất cả các nhóm đều nộp lại phiếu trả lời, giáo viên cho cả lớp tiến hành hoạt động tập thể. Sau đây là một phần đoạn đối thoại :
Gv :Các em có phát hiện ra một khái niệm Toán học nào đã học có thể sử dụng để kiểm tra được chính xác tốc độ tăng tức thời này hay không?
Nhóm 5 giơ tay xin trả lời. Giáo viên quay về phía nhóm 5 gật đầu tán thưởng nhưng tỏ ý muốn gợi ý cho các bạn khác nên nói tiếp.
Gv : Chúng ta hãy nhìn lại công thức tính tốc độ tăng trung bình f t
∆
∆ , và muốn cho nó biểu thị chính xác tốc độ tăng tức thời thì cần phải chọn t∆ càng nhỏ. Bây giờ có ai nhận ra khái niệm quen thuộc nào ở đây chưa
Có nhiều học sinh ở dưới đã phát hiện ra : Hs1 : À, đạo hàm phải không?
Hs2: Đúng rồi định nghĩa đạo hàm là giới hạn của tỉ số đó khi ∆ →t 0
Giáo viên tổng kết lại rằng đạo hàm là một khái niệm biểu thị tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng rồi yêu cầu một học sinh lên bảng giải lại câu c bài toán 1 bằng chiến lược Sđạohàm. Học sinh này dễ dàng đưa ra các tính toán phù hợp với kết quả đã được kiểm nghiệm bằng chiến lược Sđồthị.
Như vậy là pha 1 và pha 2 đã thiết lập nên một tình huống có vấn đề khi tốc độ tăng trung bình trên một khoảng thời gian nào đó chưa thể phản ánh đúng tốc độ tăng tức thời tại mỗi thời điểm. Pha 3 sau đó đã giúp các em nhận ra các khoảng thời gian ∆tcần chọn phải tiến về 0 để tốc độ trung bình này càng mô tả chính xác. Đến pha 3’, giáo viên giúp các em nhận ra khái niệm đạo hàm như là một công cụ toán học mô tả tốc độ biến thiên tức thời tại mỗi thời điểm.
Pha 4. Ở pha này đúng như mong đợi, sau khi hình thành được nghĩa tốc độ biến thiên cho khái niệm đạo hàm, các em đã vận dụng được nó trong các ứng dụng vật lí mà chúng tôi đưa ra. Đối với ứng dụng 1, cả 8 nhóm đều đưa ra được công thức đúng : v=s' và a=v'.
Trong ứng dụng 2 và 3 thì có hai nhóm đưa ra được công thức chính xác hóa cho hai dạng : ec
t
= −∆Φ
∆ và i q t
= ∆
∆ lần lượt là :
0 c lim
t
e ∆ → t
= − ∆Φ
∆ và
0
lim
t
i q
∆ → t
= ∆
∆ . Có năm nhóm sử dụng kí hiệu của đạo hàm e= −Φ'( )t và i=q t'( ), và một nhóm không đưa ra câu trả lời đúng khi sử dụng công thức tính cho cường độ dòng điện 1 chiều (không đổi) : i q
= t . Buổi thứ hai
Pha 5. Tất cả 8 nhóm đều viết đúng phương trình tiếp tuyến tại M(1;1) là 1 1
2 2
y= x+ . Giáo viên có gợi ý về đồ thị của hàm số y= x là “ nửa nhánh parabol nằm ngang ”, nhờ vậy việc vẽ đồ thị hàm số này cùng với tiếp tuyến của nó diễn ra thuận lợi. Đợi cho các nhóm vẽ đồ thị xong, giáo viên yêu cầu nhận xét về 2 đồ thị này xung quanh tiếp điểm. Sau khi các
nhóm thảo luận thì chỉ có nhóm 3 là đưa ra được nhận xét rằng trong khu vực gần điểm M thì đồ thị (C) và tiếp tuyến ∆ gần như trùng nhau. Đây là đồ thị mà nhóm 3 đã vẽ được:
Tuy nhiên không phải nhóm nào cũng vẽ được tương đối chính xác như đồ thị này, vì vậy chúng tôi đã phát cho các nhóm phiếu có vẽ sẵn hai đồ thị kèm theo hình ảnh phóng to khu vực quanh lân cận tiếp điểm. Lúc này thì tất cả các nhóm đều nhìn thấy được một cách trực quan mối quan hệ xấp xỉ này về mặt đồ thị, và đưa ra được nhận xét cho giá trị f x( )1 và
( )1
g x khi x1 tiến về rất gần x0.
Có một điểm rất đáng lưu ý, trên hình vẽ chúng tôi đưa cho các em có tô đậm khoảng cách giữa hai giá trị f x( )và g x( ) với một giá trị x tùy ý nào đó. Có 3 nhóm đưa ra được nhận xét rằng : “khi x càng tiến gần x0thì khoảng cách này càng hẹp”, “ khi x1 tiến dần tới
x0thì hiệu số f x( )1 và g x( )1 càng nhỏ và dần tới 0. Minh họa trên đồ thị ta thấy hai đường ngày càng gần nhau cho tới khi trùng nhau ”...
Pha 5’. Nhờ lí do đã hình thành được tư tưởng xấp xỉ giá trị hàm số bởi giá trị hàm tiếp tuyến của nó ở gần tiếp điểm trong pha 5, ở pha này tất cả 8 nhóm đều sử dụng Stieptuyen để giải quyết câu d bài toán 5 và đều cho kết quả phù hợp.
Như những phân tích ở các chương trước, công thức tính gần đúng trong bài vi phân xuất hiện rất mờ nhạt ở các em và vì vậy nên chiến lược Sgầnđúng không hề xuất hiện. Chiến lược tính bằng máy tính thì đã bị chúng tôi ngăn cản và vì vậy việc tất cả các nhóm đều sử dụng Stieptuyen trong bối cảnh mối quan hệ xấp xỉ giữa hàm số và tiếp tuyến quanh lân cận tiếp điểm đã được hình thành là đúng với mong đợi.
Pha 6. Ở hoạt động 6, trước khi bắt đầu chúng tôi nhấn mạnh rằng vì ∆x là một lượng rất bé nên x1=x0+ ∆x sẽ nằm rất gần x0. Hoạt động ở pha 5’ đã tạo ra định
hướng hợp lí và có đến 6 nhóm tìm được công thức xấp xỉ f x( )1 ≈ f x'( )0 ∆ +x f x( )0 .
Lúc này, giáo viên đưa ra câu hỏi b của bài toán 6 : “Hàm số f x( )phải có điều kiện gì thì mới có thể thiết lập được biểu thức tính gần đúng này?”. Chỉ có một học sinh giơ tay phát biểu, sau đây là nội dung đoạn đối thoại của giáo viên với học sinh đó :
Hs : Thưa Thầy, em nghĩ là hàm số f x( )cần phải xác định thì mới có thể thiết lập được biểu thức gần đúng này.
Gv : Xác định tại đâu, tại x1hay x0 ? Hs : Dạ tại cả hai ạ.
Gv : Tại sao lại cần phải xác định tại hai giá trị này ?
Hs : (suy nghĩ…) Dạ tại trong công thức có f x( )1 và f x( )0 nên 2 giá trị này phải xác định ạ.
Gv : Theo như em nói, vậy trong công thức gần đúng trên còn xuất hiện thêm đại lượng nào khác nữa không ?
Hs : À quên, còn có f x'( )0 nữa. Vậy là phải xác định cả f x'( )0 .
Gv : Nhưng đạo hàm của một hàm số có phải luôn tồn tại không, có trường hợp nào hàm số không có đạo hàm tại đâu đó không ?
Một học sinh khác : Hàm x không có đạo hàm tại 0 ạ.
Gv : Vậy là rõ rồi, để có thể thiết lập được công thức tính gần đúng trên thì điều kiện quan trọng là hàm số phải có đạo hàm tại x0.
Pha 5 đã làm xuất hiện ý tưởng xấp xỉ hàm số bởi tiếp tuyến của nó, xấp xỉ này thật sự đã tạo ra một bước nhảy thông tin và nhờ đó học sinh có thể vận dụng nó để xấp xỉ số cũng như xây dựng lại công thức xấp xỉ đã từng xuất hiện trong bài vi phân SGK 11.
Pha 7. Kết quả thu được không ngoài dự đoán của chúng tôi, chỉ có 1 nhóm sử dụng chiến lược Sđại số trong khi 7 nhóm còn lại đều sử dụng chiến lược Stiếp tuyến để giải thích các xấp xỉ này. Dù rằng trong hoạt động trước đã xây dựng được một công thức tính gần đúng tổng quát nhưng điều thú vị là các em lại không hề sử dụng chiến lược Sgần đúng này. Thay vào đó,
các em lại đi tìm phương trình tiếp tuyến tại x0 =0 rồi xấp xỉ hàm bởi hàm tiếp tuyến tại
điểm ấy.
Từ kết quả này, chúng tôi nhận ra rằng : Công thức tính gần đúng xuất hiện trong bài
“Vi phân” của SGK 11 rất khó hình thành trong quan niệm của các em, bởi lẽ nếu hiểu đầy đủ thì đây là một công thức xấp xỉ hàm số. Tuy nhiên, bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine, tức là xấp xỉ hàm số bởi hàm tiếp tuyến của nó ở lân cận tiếp điểm, các em hoàn toàn có thể hiểu được nghĩa xấp xỉ của đạo hàm và ứng dụng nó để giải thích được các xấp xỉ xuất hiện trong vật lí.