CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN
3.6. Các t ổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm
Để tìm hiểu thêm về “cuộc sống” của khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học, chúng tôi tham khảo thêm phần phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đạo hàm trong luận văn của Lê Tuấn Anh. Tác giả đã phân tích các tổ chức toán học cả trong SGK chuẩn ở cả hai lớp 11 và 12 và tổng kết lại trong bảng sau:
Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật Vídụ, HĐ SGK
Bài tập
Bài tập SBT
Tổng bài tập
52 Tính đạo hàm bằng
định nghĩa
τ1 3 3 3 9 Tính đạo hàm bằng
công thức
τ2 12 18 34 64
Chứng minh không có đạo hàm tại x0
1
τ3 ; τ23
1 1 3 5
Tìm vi phân τ4 1 2 7 10
Tính gần đúng một giá trị
τ5 1 0 1 2
Viết phương trình tiếp tuyến
τ6a 1 9 2 12
Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc
τ6b 0 2 4 6
Xét tính đơn điệu nhờ b biến thiên
τ7 5 8 10 23
Tìm cực đại, cực tiểu τ18 ; 6 10 7 23 Tìm GTLN, GTNN
trên khoảng
τ9a 3 4 6 13
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn
1
τ9b;τ9b2 2 1 3 6
Tìm nguyên hàm τ110;τ102 ;τ103 9 6 12 27
Tính tích phân τ111;τ112 15 1 25 54
Tổng 59 78 117 254
3.6.1. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng tốc độ biến thiên
Trong phân tích của tác giả này, chúng tôi nhận thấy rằng kiểu nhiệm vụ yêu cầu tính tốc độ biến thiên hoặc ứng dụng nghĩa tốc độ biến thiên của đạo hàm không hề xuất hiện.
Kiểu nhiệm vụ liên quan đến các ứng dụng trong vật lí cũng chỉ dừng lại ở việc tính vận tốc và gia tốc. Đây là kiểu nhiệm vụ được tác giả xem xét như kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ tính đạo hàm bằng công thức. Cụ thể:
“Kiểu nhiệm vụ T2: Tính đạo hàm của hàm sốy= f x( )bằng công thức.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi54 of 138.
Kiểu nhiệm vụ con T2a: Tìm vận tốc, gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình ( )
s=s t tại thời điểm t =t0”
Với kiểu nhiệm vụ T2a thì kĩ thuật giải quyết là sử dụng hai công thức: v t( )0 =s t'( )0 ;
0 0
( ) '( )
a t =v t và các công thức tính đạo hàm. Công nghệ giải thích cho kĩ thuật này liên quan đến bản chất vật lí mà đặc biệt là ý nghĩa tốc độ biến thiên không được làm rõ.
Nếu quả thật không có kiểu nhiệm vụ nào có liên quan đến nghĩa tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm thì đặc trưng này không thể có cơ hội xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh. Tuy nhiên chúng tôi phát hiện ra rằng tác giả Lê Tuấn Anh đã bỏ sót một dạng của kiểu nhiệm vụ loại này. Cụ thể hơn, chúng tôi tìm thấy trong thể chế có một bài toán có liên quan đến việc xác định tốc độ biến thiên của một đại lượng: Đó là bài toán xuất hiện trong SGKNC 12 phần “Tính đơn điệu của hàm số” (Bài 10/tr 9):
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được tính bởi công thức: ( ) 26 10 5 f t t
t
= +
+ ( f(t) được tính bằng nghìn người ).
a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.
b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0 ; +∞ ).Tìm f ' và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng [0 ; +∞ ).
c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người / năm)
- Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thì trấn?
- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người / năm?
Chúng tôi đặt câu hỏi: I2 đưa vào kiểu nhiệm vụ này ở đây nhằm mục đích gì?
Phân tích kĩ hơn để thấy rằng: trong phần xây dựng lý thuyết, đặc trưng tốc độ biến thiên của đạo hàm đã không được tạo nhiều điều kiện thuận lợi để xuất hiện. Vì lẽ đó, có thể chính các tác giả SGK cũng cho rằng học sinh không hề biết đến đặc trưng này khi đưa vào trong bài toán này một thông báo: “Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn”.
Nếu như thay đổi yêu cầu của câu c thành: So sánh xem trong hai thời điểm năm 1990 và năm 2008, năm nào dân số tăng nhanh hơn. Đồng thời đặt bài này vào cuối chương khảo sát hàm số, học sinh có thể nghĩ đến chiến lược sử dụng đồ thị để so sánh hai tốc độ tăng dân số ở hai thời điểm này. Nhưng ở đây yêu cầu là tính trực tiếp tốc độ tăng dân số, bởi vậy SGK không còn cách nào khác là áp đặt đặc trưng tốc độ biến thiên này cho đạo hàm một
cách rất khiên cưỡng. Việc thể chế không quan tâm đến đặc trưng biến thiên trong khi đó lại đưa vào bài toán này kèm theo một thông báo áp đặt theo chúng tôi là không hợp lí. Đặc trưng tốc độ biến thiên cũng không vì thế mà có thể xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của các em.
3.6.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ
Cũng từ kết quả phân tích của Lê Tuấn Anh, chúng tôi nhận thấy rằng chỉ có một kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ xuất hiện trong bài vi phân:
“Kiểu nhiệm vụ T5: Tính gần đúng một giá trị Kĩ thuậtτ5:
Chọn hàm số y = f(x) và x0 ; ∆xphù hợp.
Sử dụng công thức gần đúng (*) f x( 0+ ∆ ≈x) f x( )0 + f x'( )0 ∆x. Công nghệ θ4: Định nghĩa vi phân.
Lý thuyết Θ4: Định nghĩa đạo hàm.”
Chúng ta biết rằng, công thức (*) vốn là một công thức xấp xỉ hàm số. Nhờ công thức này, chúng ta có thể xấp xỉ các hàm phức tạp bằng các hàm tuyến tính đơn giản và việc này rất có ý nghĩa trong các khoa học khác mà đặc biệt là trong Vật lí. Tuy nhiên kiểu nhiệm vụ giải thích hoặc chứng minh các xấp xỉ hàm lại không hề xuất hiện trong thể chế dạy học Toán. Đối với kiểu nhiệm vụ tính gần đúng ở trên: ∆xsẽ được chọn là một giá trị cụ thể nào đó phù hợp, và học sinh chỉ áp dụng (*) để tính gần đúng mà không nhìn thấy bản chất xấp xỉ hàm ở đó. Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm vì thế cũng không được “nuôi dưỡng” trong thể chế dạy học hiện nay.