Mục tiêu của chương này là nhằm trả lời một phần của câu hỏi Q1: nghiên cứu mối quan hệ thể chế của đối tượng tri thức đạo hàm trong thể chế dạy học vật lí. Việc nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ được “cuộc sống” của đối tượng tri thức đạo hàm trong thể chế dạy học vật lí.
Cụ thể hơn, nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi biết được đạo hàm đã xuất hiện ở những đâu, ngầm ẩn hay tường minh? Nó tương tác thế nào với các tri thức khác, có vai trò gì trong việc dạy học các khái niệm vật lí. Và quan trọng hơn, trong thể chế này đạo hàm mang những đặc trưng cơ bản nào, đặc trưng nào cần thiết phải xuất hiện những lại đã không xuất hiện… Từ hiểu biết này, chúng ta có thể thấy rõ hơn những mong đợi mà thể chế I1 đặt ra cho việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình toán phổ thông. Nó cũng là cơ sở để chúng tôi trả lời phần còn lại của câu hỏi Q1: Việc dạy học đạo hàm đã tính đến mối quan hệ liên môn với vật lí như thế nào? Đâu là những yêu cầu hay ràng buộc để có thể đảm bảo cho mối quan hệ liên môn này được diễn ra hiệu quả.
Chương 1 đã chỉ ra hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm: đặc trưng cho tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ. Theo đó chúng tôi cũng nhận thấy rằng, trong chương trình vật lí phổ thông công cụ đạo hàm được sử dụng với hai mục đích chính:
- Thước đo cho tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng26F27. - Giải thích các xấp xỉ.
Chúng tôi sẽ phân tích những nơi mà đạo hàm đã xuất hiện trong chương trình vật lý phổ thông ( lớp 10; 11; 12) cả hai ban cơ bản (CB) và nâng cao (NC) để làm rõ hai ứng dụng này, đồng thời hướng sự chú ý vào nghĩa của đạo hàm xuất hiện trong thể chế I1. Một điểm cần lưu ý là trong phân phối chương trình môn toán thì đạo hàm chỉ được đưa vào giảng dạy cuối năm lớp 11. Vì lí do đó mà việc sử dụng công cụ đạo hàm có thể được chia thành hai giai đoạn: Đưa vào một cách ngầm ẩn trong SGK Vật lí 10; 11 và sau đó là ứng dụng một cách tường minh trong SGK Vật lí 12.
2.1. S ử dụng đạo hàm ngầm ẩn trong SGK lớp 10 và 11
Ở thời điểm trước khi đạo hàm được giảng dạy, mỗi khi cần sử dụng công cụ này SGK Vật lí thay thế nó bằng khái niệm tốc độ biến thiên tức thời.
27 Chủ yếu là tốc độ biến thiên theo thời gian.
Chẳng hạn, khi đưa vào các khái niệm như vận tốc, gia tốc… SGK đã xây dựng khái niệm tốc độ biến thiên trung bình của một đại lượng và đạo hàm được đưa vào một cách ngầm ẩn sau đó với ý nghĩa là tốc độ biến thiên tức thời của đại lượng này theo thời gian.
Chúng ta xem xét trước hết định nghĩa khái niệm vận tốc và gia tốc tức thời trong chương
“Động học chất điểm” SGK Vật lí 10 ban nâng cao (tr.13 - 14 và tr.22):
“Xét vận tốc trung bình của chất điểm chuyện động thẳng trong khoảng thời gian từ t đến t +∆t. Chọn ∆𝐭 rất nhỏ, nhỏ đến mức gần bằng 0… Khi đó vtbđặc trưng cho độ nhanh chậm và chiều của chuyển động. Ta có thể dùng vectơ vận tốc trung bình khi ∆t rất nhỏ để đặc trưng cho phương chiều, độ nhanh chậm của chuyển động và gọi đó là vecto vận tốc tức thời tại thời điểm t…”
Như vậy, ý tưởng mà SGK muốn truyền tải ở đây là: khái niệm vận tốc trung bình đặc trưng cho tốc độ thay đổi trung bình của quãng đường trong khoảng thời gian ∆𝑡. Việc cho
∆𝑡 càng ngày càng nhỏ sẽ có thể đặc trưng cho tốc độ thay đổi tức thời (chính là vận tốc tức thời). Do khái niệm giới hạn hàm số và sau đó là đạo hàm chưa được giảng dạy nên việc sử dụng công cụ đạo hàm không thể đưa vào chính thức mà chỉ có thể thực hiện một cách ngầm ẩn như trên.
Về khái niệm gia tốc tức thời, đầu tiên gia tốc được định nghĩa là đại lượng “đặc trưng cho độ biến đổi nhanh chậm” của vận tốc. Tốc độ biến đổi trung bình này được xác định là bằng thương số giữa độ biến đổi vận tốc và độ biến đổi thời gian v
t
∆
∆ . Gia tốc tức thời được hiểu ngầm ẩn là giới hạn của thương số này khi ∆𝑡 →0 (bằng cách cho ∆t rất nhỏ đến mức gần bằng 0).
Khái niệm tốc độ biến thiên còn xuất hiện trong “định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ” SGK vật lí 11 NC (Tr.186):
“…độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của từ thông qua mạch… Nếu trong khoảng thời gian ∆t đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến thiên một lượng∆Φ thì
t
∆Φ
∆ là tốc độ biến thiên của từ thông… Công thức xác định suất điện động cảm ứng được viết dưới dạng sau: ec
t
= −∆Φ
∆ ” Nhận xét
- Trước khi khái niệm đạo hàm được đưa vào dạy chính thức ở chương trình toán cuối năm 11, nó đã xuất hiện ngầm ẩn ở khá nhiều tính huống khác nhau trong Vật lí. Ở
các tình huống này, nó đặc trưng cho tốc độ biến đổi tức thời của một đại lượng u t( ) nào đó theo thời gian và được xác định bằng tỉ số u
t
∆
∆ khi ∆trất bé (tiến dần đến 0).
- Do nhu cầu của mình, SGK vật lí đã sớm đưa vào khái niệm tốc độ biến thiên tức thời và hiểu nó như là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình u
t
∆
∆ khi ∆t dần về 0.
Điều này có thể sẽ tạo thời cơ cho việc hình thành được nghĩa tốc độ biến thiên khi dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình môn toán nếu như chúng ta tận dụng được mối quan hệ liên môn này.
2.2. Đạo hàm trong SGK vật lí lớp 12
Giai đoạn trước, đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời đã xuất hiện trong quá trình định nghĩa các đại lượng vật lí và đạo hàm ở đó chỉ hiện diện ngầm ẩn. Ở giai đoạn này, khi khái niệm đạo hàm đã được đưa vào giảng dạy ở cuối năm 11. Chúng ta sẽ tìm hiểu xem công cụ này sẽ được ứng dụng như thế nào trong chương trình Vật lí 12 và ở những tình huống đó nó có đặc trưng gì?
Trong bài “Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định”. Sau khi định nghĩa tốc độ góc (được xác định bằng đạo hàm của tọa độ góc theo thời gian và đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyện động quay) khái niệm gia tốc góc được định nghĩa như sau:
“Gia tốc góc tức thời (gọi tắt là gia tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục ở thời điểm t là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ gócở thời điểm đó và được xác định bằng đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian.”
Chúng ta sẽ phân tích kĩ hơn định nghĩa này: Một mặt gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc, mặt khác nó được xác định một cách rõ ràng là đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian. Định nghĩa này chỉ ra rằng đạo hàm đã xuất hiện ở đây với nghĩa đặc trưng cho tốc độ biến thiên của một đại lượng. Nói cách khác nếu một đại lượng vật lí là đặc trưng cho tốc độ biến thiên của một đại lượng khác thì nó có thể được xác định bằng đạo hàm của đại lượng đó.
Ở một tình huống khác, bài “Điện từ trường” trong phần “Điện trường biến thiên và từ trường” Sgk Vật lí 12 ban cơ bản (tr.109) có đoạn:
“… Vậy, biểu thức của dòng điện i sẽ có dạng: i = CdEdt (21.2) Biểu thức (21.2) cho thấy có sự liên quan mật thiết giữa cường độ dòng điện trong mạch với
tốc độ biến thiên của cường độ điện trường trong tụ điện.”
Trong nhận định này rõ ràng rằng SGK Vật lí đã đưa ra cách hiểudE
dt là tốc độ biến thiên của cường độ điện trường E.
Đặc trưng tốc độ biến thiên này của đạo hàm một lần nữa lại xuất hiện trong định nghĩa
“độ phóng xạ” của bài “Phóng xạ” Sgk Vật lí 12 ban nâng cao (tr.270-271):
“Để đặc trưng cho tính phóng xạ mạnh hay yếu của một lượng chất phóng xạ, người ta dùng đại lượng gọi là độ phóng xạ (hay hoạt độ phóng xạ), được xác định bằng số hạt nhân phân rã trong 1 giây. Độ phóng xạ đặc trưng cho tốc độ phân rã…”
Từ định nghĩa này ta có thể hiểu độ phóng xạ đặc trưng cho tốc độ phân rã của hạt nhân (tốc độ giảm của số lượng hạt nhân). Điều đặc biệt là SGK sau đó đã đưa ra công thức tính độ phóng xạ này như sau:
Số hạt nhân tại thời điểm t: N t( )=N e0 −λt… Độ phóng xạ của một lượng chất phóng xạ:
0
N t
H N e
t
λ −λ
= −∆ =
∆ .
Công thức để tính H được dẫn ra bằng cách lấy đạo hàm của hàm N(t) theo thời gian dù cho có đôi chút khó hiểu khi SGK không kí hiệu chính xác là H dN
= − dt mà lại sử dụng N
t
−∆
∆ . Cách đưa vào khái niệm độ phóng xạ là tốc độ phân rã của hàm hạt nhân N(t) và tính toán nó bằng đạo hàm của hàm số này, thêm một lần nữa nhấn mạnh đặc trưng tốc độ biến thiên của công cụ đạo hàm khi nó được ứng dụng trong thể chế Vật lí.
Chúng tôi còn lưu tâm đến bước chuyển tiếp của một số khái niệm Vật lí khi công cụ đạo hàm được chính thức sử dụng. Chẳng hạn với khái niệm suất điện động trong bài “định luật cảm ứng điện từ” đã nhắc đến ở trên:
“suất điện động cảm ứng tỉ lệ với tốc độ biến thiên tức thời của từ thông theo thời gian và được xác định bằng ec
t
= −∆Φ
∆ ( với ∆trất bé).”
Cũng khái niệm này khi xuất hiện trong chương trình Vật lí 12 ban nâng cao trong bài
“Đại cương về dòng điện xoay chiều” (tr.63) được trình bày như sau:
“Vì từ thông Φqua cuộn dây biên thiên theo t nên trong cuộn dây xuất hiện suất điện động cảm ứng được tính theo định luật Fa-ra-đây:
d sin
e NBS t
dtΦ ω ω
= − = ”
Lúc đầu thì suất điện động được tính thông qua tốc độ biến thiên tức thời, sau đó ở lớp 12 lại được xác định bằng đạo hàm. Bước chuyển tiếp này tưởng chừng là diễn ra tự nhiên, nhưng thật ra nó chỉ hợp lí nếu như đặc trưng tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm được hình thành mà thôi.
Nhận xét:
- Trong thể chế dạy học vật lí khái niệm đạo hàm hiện diện với nghĩa tường minh là đặc trưng cho tốc độ biến thiên của một đại lượng. Hơn nữa, đặc trưng này cũng chính là cơ sở cho những ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí.
- Một mặt, học sinh cần phải hiểu được đặc trưng tốc độ biến thiên của đạo hàm thì mới có thể ứng dụng công cụ toán học này trong việc học tập các chủ đề vật lí. Mặt khác, nếu đặc trưng này được hình thành thì nó sẽ được củng cố và vận dụng trong nhiều chủ đề đa dạng của chương trình vật lí phổ thông.
2.3. V ấn đề giải thích các xấp xỉ và chính xác hóa các định luật vật lí 2.3.1. Các xấp xỉ hàm dùng trong vật lí
Một ứng dụng quan trọng khác của đạo hàm trong vật lí đó là để giải thích các xấp xỉ.
Chúng ta đều biết rằng, vật lí sử dụng rất nhiều các xấp xỉ hàm số trong nghiên cứu của mình. Không ngoại lệ, chúng tôi phát hiện thấy ở chương trình vật lí phổ thông xuất hiện những xấp xỉ hàm mặc định được thừa nhận mà không giải thích.
Trong bài phương trình dao động của con lắc đơn sách giáo khoa Vật Lí 12 ban nâng cao có nêu nhận xét sau: “Khi 𝛼 nhỏ (𝛼 ≪1𝑟𝑟𝑟 ) có thể coi gần đúng 𝑠𝑠𝑠𝛼 ≈ 𝛼”.
- Sách bài tập Vật lí 12 nâng cao (Tr.79) còn đưa ra thêm các xấp xỉ khác: “Với 𝜀 ≪ 1, có thể dùng những công thức gần đúng:
1 1
1 ε
ε ≈ +
− ; 1 1
2 ε ε
+ ≈ + ”
Lẽ dĩ nhiên việc giải thích hay chứng minh các xấp xỉ này là nhiệm vụ của toán học. Và bởi vì thể chế I1 cần sử dụng các xấp xỉ hàm số nên để hợp lí hơn thì chương trình giảng dạy toán có lẽ nên giải quyết nhu cầu này một cách ổn thỏa.
2.3.2. Chính xác hóa các định luật vật lí
Chúng tôi tham khảo phân tích này của tác giả Dương Minh Đức27F28, theo đó, định luật nở dài và nở khối của vật rắn là: Xét hàm số chiều dài l t( ) phụ thuộc vào nhiệt độ t. Khi nhiệt độ t thay đổi thì chiều dài l t( ) biến thiên theo quy luật: tốc độ biến thiên của chiều dài tỉ lệ với bản thân chiều dài của thanh tại thời điểm đó, nghĩa là l t'( )=αl t( ).
Từ đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm, áp dụng công thức xấp xỉ ∆ ≈y f x'( )0 ∆x trong trường hợp này ta được: ∆ ≈l l t'( ).0 ∆ ⇔t l t( )−l t( )0 ≈α. ( )(l t0 t t− 0)
⇔l t( )≈l t( )[10 +α(t t− 0)] (*)
Như vậy công thức (*) thật ra là một công thức xấp xỉ. Trong khi đó ở phần “sự nở vì nhiệt của chất rắn” (SGK NC Vật lí 10) lại đưa ra công thức đúng:
0[1 ( 0)]
l=l +α t t−
Để đi đến công thức này, SGK đã sử dụng nhận định không chính xác sau: “Kết quả thí nghiệm cho biết rằng ∆l tỉ lệ với độ tăng nhiệt độ ∆t, và tỉ lệ với độ dài l0, nghĩa là:
l αl0 t
∆ = ∆ ”
Vì định luật này được đưa vào khá sớm (chương trình lớp 10), khi ấy khái niệm đạo hàm và đặc trưng xấp xỉ của nó không có cơ hội xuất hiện. Có thể vì thế mà SGK vật lí đã chọn một các phát biểu không chính xác, việc hình thành được đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm có thể giúp hiệu chỉnh lại định luật này một cách đúng đắn.
2.4. K ết luận về phân tích thể chế I1
Từ việc phân tích thể chế I1 trong mối quan hệ với khái niệm đạo hàm, chúng tôi rút ra được các kết luận sau:
- Trước khi được đưa vào giảng dạy chính thức ở chương trình toán phổ thông, đạo hàm đã xuất hiện một cách ngầm ẩn trong vật lí với nghĩa là tốc độ biến thiên tức thời.
- Công cụ đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong chương trình vật lí lớp 12 và ở đây nó mang nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng theo thời gian.
- Ở một số tình huống, I1 cần sử dụng các xấp xỉ hàm số. Tuy nhiên việc giải thích các xấp xỉ này lại cần phải sử dụng đặc trưng xấp xỉ của khái niệm đạo hàm. Ngoài ra, đặc trưng này còn có thể giúp làm chính xác hóa các định luật mà trước đây được phát biểu không hoàn toàn chính xác.
28 Dương Minh Đức (2004), Giáo trình toán giải tích 1, tr. 203-204.
Như vậy, trong thể chế I1 khái niệm đạo hàm được sử dụng với nghĩa tường minh là đặc trưng tốc độ biến thiên. Vì thế, việc ứng dụng công cụ đạo hàm trong Vật lí chỉ thực sự hợp lí và nối khớp nếu như việc dạy học nó trong chương trình toán phổ thông có thể làm xuất hiện được đặc trưng cơ bản này.
Hơn nữa, đặc trưng xấp xỉ hàm số bởi các hàm tuyến tính đơn giản của những hàm khả vi còn giúp giải thích các xấp xỉ xuất hiện trong thể chế này. Học sinh không những sẽ hiểu được tại sao có các xấp xỉ đó mà còn có cơ hội thấy được vai trò của kĩ thuật xấp xỉ hàm trong nghiên cứu Vật lí.
Những luận điểm này là cơ sở để chúng tôi đi đến kết luận sau đây: Việc dạy học khái niệm đạo hàm thật sự cần thiết phải đặt trong mối quan hệ liên môn với Vật lí.
Rõ ràng hơn, quan điểm liên môn này thể hiện ở chỗ: Quá trình dạy học khái niệm đạo hàm cần phải làm xuất hiện được ở học sinh hai đặc trưng cơ bản: đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp xỉ. Theo quan điểm của chúng tôi thì quan trọng nhất là đặc trưng tốc độ biến thiên. Thuật ngữ “đặc trưng tốc độ biến thiên” được chúng tôi dùng theo nghĩa đạo hàm của hàm số tại điểm x0 phản ánh tương quan về tốc độ tiến về 0 của ∆y so với ∆x khi x → x0. Sự thiếu vắng đặc trưng này trong mối quan hệ cá nhân của học sinh có thể ngăn cản việc ứng dụng nó một cách hiệu quả trong dạy học Vật lí.
Đến đây thì vấn đề quan trọng nhất là đạo hàm hiện diện với những nghĩa gì trong thể chế dạy học toán, đặc trưng tốc độ biến thiên liệu có xuất hiện hay không trong mối quan hệ cá nhân của học sinh? Tất cả sẽ được trả lời trong chương tiếp theo.