CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.2. Th ực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học
4.2.7. K ết luận cho đồ án dạy học
Thực nghiệm kiểm chứng mối quan hệ cá nhân đã cho thấy rằng hai đặc trưng cơ bản của đạo hàm không hề xuất hiện ở học sinh, vì vậy nhiệm vụ đặt ra cho đồ án này là hình thành hai đặc trưng còn thiếu đó.
Đối với buổi thứ nhất, chúng tôi tạo ra tình huống phá vỡ hợp đồng khi tốc độ biến thiên trung bình không thể hiện đúng tốc độ biến thiên tức thời. Bằng việc tạo ra những điều kiện hợp lí, chúng tôi giúp học sinh điều chỉnh lại mối quan hệ cá nhân của mình và xây dựng được đặc trưng quan trong thứ nhất của khái niệm đạo hàm : đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời.
Trong buổi thứ hai,chúng tôi thiết lập mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine thông qua con được quan sát đồ thị. Kết quả thực nghiệm cũng cho thấy rõ là từ lúc mối quan hệ này được thiết lập học sinh đã có thể dễ dàng sử dụng nó để tính gần đúng giá trị
hàm cũng như xây dựng công thức xấp xỉ tổng quát từng được học trong bài “Vi phân” ở chương trình SGK 11.
Một điều quan trọng hơn cả là ngay khi thấu hiểu được nghĩa tốc độ biến thiên và nghĩa xấp xỉ, học sinh đã có thể vận dụng thành công trong nhiều ứng dụng khác nhau ở chương trình vật lí phổ thông. Không những hiểu được vai trò của công cụ đạo hàm trong các tình huống liên quan đến tốc độ biến thiên mà còn có thể sử dụng đặc trưng xấp xỉ để giải thích các công thức gần đúng đã gặp trong vật lí.
Những điều này là cơ sở để cho phép chúng tôi tin rằng đồ án dạy học mà mình xây dựng đã thu được kết quả tốt và hoàn toàn có thể được triển khai trong các dự án dạy học khái niệm đạo hàm sau này.
K ẾT LUẬN
Việc điều tra khoa học luận ở chương 1 giúp chúng tôi xác định được hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm là đặc trưng tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ, cùng với đó là vai trò của hai đặc trưng này trong các ứng dụng của vật lí.
Phân tích thể chế I1 ở chương 2 lại cho thấy được những ràng buộc mà thể chế này yêu cầu đối với việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nếu như muốn đảm bảo cho mối quan hệ liên môn được diễn ra hợp lí.
Ở thể chế I1 , đạo hàm hiện diện với nghĩa tường minh là thước đo cho tốc độ biến thiên của một đại lượng theo thời gian và vì thế việc hình thành nghĩa này rõ ràng là điều bắt buộc phải thực hiện. Thêm vào đó, trong thể chế I1 còn xuất hiện các xấp xỉ hàm mà việc giải thích chúng chỉ có thể trông cậy vào đặc trưng xấp xỉ.
Trong chương 3, chúng tôi tiếp tục phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm đạo hàm đối với I2 . Kết quả phân tích cho thấy rằng, mặc dù tư tưởng về tốc độ biến thiên có ngầm hiện diện trong các bài toán mở đầu hình thành khái niệm. Nhưng sau đó không được nhấn mạnh, và đặc biệt là thiếu những bài tập trong đó quan điểm này tác động. Chúng tôi đặt ra giả thuyết : nghĩa tốc độ biến thiên hoàn toàn không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của các em học sinh.
Theo kết quả nghiên cứu của các tác giả trước thì mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng không được hình thành trong quan hệ cá nhân của học sinh thế nên nghĩa xấp xỉ cũng không thể xuất hiện.
Các giả thuyết này đã được kiểm nghiệm lại trong thực nghiệm thứ nhất của chương 4.
Thực nghiệm này đã làm rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với khái niệm đạo hàm, kết quả thu được chỉ ra rằng, hai đặc trưng cơ bản đó không hề xuất hiện. Điều này cho thấy việc dạy học khái niệm đạo hàm trong thể chế I2 hiện nay đã không tạo được sự nối khớp với I1,ít nhất là nếu nhìn nhận trên quan điểm liên môn.
Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi xây dựng một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm có thể làm xuất hiện hai đặc trưng còn thiếu. Công việc này không những giúp cho việc hiểu khái niệm thêm sâu sắc và đầy đủ mà xét trên quan điểm liên môn đó là một nhiệm vụ rất quan trọng. Nắm vững được hai đặc trưng cơ bản, các em sẽ có thể vận dụng công cụ đạo hàm một cách linh hoạt và hiệu quả trong rất nhiều tính huống khác nhau và đặc biệt là trong việc học tập bộ môn vật lí ở trường phổ thông hiện nay.
TÀI LI ỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ “Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, TP. Hồ Chí Minh.
2. Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những vấn đề cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh.
3. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.
4. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2007), Bài tập Đại số và giải tích 11- Nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn và Lê Anh Vũ (1998), Toán cao cấp Tập 1, Nxb Giáo dục.
6. Lê Sĩ Đồng (2007), Toán cao cấp phần giải tích (dùng cho sinh viên ngành Kinh tế, Tài chính, Ngân hàng), Nxb Giáo dục.
7. Đoàn Quỳnh (2008), Giải tích 12-Nâng cao, Nxb Giáo dục.
8. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.
9. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.
10. Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến, Nxb ĐHQG Hà Nội.
11. Nguyễn Duy Tiến (2004), Bài giảng giải tích tập I, Nxb ĐHQG Hà Nội.
12. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2008), Toán học cao cấp, tập 2, Nxb Giáo dục.
13. Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thúy Vỹ (2008), Giáo trình toán học cao cấp Tập 1, dùng cho sinh viên các trường cao đẳng, Nxb Giáo dục.
14. Nguyễn Đình Trí (1995), Toán học cao cấp, tập 2 - Giải tích, dùng cho sinh viên các trường đại học kĩ thuật, Nxb Giáo dục.
15. Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic về ∆x trong toán học và trong vật lý, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
16. Lê Anh Tuấn(2009), Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh
17. Carl Boyer (1959), History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, New York.
18. David B. Johnson, Thomas A. Mowry (2004), Mathematics: A Practical Odyssey, Chapter 13,Cengage Learning.
19. Giovanni Ferraro (2010), Some mathematical aspects of Newton’s Principia , pp.3.
20. James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole.
21. Judith V. Grabiner, (1983), The changing concept of change: The Derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, University of California, Los Angeles.
22. Judithv. Grabiner (1981), The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, Dover, New York.
23. Margaret Baron (1987), Origins of the Infinitesimal Calculus, New York.
24. Morris Kline (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University press, New York.
25. Saul Stahl (2011), Real Analysis: A Historical Approach, pp.261-262.
PH Ụ LỤC 1. Ph ụ lục 1: Phiếu câu hỏi đồ án dạy học
PHIẾU THỰC NGHIỆM 1 Tên nhóm: ………..
Bài toán 1: Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00C. Tại thời điểm t=0 người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng lên và được ước tính bởi hàm số sau:
( ) ( 1)3 1
f t = −t + (0C). (00 là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời điểm t)
a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc
0 0, 5
t = sđến thời điểm t sau đó 1 giây (∆ = − =t t t0 1) ?
b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trong khoảng thời gian từ lúc
'
0 1, 25
t = sđến thời điểm 't sau đó 1 giây (∆ =t 1) ?
c. Tại hai thời điểm t0 =0, 5svà t0' =1, 25s, theo dự đoán của em thời điểm nào nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn?
Thông báo: Khái niệm “tốc độ biến thiên” của một đại lượng đã xuất hiện nhiều trong Vật lý. Chúng ta nhắc lại về khái niệm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số như sau:
Cho hàm số y= f x( ). Khi đối số x thay đổi giá trị từ x1 đến y f x= ( ) thì giá trị hàm số sẽ thay đổi từ x đến x tương ứng. Tốc độ biến thiên trung bình của hàm số được định nghĩa là tỉ số:
x2 . Trong trường hợp hàm số là tăng (đồng biến) chúng ta có thể gọi tốc độ biến thiên là tốc độ tăng.
PHIẾU THỰC NGHIỆM 2 Tên nhóm: ………..
Bài toán 2. Vẽ đồ thị của hàm số f t( )= −(t 1)3+1 xuất hiện trong bài toán 1.
Từ đồ thị vẽ được hãy so sánh xem trong hai thời điểm t0 =0,5và t0' 1, 25= , thời điểm nào hàm số f t( ) tăng nhanh hơn?
Nhận xét: ………..
PHIẾU THỰC NGHIỆM 3 Tên nhóm: ………..
Bài toán 3
a. Tìm một khoảng thời gian ∆t sau thời điểm t0 =0, 5 và một khoảng thời gian '∆t sau thời điểm t0' =1, 25 để tốc độ tăng nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian thứ nhất sẽ trở nên lớn hơn khoảng thời gian thứ hai (thay vì nhỏ hơn như khi ta chọn ∆ = ∆ =t t' 1ở trên)?
b. Các khoảng thời gian ∆t này cần phải được chọn như thế nào để tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó mô tả càng chính xác tốc độ tức thời tại những thời điểm đang xét ?
PHIẾU THỰC NGHIỆM 4 Tên nhóm: ………..
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÍ Ứng dụng 1:
- Vận tốc là tốc độ biến thiên của quãng đường theo thời gian. - Gia tốc là tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian.
Cho hàm số quãng đường của một chất điểm chuyển động theo thời gian là s=s t( ). Công thức xác định vận tốc và gia tốc tức thời của chất điểm là:
……….
Ứng dụng 2:
Định nghĩa sau được trích dẫn trong bài “Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ” SGK vật lí 11 NC (Tr.186)
“…độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của từ thông qua mạch… Nếu trong khoảng thời gian t∆ đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến thiên một lượng∆Φ thì t
∆Φ
∆ là tốc độ biến thiên của từ thông… Công thức xác định suất điện động cảm ứng được viết dưới dạng sau: ec
t
= −∆Φ
∆ ”
Hãy chính xác hóa công thức tìm suất điện động cảm ứng ec:
……….
Ứng dụng 3:
SGK Vật lí 11 định nghĩa cường độ dòng điện là q
i t
= ∆
∆ với ∆t rất bé. Hãy chính xác hóa công thức tìm cường độ dòng điện:
………
PHIẾU THỰC NGHIỆM 5 Tên nhóm: ………..
Bài toán 2. Cho hàm số y= f x( )= xcó đồ thị (C).
d. Hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆của (C) tại điểm có hoành độx0 =1. e. Vẽ đồ thị (C) và tiếp tuyến ∆ trên cùng một hệ trục tọa độ.
...
PHIẾU THỰC NGHIỆM 6 Tên nhóm: ………..
Dưới đây là hình phóng to đồ thị (C) và tiếp tuyến ∆ quanh lân cận của tiếp điểm x0 =1
Câu hỏi: Nếu chỉ xét một lân cận rất nhỏ xung quanh điểm M, hãy nhận xét về đồ thị (C) và tiếp tuyến ∆ của nó.
Nếu gọi phương trình tiếp tuyến là y=g x( ) và xét một điểm x1 nằm rất gần x0 =1. Hãy nhận xét về hai giá trị: f x( )1 và g x( )1 ?