CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.1. Th ực nghiệm thứ nhất : tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh
4.1.4. Phân tích h ậu nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành trên các em học sinh khá giỏi của hai trường chuyên ở TPHCM: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong và Trần Đại Nghĩa.
4.1.4.1. Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 1 Kết quả thống kê
CLxấpxỉ CLghạn CLđườngtrònLG Chiến lược khác Không trả lời
12A2(TĐN) 0/20 3/20 5/20 8/20 4/20
12A2(LHP) 0/15 2/20 4/20 7/20 2/20
Tổng hợp 0/35 5/35 9/35 15/35 6/35
Đây là một kiểu nhiệm vụ hoàn toàn mới mẻ với các em học sinh phổ thông ở Việt Nam: “Giải thích một xấp xỉ”. Trong thể chế dạy học ở Việt Nam, các nhiệm vụ tính gần đúng thường chỉ gắn với việc sử dụng máy tính bỏ túi. Tuy nhiên với câu hỏi này, học sinh không được yêu cầu tính gần đúng một giá trị cụ thể mà là giải thích một xấp xỉ. Với kiểu nhiệm vụ này, trong chương trình toán phổ thông của Việt Nam chỉ đưa ra duy nhất một công thức thức tính xấp xỉ (trong bài vi phân):
Với ∆x khá nhỏ thì: f x( 0+ ∆ ≈x) f x( )0 + f x'( )0 ∆x Hay 𝑓(𝑥)≈ 𝑓(𝑥0) +𝑓′(𝑥0)(x− 𝑥0)
Như vậy, chiến lược được mong đợi lẽ ra phải là chiến lược xấp xỉ affin (CLxấpxỉ). Tuy nhiên thực nghiệm trên lại chỉ ra một kết quả trái ngược: Không có một học sinh nào sử
dụng chiến lược xấp xỉ affine! Trong khi đó các em tìm được khá nhiều lời giải thích khác cho xấp xỉ này. Chẳng hạn:
Chiến lược trên đây là một dạng trình bày khác của CLđườngtrònLG . Chỉ có điểm khác là em này sử dụng đường tròn bán kính bất kì thay vì chọn bán kính là 1 đơn vị như vòng tròn lượng giác. Hoặc một lời giả khác sử dụng giới hạn:
Nhận xét
Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm mặc dù có được I2 đề cập đến thông qua công thức (*) trong bài “Vi phân”. Và hơn nữa, đây cũng là công cụ chính thức có thể giải thích các xấp xỉ tuyến tính (ở trên là một xấp xỉ xuất hiện trong SGK Vật lí 12). Tuy nhiên, việc chiến lược xấp xỉ affine không xuất hiện đã chỉ ra rằng đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm không hề xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh.
4.1.4.2. Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 2 Kết quả thống kê
CLđạohàm CLtb CLđồthi CL khác Không trả lời
12A2(TĐN) 0/20 10/20 1/20 5/20 4/20
12A2(LHP) 0/15 9/15 1/15 3/15 2/15
Tổng 0/35 19/35 2/35 8/35 6/35
Đúng như chúng tôi dự đoán khi tiến hành phân tích thể chế, chiến lược đạo hàm không hề xuất hiện. Tuy nhiên thực nghiệm này cũng chỉ ra nhiều điểm rất đáng lưu ý:
Chiến lược chiếm ưu thế là chiến lược tính tốc độ tăng dân số trung bình(CLtb): với chiến lược này, các em chọn một khoảng thời gian có mốc là thời điểm đang xét rồi tính tốc độ tăng trung bình trên khoảng đó. Cuối cùng các em dựa vào tốc độ trung bình này để so sánh tốc độ tăng dân số tức thời tại hai thời điểm trên.
Ở lời giải trên, em học sinh này đã sử dụng kí hiệu ∆ để đại diện cho sự gia tăng dân số. Có em thậm chí còn đưa vào thuật ngữ “tốc độ tăng dân số”, tuy nhiên em này đã sử dụng tốc độ trung bình thay thế cho tốc độ tăng tức thời và đi đến kết luận không đúng:
Việc đa số các em đều lựa chọn CLtb cho thấy: Trong tình huống phải tìm thời điểm dân số tăng nhanh hơn, các em đều nhận ra phải tính toán tốc độ tăng dân số và sử dụng giá trị này để so sánh. Như vậy là khái niệm tốc độ biến thiên trung bình vẫn xuất hiện trong quan niệm của học sinh tuy nhiên ở tình huống cần phải xác định tốc độ biến thiên tức thời thì chiến lược đạo hàm rốt cuộc đã không xuất hiện. Đặc biệt hơn chúng tôi ghi nhận được 3 câu trả lời cho rằng không thể tìm được tốc độ tăng dân số tại từng năm (tức là các em cho rằng không có cách nào tìm được tốc độ tăng tức thời này).
Emhọc sinh này cho rằng: “Trong một năm làm sao xác định tốc độ tăng dân số”. Có vẻ như những em này nhận thức được phải tìm tốc độ tăng tức thời tại từng năm thì mới so sánh được chính xác, nhưng sau đó lại cho rằng không thể xác định được tốc độ tăng dân số này.
Nhận xét
Mặc dù quan niệm về tốc độ tăng trung bình và thậm chí là tốc độ tức thời đều có xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh nhưng đặc trưng tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm lại không hề xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân đó.