CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN
3.1. Phân tích các bài toán d ẫn đến khái niệm đạo hàm
Trong phần giới thiệu đầu chương (tr.145), SGK giải thích về lí do đưa phần lý thuyết đạo hàm vào dạy ở chương trình lớp 11 thay vì lớp 12 như bộ sách trước là: “để phục vụ kịp thời cho việc học các bộ môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học…”. Điều này nói lên rằng, các tác giả SGK đã chú ý đến vấn đề liên môn cũng như tầm quan trọng của công cụ đạo hàm trong việc nghiên cứu các khoa học khác.
Ngoài ra phần giới thiệu này còn đưa vào một giải thích rất đáng lưu tâm: “đạo hàm cấp hai được đưa ra nhằm giúp cho việc hiểu bản chất và các tính toán một khái niệm quan trọng của Vật lí là gia tốc”. Phần giới thiệu mở đầu này đề cập nhiều đến vấn đề ứng dụng đạo hàm trong vật lí, mà muốn ứng dụng khái niệm này thì không thể chỉ học định nghĩa và cách tính toán mà còn phải biết được đạo hàm có những nghĩa gì.
Để tìm hiểu những “nghĩa” của đạo hàm có thể xuất hiện, trước tiên chúng tôi sẽ tập trung phân tích phần “các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm” trong bài “định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm” (tr.146-153)
Hai bài toán mà SGK chọn để dẫn dắt đến khái niệm đạo hàm là bài toán tìm vận tốc tức thời và cường độ tức thời. Trước khi trình bày bài toán tìm vận tốc tức thời, SGK đưa vào hoạt động sau:
“Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s=t2 .
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [ ]t t; 0 với t0 =3 và 2; 2, 5; 2, 9; 2, 99
t= t = t= t= . Nêu nhận xét về kết quả thu được khi t càng gần t0 =3.”
Bài toán trên liên quan đến một mô hình hóa chuyển động của đoàn tàu. Để mô hình trở nên hợp lý khi chọn hàm số quãng đường làs=t2 , SGK đã hạn chế chỉ mô tả chuyển động này trong “những phút đầu tiên”. Vì nếu không thì vận tốc của đoàn tàu sẽ trở nên rất lớn theo thời gian mà đó là điều không phù hợp với thực tế. Yêu cầu đặt ra ở đây là tìm vận tốc trung bình trên các khoảng thời gian càng ngày càng gần thời điểm t0 =3. Học sinh vì đã biết đến khái niệm vận tốc trung bình trong vật lí nên sẽ dễ dàng tìm được các vận tốc này lần lượt là: 5; 5,5; 5,9; 5,99 (mét/phút).
Từ kết quả này, câu trả lời mong đợi của SGK khi đưa ra câu hỏi “nhận xét về kết quả thu được khi t càng gần t0 =3” có lẽ sẽ là các vận tốc trung bình này càng ngày càng tiến về 6 (mét/phút). Hoạt động này là cơ sở cho việc đặt ra bài toán tìm vận tốc tức thời:
“Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t: s=s t( ). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0?”
Để giải quyết bài toán này, SGK xét tỉ số 0 0
0 0
( ) ( ) s s s t s t
t t t t
− = −
− − và nhắc lại rằng tỉ số này là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t t− 0 . Đến đây, SGK đưa ra nhận xét quan trọng:
“Khi t càng gần t0, tức là t t− 0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0”. Từ đó nêu định nghĩa chính thức cho khái niệm vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là: “Giới hạn (nếu có)
0
0 0
( ) ( ) limt t
s t s t t t
→
−
− , đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0”.
Ở đây, nếu chúng ta nhìn nhận theo quan điểm tốc độ biến thiên thì tỉ số 0
0
( ) ( ) s t s t
t t
−
− , như đã được đề cập ở vật lí có thể hiểu là tốc độ biến thiên trung bình của quãng đường s trong khoảng thời gian ∆ = −t t t0. Như thế vận tốc tức thời sẽ được hiểu là tốc độ biến thiên tức thời của quãng đường theo thời gian. SGK chỉ đưa ra công thức tính vận tốc cốt là để làm xuất hiện giới hạn
0
0 0
( ) ( ) lim
t t
s t s t t t
→
−
− mà không tiếp cận theo hướng tốc độ biến thiên.
Ở bài toán tìm cường độ tức thời, trước tiên SGK nhắc lại công thức tính cường độ dòng điện trung bình trong khoảng thời gian t t− 0 là 0
0
( ) ( )
tb
Q t Q t
I t t
= −
− , trong đó điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t: Q=Q t( ). Cũng tương tự như ở bài toán vận tốc, cường độ tức thời được định nghĩa là giới hạn
0
0 0
( ) ( ) lim
t t
Q t Q t t t
→
−
− .
Về bản chất vật lí, cường độ dòng điện cho biết tốc độ biến thiên của điện lượng gửi qua một tiết diện thẳng của vật dẫn theo thời gian. Đại lượng này giúp ta xác định được độ mạnh yếu của dòng điện. Tuy nhiên cách dẫn dắt này của SGK lại không nêu bật được đặc trưng đó.
SGK đưa ra nhận xét:
“Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học… đưa đến việc tìm giới hạn dạng
0
0 0
( ) ( )
lim
t t
f x f x x x
→
−
− , trong đó y= f x( ) là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm”.
Đạo hàm sau đó được định nghĩa theo giới hạn này.
Với cách tiếp cận trên, các bài toán SGK đưa vào chỉ nhằm làm xuất hiện nhu cầu ở nhiều ngành khoa học là phải xác định giới hạn có dạng
0
0 0
( ) ( )
limt t
f x f x x x
→
−
− . Tuy nhiên lại không làm nổi bật được ý tưởng tổng quát của đạo hàm là thước đo cho sự biến đổi của một đại lượng. Như đã nói trong chương 1, bởi vì đạo hàm đặc trưng cho tốc độ biến thiên tức thời của hàm số f(x) theo x. Cho nên bất cứ khi nào f(x) có một ý nghĩa đặc biệt trong một ngành khoa học nào đó, đạo hàm của nó cũng sẽ có một ý nghĩa tương ứng về tốc độ biến thiên. Vì vậy, việc nắm bắt được đặc trưng này sẽ mở đường cho học sinh nhìn thấy được những ứng dụng của đạo hàm ở rất nhiều lĩnh vực khác nhau.
Nhận xét
- Việc dạy học khái niệm đạo hàm vẫn được SGK nhìn nhận theo quan điểm liên môn khi đề cập đến vai trò của công cụ này trong các ngành khoa học đặc biệt là Vật lí.
Hơn nữa, SGK còn đưa ra hai bài toán Vật lí để dẫn dắt tới khái niệm đạo hàm
- Tuy nhiên quá trình đưa ra và giải quyết các bài toán Vật lí chỉ nhằm mục tiêu làm xuất hiện nhu cầu phải tính giới hạn
0
0 0
( ) ( )
limt t
f x f x x x
→
−
− , mà không giải thích ý nghĩa của giới hạn này như là tốc độ biến thiên tức thời của hàm số theo biến của nó.
3.1.2. Sách giáo khoa 11 ban nâng cao (SGKNC 11)
Khác với SGKC 11, phần giới thiệu đầu chương của SGKNC không hề nhắc đến vai trò ứng dụng của đạo hàm trong các ngành khoa học khác:
“Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số và giúp hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số”.
Trong ví dụ mở đầu để dẫn dắt đến khái niệm đạo hàm (tr.184), SGK này chỉ đưa vào bài toán xác định vật tốc tức thời. Tuy nhiên điểm khác biệt là hàm số quãng đường được cho một cách cụ thể bằng cách khảo sát chuyển động của vật rơi tự do.