CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1.1. L ịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm
1.1.4. Giai đoạn xây dựng cơ sở lý thuyết chặt chẽ (thế kỉ 19)
Thế kỉ 18, giải tích mải mê với những khám phá thú vị và phong phú về đường cong, những quá trình vô hạn và các ứng dụng tuyệt vời trong vật lí. Và vì vậy, dù không thờ ơ với tính chặt chẽ nhưng những nhà toán học thời kì này lại dành hầu hết các nỗ lực của họ cho việc phát triển và ứng dụng các phương pháp, mặc dù đầy hiệu quả nhưng một số trong chúng lại vẫn chưa có cơ sở đầy đủ. Những nhà toán học thế kỉ 19 trái lại, tự đặt ra cho mình nhiệm vụ xây dựng lại giải tích dựa trên một cơ sở chặt chẽ. Nhờ vậy mà lịch sử tiến triển của khái niệm đạo hàm đã bước sang mới giai đoạn mới mà ở đó, nó được định nghĩa lại…
Cauchy và định nghĩa đạo hàm theo giới hạn
Trong tác phẩm “Giải tích vô hạn” (Calcul infinitesimal) xuất bản năm 1823, Cauchy lần đầu tiên đã đưa ra một cách quan niệm mới rõ ràng và mạnh mẽ về khái niệm đạo hàm.
Về thực chất, Cauchy cũng định nghĩa đạo hàm theo quan điểm như các nhà toán học đi trước đó là xem đạo hàm như là một giới hạn của tỉ số các vi phân. Điểm khác biệt quan trọng là ở cách hiểu rõ ràng và chính xác của ông về khái niệm giới hạn, cụ thể Cauchy định nghĩa đạo hàm của f x( ) như là một giới hạn, khi nó tồn tại, của tỉ số các số gia
( ) ( )
f x h f x h
+ − khi h tiến dần đến 0. Có hai điểm mới trong quan điểm của Cauchy, một là bỏ sự ràng buộc rằng các biến không bao giờ có thể nhận giá trị vượt quá giới hạn của nó.
Điều thứ hai là ông hiểu về giới hạn dường như theo quan điểm đại số. Nghĩa là mỗi khi Cauchy cần một tính chất của giới hạn trong các chứng minh, ông thường sử dụng bất đẳng
thức đại số trong định nghĩa giới hạn và các bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức đặc trưng mà Lagrange đã phát biểu.
Trước đó Lagrange đã sử dụng bất đẳng thức đặc trưng này của đạo hàm để chứng minh các định lý, Cauchy không chỉ nắm bắt và phát triển phương pháp này của Lagrange mà điều quan trọng là ông đã chuyển bất đẳng thức đặc trưng đó thành một định nghĩa chặt chẽ cho đạo hàm thông qua khái niệm giới hạn, rồi hợp lý hóa các chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa đó. Cụm từ “đạo hàm là một giới hạn, khi nó tồn tại…” đã thể hiện sự chặt chẽ và chính xác trong cách hiểu của Cauchy về đạo hàm. Tuy nhiên vẫn còn một điểm chưa chính xác trong định nghĩa này, đó là ở chỗ ông đã giả sử rằng δ có thể được chọn cho mọi x trong khoảng đang xét mà giả thiết này là tương đương với sự hội tụ đều của tỷ số hai số gia.
Sau đóng góp của Cauchy, giải tích đã được nhìn nhận khác hơn:
Nó được xem là một ngành chặt chẽ, với một tập hợp các khái niệm được định nghĩa tốt và các định lý được chứng minh dựa trên các định nghĩa này, hơn là chỉ đơn thuần là một tập hợp các phương pháp có hiệu quả. Công lao của Cauchy không chỉ là xây dựng được cơ sở vững chắc và công bố được những kết quả mới, mà ông còn cung cấp một cái khung để từ đó tìm được nhiều kết quả mới, một số trong đó không thể nào được thiết lập trước đó.
(Grabiner, 1983), Tr.203)
Đến thời điểm này, chúng ta chỉ còn một đoạn ngắn nữa thôi là đến cuối chặng đường tiến triển để đạo hàm có được diện mạo như ngày hôm nay, đó là định nghĩa chặt chẽ đạo hàm theo ngôn ngữ epsilon và delta25F26 và công lao này thuộc về Weierstrass.
Vào năm 1850, Karl Weierstrass bắt đầu một khóa học đại Đại học của Berlin. Trong khóa học của mình, ông đã tạo ra các bất đẳng thức đại số để thay thế các diễn đạt bằng lời trong những định lý của giải tích. Cũng trong khóa học đó, ông sử dụng sự phân biệt rõ ràng của mình giữa hội tụ đều và hội tụ theo từng điểm cùng với kĩ thuật delta-epsilon để hình thành nên một hệ thống chặt chẽ cho giải tích. Dù Weierstrass không xuất bản bài giảng của mình nhưng học trò của ông đã phổ biến tính chặt chẽ Weierstrass đến các trung tâm toán học ở Châu Âu. Thế nên, mặc dù định nghĩa của đạo hàm theo kiểu delta-epsilon như ngày nay của chúng ta chưa thể được công nhận từ các công trình của Weierstrass, nhưng sự thật nó đúng là công lao của ông.
26 Cách phát biểu định nghĩa và chứng minh các định lý của Cauchy vẫn còn nhiều chỗ thể hiện bằng lời.
Hơn thế nữa, với quan niệm “tĩnh” của các biến, ông đã giải đáp được câu hỏi dai dẳng tồn tại từ trước đó. Đó là trong cách hiểu của Newton và Leibniz về đạo hàm như là tỉ số tới hạn hay tỉ số các vi phân thì liệu rằng trong khi tiến dần đến giới hạn của nó, có thể nào đạt đến giới hạn đó hay không? Điều này cũng là điểm then chốt trong nghịch lý Achilles của Zeno.
Dưới cái nhìn chính xác của học thuyết Weierstrass về giới hạn thì câu hỏi này đã không còn thích hợp nữa. Khái niệm giới hạn không liên quan gì đến ý niệm về sự tiếp cận, hay tiến đến (approaching) nữa, mà là việc của những trạng thái tĩnh tại. (Carl Boyer, 1959), tr.
287)
Nghĩa là trong định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ ε δ; của Weierstrass:
lim ( ) 0, 0 : , ( )
x a f x L ε δ x D x a δ f x L ε
→ = ⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ − < ⇒ − < (Trích theo Carl Boyer, 1959), tr. 288)
Các giá trị của x thuộc lân cận của a được xem là tĩnh, riêng biệt và hoàn toàn không dùng đến ý niệm về sự “tiến dần đến” trong định nghĩa này. Ngoài ra Weierstrass còn phát hiện được một hàm số liên tục ở khắp nơi nhưng lại không có đạo hàm ở điểm nào. Điều này đã cho thấy các nhà toán học trong giai đoạn này đã nắm vững các khái niệm về đạo hàm, về giới hạn và sự tồn tại của giới hạn rõ ràng như thế nào.
Tổng kết
Lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm kéo dài hơn 200 năm đủ để cho thấy rằng, dù sớm tìm ra những phương pháp mới đầy hiệu quả ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán khác nhau nhưng con người đã không dễ dàng hiểu rõ về nó. Trải qua từng ấy thời gian, khái niệm đạo hàm đã phát triển như thế nào?
Bắt đầu từ Fermat khi ông ngầm sử dụng nó trong phương pháp mới của mình giải quyết các bài toán cực trị và tiếp tuyến, tiếp theo đó Newton và Leibniz độc lập phát minh ra đạo hàm trong vai trò là một khái niệm cơ bản của giải tích. Sau giai đoạn này mặc dù vẫn chưa có cơ sở chặt chẽ và nhiều điểm mơ hồ, nhưng khái niệm đạo hàm vẫn được mở rộng và phát triển cùng với các ứng dụng tuyệt vời của nó trong toán học lẫn trong vật lý nhờ công lao của các nhà toán học thế kỉ 18 mà nổi bật nhất chính là Euler. Lagrange chính là người đã đặt tên cho đạo hàm và tìm ra tính chất đặc trưng cơ bản nhất rồi từ đó Cauchy đã dựa trên những đặc trưng này để chuyển nó thành một định nghĩa chặt chẽ cho đạo hàm
trên quan điểm chính xác về khái niệm giới hạn. Định nghĩa của Cauchy đã được Weierstrass hoàn chỉnh và làm cho chính xác hơn theo ngôn ngữ epsilon – delta, để rồi đạo hàm đã có được diện mạo như chúng ta đang thấy ngày hôm nay.
Thời điểm khép lại quá trình tìm hiểu lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm cũng là lúc chúng tôi tìm được câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra từ đầu chương.
Có hai động lực chínhđã giúp thúc đẩy quá trình nảy sinh khái niệm đạo hàm, một đến từ hình học và một đến từ vật lí.
- Bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong bất kì là động lực chủ yếu mà quá trình giải quyết nó đã giúp đem lại một phương pháp mới đầy hiệu quả trong đó ngầm ẩn xuất hiện khái niệm đạo hàm, cũng như dẫn Leibniz đi đến định nghĩa đạo hàm như là tỉ số các vi phân.
- Trong khi đó, bài toán tìm vận tốc của vật thể lại đưa Newton đến ý tưởng xây dựng giải tích trên cơ sở của “chuyển động”, trong đó đạo hàm được định nghĩa như là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng nào đó theo “thời gian”. Thời gian ở đây được hiểu là một biến bất kì xnào đó biến thiên đều theo thời gian, nghĩa là sao cho ( ) ' 1x = .
Trong lịch sử tiến triển của mình, đạo hàm và vật lí có một mối quan hệ rất đặc biệt.
Vật lý không những đóng góp một phần động lực thúc đẩy việc hình thành khái niệm mà còn mang lại cho đạo hàm một ý nghĩa đầy trực quan và hữu ích, đó là thước đo cho tốc độ thay đổi của một đại lượng theo biến của nó. Quan niệm này đã mở đường cho các ứng dụng phong phú và hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong vật lý. Hơn thế nữa, những bài toán đến từ vật lý còn tạo ra một động lực mạnh mẽ tức thì giúp giải tích phát triển một cách vượt bậc, mà từ đó những tính chất của đạo hàm cũng được mở rộng theo những cách đầy bất ngờ.
Trong lịch sử toán học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) có thể mang nhiều ý nghĩa khác nhau vì gắn với những đặc trưng khác nhau: về mặt tính số, nó là xấp xỉ affine của hàm số đang xét tại điểm đang xét thông qua biểu diễn
( ) ( ) '( )
f x+h = f x +hf x +hH. Về mặt hình học, nó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đang xét; về mặt động học (theo nghĩa tổng quát của Newton), nó là độ biến thiên tức thời của hàm số đang xét tại điểm đang xét.
Từ các đặc trưng này mà chúng ta có hai cách để đưa ra định nghĩa cho đạo hàm:
- Cách thứ nhất là định nghĩa đạo hàm theo giới hạn của tỉ số hai số gia khi số gia đối số tiến dần đến 0: '( 0) lim0
x
f x y
∆ → x
= ∆
∆ . Như đã biết, y x
∆
∆ còn được xem là tốc độ biến đổi trung bình của y theo x cho nên chúng tôi gọi cách này là định nghĩa theo
“tốc độ biến thiên tức thời”.
- Cách thứ hai là định nghĩa đạo hàm là hệ số của số hạng bậc nhất trong biễu diễn
( ) ( ) '( )
f x+h = f x +hf x +hH . Hàm số có biểu diễn này còn được gọi là hàm số khả vi và chúng tôi sẽ gọi cách định nghĩa thứ hai này là định nghĩa theo “khả vi”.
Khó khăn và chướng ngại:
- Khó khăn lớn nhất mà các nhà toán học gặp phải trong quá trình phát minh và thấu hiểu khái niệm đạo hàm đó chính là sự thiếu hụt một cơ sở lý thuyết chặt chẽ - lý thuyết giới hạn. Các nhà toán học đã gặp phải những chướng ngại khoa học luận để có thể thấu hiểu một cách chính xác khái niệm giới hạn, vì lẽ đó chỉ đến khi khái niệm giới hạn được xây dựng một cách chính xác thì đạo hàm mới được định nghĩa một cách chặt chẽ.
- Trước đó, để khỏa lấp cho sự thiếu hụt này Newton và Leibniz đã sử dụng những đại lượng vô cùng bé trong lý thuyết của mình. Cách hành xử của họ với các đại lượng này thời bấy giờ là không thỏa đáng, lúc thì xem chúng khác 0 để rút gọn, có lúc lại cho chúng bằng 0 để khử đi. Có nhiều quan điểm khác nhau về các vô cùng bé này, chẳng hạn xem chúng là một số dương khác 0 nhưng lại nhỏ hơn bất kì những số dương nào khác. Sự xuất hiện của các vô cùng bé cùng với cách hiểu về chúng dù vẫn làm cho lý thuyết và các phương pháp sử dụng đạo hàm hoạt động hiệu quả nhưng ở một mặt nào đó lại tạo ra một chướng ngại ngăn cản loài người có thể hiểu chính xác về khái niệm giới hạn.
- Khi Newton định nghĩa đạo hàm theo “tỷ số tới hạn” ông đã ngầm đưa và khái niệm giới hạn. Tuy nhiên Newton hiểu giới hạn như là một biên giới mà tỷ số này không thể vượt quá, và cách hiểu này không giống như chúng ta ngày nay. Có một câu hỏi được tranh cãi trong suốt lịch sử của khái niệm đó là: “Cuối cùng, giới hạn có đạt được hay không?” Newton và nhiều nhà toán học thời đó đều cho rằng giới hạn không đạt được giống như đa giác đều nội tiếp đường tròn không bao giờ có thể bằng với đường tròn. Cách tiếp cận theo quan điểm “động” như là “tiến về”
một giá trị nào đó và cho rằng không thể đạt được đến giới hạn đã tạo ra chướng
ngại trên con đường nhận thức của loài người về khái niệm giới hạn cũng như đạo hàm nói riêng.
- Chỉ đến khi Cauchy đưa ra một định nghĩa chính xác cho khái niệm giới hạn và định nghĩa đạo hàm qua các bất đẳng thức đặc trưng thì đạo hàm mới được định nghĩa chặt chẽ. Weierstrass sau đó đã thay quan điểm “động” của giới hạn bằng quan điểm “tĩnh” và phát biểu các lý thuyết trên ngôn ngữ chặt chẽ epsilon – delta.
Thời điểm này là lúc mà khái niệm đạo hàm đã được thấu hiểu rõ ràng và nó cũng đặt dấu chấm hết cho một chặng được hình thành và phát triển hơn 200 năm với đầy những khó khăn nhưng cũng không kém phần thú vị.
Các cách trình bày khái niệm đạo hàm
Từ kết quả phân tích khoa học luận chúng tôi nhận thấy rằng có ba cách để đưa vào khái niệm đạo hàm trong giảng dạy.
- Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời”:
0 0
'( ) lim
x
f x y
∆ → x
= ∆
∆ . Định nghĩa đạo hàm theo cách này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc hình thành nghĩa tốc độ biến thiên, và như đã nói việc thấu hiểu được đặc trưng này là điều kiện cần thiết để các em học sinh có thể ứng dụng được công cụ đạo hàm trong vật lí. Nghĩa xấp xỉ sẽ được đưa vào sau đó bằng việc hình thành xấp xỉ affine.
- Cách trình bày thứ hai là đi từ tính khả vi: một hàm số nếu có biểu diễn
( ) ( ) ( )
f x+ ∆ =x f x + ∆ + ∆A x ο x sẽ được gọi là khả vi và đạo hàm chính là hệ số A trong khai triển này. Cách trình bày này mặc dù thuận lợi hơn cho việc hình thành nghĩa xấp xỉ nhưng bởi vì đạo hàm được định nghĩa gián tiếp qua khái niệm khả vi nên nghĩa tốc độ biến thiên sẽ khó có cơ hội xuất hiện.
- Cách trình bày thứ ba là đưa vào cả hai định nghĩa của đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với nhau: Cụ thể hơn, chúng ta có thể cùng lúc đưa định nghĩa đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và định nghĩa theo khả vi sau đó chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương.