Phân tích tiên nghi ệm các bài toán thực nghiệm

CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

4.2. Th ực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học

4.2.3. Phân tích tiên nghi ệm các bài toán thực nghiệm

Nhóm các bài toán 1, 2, 3 nhằm mục đích xây dựng nghĩa tốc độ biến thiên cho khái niệm đạo hàm. Bài toán 4 là dành để soi sáng lại các ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý tại những chỗ mà nó xuất hiện với ý nghĩa là thước đo cho tốc độ biến thiên của một đại lượng.

Hai bài toán 5 và 6 là để hình thành nghĩa “xấp xỉ”, trong khi đó bài toán 7 nhằm mục đích ứng dụng công cụ này để giải thích các xấp xỉ quen thuộc trong chương trình Vật lý phổ thông.

4.2.3.1. Biến tình huống, biến didactic và giá trị của biến a. Biến tình huống

 Biến V1: Cách làm việc.

Có 3 cách làm việc có thể được tổ chức là: làm việc cá nhân, làm việc theo nhóm và làm việc tập thể. Trong thực nghiệm của mình chúng tôi ưu tiên chọn cách làm việc theo nhóm vì theo chúng tôi cách làm việc này sẽ tạo nhiều thuận lợi cho sự trao đổi bàn luận giữa các thành viên. Nhờ đó, nhiều chiến lược khác nhau sẽ có cơ hội xuất hiện, các chiến lược không có giá trị sẽ dễ dàng bị loại trừ sớm. Ngoài ra, việc làm việc theo nhóm sẽ tạo không khí thi đua khẩn trương và hiệu quả trong học tập.

 Biến V2: Số phương án trả lời được yêu cầu.

Trong kiểu nhiệm vụ so sánh tốc độ tăng tức thời tại hai thời điểm, sau khi tạo điều kiện thuận lợi để chiến lược Strungbinhxuất hiện chúng tôi chọn giá trị của biến này là yêu cầu tìm thêm các phương án khác. Việc chọn biến như vậy làm nhằm tạo động lực để các em tìm thêm những chiến lược khác, kết hợp với sự lựa chọn của biến V6 chiến lược Sdothisẽ có môi trường thuận lợi để xuất hiện.

 Biến V3: Có được sử dụng máy tính bỏ túi.

Trong bài toán 5, yêu cầu không sử dụng máy tính bỏ túi sẽ ngăn cản chiến lược tính gần đúng căn bậc 2 bằng máy tính. Khó khăn này sẽ buộc các em phải tìm một chiến lược mới từ những dẫn dắt ở phía trên, và nhờ đó mà chiến lược mong đợi có điều kiện thuận lợi để xuất hiện.

b. Biến didactic

Có hai kiểu nhiệm vụ chính xuất hiện trong thực nghiệm này là kiểu nhiệm vụ so sánh tốc độ thay đổi (tăng) tức thời tại hai thời điểm và kiểu nhiệm vụ tính gần đúng giá trị của một hàm số.

Với kiểu nhiệm vụ đầu tiên, chúng ta có các biến sau:

 Biến V4: Cách đặt câu hỏi về tốc độ biến thiên:

Chúng tôi chọn cách đặt câu hỏi là: “tốc độ tăng nhiệt độ trung bình” và sau đó là “thời điểm nào nhiệt độ tăng nhanh hơn?” thay cho cách đặt câu hỏi chính xác: “tốc độ biến thiên trung bình” và “tốc độ biến thiên tức thời”. Sở dĩ như vậy là bởi vì kiểu nhiệm vụ tính tốc độ tăng trung bình và so sánh thời điểm nào tăng nhanh hơn đã xuất hiện trong các bộ môn khác như Vật lý, Địa lý… Cách đặt câu hỏi quen thuộc như vậy sẽ tạo một tâm thế thuận lợi cho quá trình suy nghĩ đưa ra các phương án trả lời ở các em.

 Biến V5: Có đưa vào yêu cầu tính tốc độ tăng trung bình hay không?

Kiểu nhiệm vụ chính trong nhóm câu hỏi 1, 2, 3 là so sánh tốc độ tăng tức thời tại hai thời điểm. Chúng tôi đã chọn đưa vào yêu cầu tính tốc độ tăng trung bình ngay từ đầu, nhờ đó mà có thể tạo ra điều kiện thuận lợi để chiến lược Strungbinhxuất hiện trước chiến lược Sdothi

.Việc học sinh sử dụng chiến lược Strungbinhcùng với ý đồ lựa chọn các biến V V V6; 7; 8(mà chúng tôi sẽ trình bày dưới đây) sẽ dẫn học sinh đến câu trả lời sai. Tình huống phá vỡ hợp đồng này (sau khi đã biết câu trả lời đúng bằng chiến lược Sdothi) sẽ buộc các em phải tìm kiếm một chiến lược tối ưu hơn để có thể luôn tìm ra được kết luận chính xác.

 Biến V6: Hàm số f t( )

Nếu xem biến didactic là hàm số f t( ) thì giá trị của biến này có thể nhận hiển nhiên là rất đa dạng. Trong thực nghiệm của mình, cụ thể là trong ba bài toán 1, 2, 3 chúng tôi chọn giá trị của biến V6như sau:

- Hàm số f t( ) là hàm tăng trên R và tăng không đều (đạo hàm không phải là hằng số) - Hàm số f t( ) là sơ cấp quen thuộc và có thể dễ dàng vẽ được đồ thị.

Chọn hàm số f t( ) tăng là để phù hợp với cách đặt câu hỏi ở trên. Bên cạnh đó, việc hàm ( )

f t tăng không đều sẽ giúp ta tìm được những thời điểm tốc độ tăng tức thời (giá trị của đạo hàm tại đó) khác nhau để phù hợp cho vấn đề tìm thời điểm tốc độ tăng nhanh hơn.

Như đã nói ở trên, việc đặt ra nhiệm vụ tìm nhiều cách khác nhau để kiểm tra được tốc độ tăng ở hai thời điểm có thể làm xuất hiện các chiến lược khác ngoài chiến lược tốc độ tăng trung bình. Việc chọn hàm số đơn giản và có đồ thị quen thuộc có thể tạo ra môi trường thuận lợi để từ đó chiến lược kiểm tra tốc độ tăng tức thời bằng đồ thị xuất hiện.

 Biến V7: Hai thời điểm t0và t0'

Hai thời điểm trên cần được chọn sao cho: f t'( )0 ≠ f t'( ')0 , nghĩa là tốc độ tăng nhiệt độ ở hai thời điểm ấy phải khác nhau. Cách chọn biến này cần phải được phối hợp với cách chọn khoảng thời gian ∆ ∆t; t'như sẽ nói đến dưới đây.

 Biến V8: Khoảng thời gian ∆ ∆t; t'

Hai khoảng thời gian này được chọn bằng nhau và đặc biệt khi chọn ∆ = ∆ =t t' 1, tốc độ tăng trung bình sẽ không phản ánh đúng tốc độ biến thiên tức thời tại mỗi thời điểm. Việc chọn giá trị biến như vậy sẽ tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng khi học sinh thường dựa vào tốc độ trung bình để đưa ra kết luận. Việc đưa vào yêu cầu chọn lại ∆tsẽ giúp các em nhận ra, phải chọn ∆t càng bé thì tốc độ tăng trung bình càng phản ánh đúng hơn tốc độ tăng tức thời tại các thời điểm ấy. Lúc này chiến lược Sdaoham sẽ có cơ hội xuất hiện.

Đối với kiểu nhiệm vụ tính gần đúng giá trị hàm số chúng ta có các biến didactic sau:

 Biến V9: Có yêu cầu vẽ đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó hay không?

Hiển nhiên là biến này có thể nhận 2 giá trị là có hoặc không. Chúng tôi lựa chọn đưa vào yêu cầu vẽ đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó trên cùng một hệ tọa độ nhằm mục đích tạo cơ hội cho mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine xuất hiện. Thật vậy, việc có được hình ảnh đồ thị và yêu cầu chỉ xét một lân cận rất nhỏ quanh tiếp điểm có thể cho một điều kiện trực quan thuận lợi để cách nhìn mới này được hình thành ở các em. Trước hết là cho học sinh thấy được xấp xỉ về mặt đồ thị, sau đó là hướng đến xấp xỉ về mặt giá trị hàm số và cuối cùng là hình thành chiến lược mới để tính gần đúng giá trị hàm số đó.

 Biến V10: Hàm số f x( ). Chúng tôi chọn giá trị của biến này như sau:

- Có thể vẽ đồ thị một cách tương đối chính xác.

- Không dễ dàng để tính giá trị hàm số mà không dùng đến máy tính bỏ túi.

Bởi vì nghĩa xấp xỉ được xây dựng thông qua hoạt động vẽ và quan sát đồ thị hàm số cùng với tiếp tuyến của nó cho nên việc chọn hàm số phải chọn các hàm có thể vẽ được đồ thị một cách tương đối chính xác. Bên cạnh đó, việc đặt ra bài toán tính gần đúng giá trị của hàm tại các điểm rất gần với tiếp điểm đòi hỏi phải chọn các hàm số sao cho không dễ dàng tính giá trị mà không sử dụng máy tính. Chúng tôi chọn hàm f x( )= x thỏa hai tiêu chí trên: Một là đồ thị của nó là một đường parabol đặt “nằm ngang” có thể vẽ tương đối chính xác, hơn nữa việc tính căn bậc 2 của một số thường là công việc rất khó khăn nếu không được sử dụng máy tính. Khó khăn này buộc học sinh phải từ bỏ chiến lược nhẩm hoặc tính bằng tay và chiến lược sử dụng xấp xỉ hàm số bằng tiếp tuyến được gợi mở trước đó sẽ có nhiều cơ hội hơn để nảy sinh.

 Biến V11: Chọn vị trí tiếp điểm x0. Giá trị x0được chọn như sau:

- Giá trị f x( ); '( )0 f x0 có thể xác định một cách dễ dàng.

Trước khi vẽ đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó, các em phải viết được phương trình tiếp tuyến trước đã. Việc chọn x0 sao cho có thể xác định f x( ); '( )0 f x0 một cách đơn giản sẽ làm giảm những khó khăn không cần thiết và tạo điều kiện cho các em viết phương trình và vẽ tiếp tuyến một cách chính xác.

 Biến V12: Chọn x1. Giá trị x1được chọn sao cho:

- Giá trị f x( )1 không thể tính toán được bằng tay.

- x1rất gần với x0.

Trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam, khi gặp kiểu nhiệm vụ tính gần đúng giá trị một hàm số nào đó thì chiến lược tối ưu nhất mà các em hay sử dụng vẫn là chiến lược máy tính bỏ túi. Trong trường hợp không thể dùng các tính toán bằng tay để xác định được giá trị

( )1

f x cùng với đó là ràng buộc không sử dụng máy tính bỏ túi sẽ buộc các em phải đi tìm một chiến lược khác để tính gần đúng. Cũng phải nhắc lại rằng, với những em học sinh 12 đã học qua khái niệm đạo hàm thì các em còn có thể sử dụng một chiến lược khác là dùng công thức: f x( 0+ ∆ ≈x) f x'( )0 ∆ +x f x( )0 (*) trong bài vi phân để tính gần đúng giá trị này.

Tuy nhiên, như đã nói trong các phân tích ở thể chế, công thức này xuất hiện một cách khá mờ nhạt và chỉ sử dụng để giải quyết một số lượng ít ỏi các bài tập trong bài vi phân. Vì lẽ đó, để hình thành nghĩa xấp xỉ đối với hàm số có đạo hàm chúng tôi đã đưa ra một chuỗi các câu hỏi với mục đích gợi mở dẫn dắt để các em tính gần đúng giá trị f x( )1 bằng giá trị của

( )1

g x (giá trị của hàm tiếp tuyến). Việc yêu cầu bài toán là tính gần đúng f x( )1 thay vì

( 0 )

f x + ∆x cũng góp phần ngăn cản không để học sinh nhận ra và sử dụng công thức (*) quá sớm.

 Biến V13: Các xấp xỉ hàm được yêu cầu giải thích

Các xấp xỉ có thể được giải thích là rất nhiều và đa dạng nhưng chúng tôi chỉ chọn ra những xấp xỉ đã xuất hiện trong việc học lý thuyết và giải bài tập Vật lý phổ thông. Mục đích của việc chọn lựa này là để các em nhận ra được vai trò công cụ của toán học nói chung và đạo hàm nói riêng trong việc nghiên cứu các môn khoa học khác mà đặc biệt là Vật lý.

Giá trị của biến này cụ thể hơn có thể nhận các giá trị sau:

- Xấp xỉ đại số - Xấp xỉ lượng giác

….

Khi chọn xấp xỉ đại số thì chiến lược giải thích xấp xỉ bằng các bước biến đổi đại số

daiso

S có thể chiến ưu thế. Một mặt là do các xấp xỉ này có thể giải thích được một cách hợp lý qua các bước biến đổi đại số, mặt khác kiểu nhiệm vụ này dễ làm học sinh liên hệ đến kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ chứng minh đẳng thức vốn đã rất quen thuộc trong trường phổ thông.

Tuy nhiên nếu chọn các xấp xỉ lượng giác thì sẽ tạo ra khó khăn ngăn cản chiến lược Sdaiso

. Học sinh không thể giải thích các xấp xỉ có xuất hiện các hàm lượng giác bằng đại số và khi đó các chiến lược khác có cơ hội nảy sinh. Đặc biệt trong hoàn cảnh nghĩa xấp xỉ hàm bởi tiếp tuyến vừa mới được hình thành thì chiến lược Stieptuyen nhiều khả năng được các em lựa chọn.

4.2.3.2. Những chiến lược có thể

Kiểu nhiệm vụ chính được nhắc đến trong các bài toán 1,2,3 là so sánh tốc độ tăng tức thời tại hai thời điểm. Với kiểu nhiệm vụ này thì các chiến lược giải có thể dự đoán là:

Chiến lược so sánh tốc độ trung bình: Strungbinh

- Tính tốc độ tăng trung bình trong hai khoảng thời gian ∆tvà ∆t'. - So sánh hai tốc độ trung bình này.

- Từ đó đưa ra kết luận về thời điểm mà nhiệt độ của bình tăng nhanh hơn.

Chiến lược đồ thị: Sdothi

- Vẽ đồ thị hàm số f t( ) trên miền có chứa hai thời điểm đang xét.

- Nếu cần thiết, có thể phóng to đồ thị bằng cách tăng kích thước cho một đơn vị.

- Quan sát đồ thị tại hai thời điểm ấy xem thời điểm nào đồ thị “dốc” hơn.

- Từ đó kết luận thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn.

Chiến lược đạo hàm: Sdaoham

- Tính f t'( ).

- Tính f t'( );0 f t'( ')0 .

- So sánh hai giá trị này và đưa ra kết luận về thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn.

Do nghĩa tốc độ biến thiên tức thời không xuất hiện khi học sinh học qua khái niệm đạo hàm nên nhiều khả năng chiến lược này không xuất hiện từ đầu.

 Đối với nhóm hai bài toán 5 và 6 thì kiểu nhiệm vụ chính được nhắm đến là: tính gần đúng giá trị hàm số f x( )1 . Các chiến lược giải:

Chiến lược sử dụng công thức gần đúng (*): Sgandung

- Tìm một điểm x0rất gần với x1 sao cho f x( ) ( )0 ;f ' x0 có thể xác định một cách đơn giản.

- Sử dụng công thức gần đúng (*): f x( )1 = f x( 0+ ∆ ≈x) f x'( )0 ∆ +x f x( )0

Chiến lược xấp xỉ bằng tiếp tuyến: Sti ptuyenê

- Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0. Gọi phương trình của tiếp tuyến là ( )

y=g x .

- Dùng xấp xỉ: f x( )1 ≈g x( )1 để tính gần đúng f x( )1 . Dùng các công thức gần đúng khác: Skhac

- Sử dụng công thức gần đúng: 1 1 2 x x

+ ≈ + . Công thức này đã xuất hiện trong sách bài tập Vật lý 12, tuy nhiên đối với đối tượng các học sinh đầu lớp thì số em biết được công thức này có lẽ là rất ít nên chiến lược này ít có khả năng xuất hiện.

Chiến lược “mò mẫm”: Sm

- Học sinh mò một giá trị, thử bình phương lên rồi so sánh với 1, 0001. - Có thể lần lượt thử với các giá trị khác…

Đối với học sinh lớp 12 thì chiến lược “ngây thơ” này cũng ít có khả năng xuất hiện.

 Với kiểu nhiệm vụ giải thích các xấp xỉ trong bài toán 7 thì các chiến lược có thể xuất hiện là:

Giải thích bằng các biến đổi đại số: Sđại số -

2 2

1 1 1

2 4

x x

x x

 +  = + + ≈ +

 

  (do

2

4

x rất bé). Từ đó suy ra xấp xỉ cần giải thích.

Chiến lược vẽ đồ thị : Svẽ đồ thị

- Vẽ đồ thị hai hàm số, quan sát quanh lân cận của điểm đang xét để đưa ra nhận xét.

Chiến lược giới hạn: Sgioi hạn (đối với xấp xỉ sinx≈x) - Từ giới hạn limx 0sinx 1 sinx x

→ x = ⇒ ≈ khi x rất bé.

Chiến lược vòng tròn lượng giác (với xấp xỉ sinx≈x): Slượng giac - Chiến lược này đã được trình bày trong phần thực nghiệm cuối chương 3

Chiến lược máy tính bỏ túi: Smáy tính

Chiến lược xấp xỉ tiếp tuyến: Stieptuyen

- Với những giá trị x nằm trong lân cận (rất gần ) x0 ta có thể xấp xỉ hàm số f x( ) bằng hàm số tiếp tuyến của nó tại x0.