• Hữu hạn -
• Đơn trị
• Liên tục
Ngoài ra, do I Ỹ |2 chứ không phải & cho phép tính xác suất tìm h ạ t nên các hàm sóng Ị? và e*a ĩp, trong đó a là một hằng số thực, được xem như mô tả cùng m ột trạng thái vật lý của hệ.
Cũng liên quan tói cách giải thích thống kê về ý nghĩa hàm sóng, m ột câu hỏi quan trọng đặt ra là: Nếu ờ thời điểm t — 0 hàm sóng \Ị/
chuẩn hóa thì ơ những thời điểm bất kỳ sau đó, hàm này còn chuẩn hóa không? Trong 2.2 sẽ chứng m inh rằng giá trị của tích phân trong (1.42) không phụ thuộc vào thời gian. Điều đó có nghĩa là tính chuẩn hóa của hàm sóng không đổi theo thời gian.
1.5 N guyên lý chồng chất
Nguvên ly chồng ch .ất là m ốt trong những luân điếm cơ bản của cơ j^oc lượng tử. Một nguyên lý tương tự như vậy ta đã từng gập trong
Vật lý học cổ điển. Tuy nhiên giữa chúng có sự khác biệt sâu sác.
1 .5 .1 N g u y ê n lý c h ồ n g c h ấ t t r o n g v ậ t lý h ọ c cổ đ iể n T a trở lại thí nghiêm kinh điển của Young5 trên hình 1.3. Chùm ánh sáng phát đi từ nguồn s bị chặn hời một màn chắn K có hai khe nhỏ A và B đối xứng. Sổng ánh sáng từ các khe này rọi lên một màn huỳnh quang F đặt sau K . Nếu U\ ( x) và u 2(x) là các sóng phát đi từ A và B thì sóng tổng hợp tại điểm X trên màn F bàng
u{x) = Ui ( x) + u 2{x) (1-43)
6Bằng th í nghiệm này, năm 1807 T h. Young đã phát hiện hiện tượng giao thoa ánh sáng.
•18 Chương ĩ. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
K
X
F
Hình 1.3: Sơ đồ thí nghiệm Young.
Công thức trên mô tả nguyên lý chồng chất trong vật lý học cổ ,điển.
Theo thuyết sóng, cường độ sóng /li2 bằng bình phương môđun của hàm sóng tương ứng: lỵ 2 =1 Ui>2 Ị2. Do đó cường độ sóng tổng hợp từ các khe A v a B tại X bằng
h ĩ { x ) = h{ x) + h ( x ) + uỊ( x)u2(z) + Iii(a:)u2(a:) (1-44) Vậy cường độ sóng tổng hợp không phải là phép cộng đơn giàn cường độ của các sóng thành phần: / i2 / i + / 2. Hai số hạng cuối cùng trong (1-44) phụ thuộc vào độ lệch pha của các sóng tti 2(ai) và điều này cho phép giải thích hiện tượng giao thoa. Như vậy trong vật lý cổ diễn, nguyên lý chồng chất (1.43) là cơ sờ đề giài thích hip.n tương Ịĩịan th o a á n h sáng trp.ng.thi_nRhiẽm_Young( .... "
1 .5 .2 S ự t h ố n g n h ấ t g iữ a t í n h s ó n g v à t í n h h ạ t
Bây giờ ta hãy thay thệ nguon anh sang sbời m ột súng phóng điện tử có thể điều chinh sô' diện tử bắn ra trong một đơn vị thời gian theo
1.5. Nguyên lý chồng chất 19 ý muốn. Giả sử tho ạt đầu ta chỉ mờ khe A. Gọi ĩpi (2) là hàm sóng của điện tử bay qua khe này. Khi ấy m ật độ xác suất tìm được điện tử tại điểm X trên màn huỳnh quang bằng
Hoàn toàn tương tự, nếu đóng khe A và chỉ mờ khe B ta sẽ có
Bây giờ ta mở cả hai khe. Trên m àn huỳnh quang sẽ xuất hiện ảnh giao thoa gồm những vân sáng tối xen kẽ nhau giống ảnh giao thoa anh sáng. Giải thích điều này ra sao?
Trước tiên ta hãy th ử giải thích hiện tượng giao thoa điện tử bằng quan niệm hạt thuần túy của cơ học cổ điển. Theo quan niệm này thì sờ dĩ xảy ra giao thoa là do cùng lúc có vô số điện tử di qua các khe và chứng tương tác với nhau. Nói khác đi, giao thoa là hệ quả của tương tác giữa các h ạt trong m ột tập hợp gồm rấ t nhiều hạt chứ không thể xảy ra vói từng hạt. Tuy nhiên lập luận này đã bị kết quả thực nghiệm của L. Biberman và N. Sushkin bác bỏ. Trong các thí nghiệm này, số điện tử trong chùm h ạt tói giảm tới mức khoảng thời gian giữa hai làn điện tử kế tiếp nhau bay tới máy đo lớn gấp 30.000 làn thời gian cằn thiết để m ột điện tử chạy qua toàn bộ máy đo. Rỏ ràng ờ đây các điện tử không thể tương tác với nhau. Mặc dù vậy vẫn quan sát được ảnh giao thoa khi thời gian tiến hành thí nghiệm đủ lâu. Và một điều rấ t thú vị là ảnh giao thoa thu được cũng không khác đáng kề so với ảnh giao thoa thu được trong thí nghiệm với chùm điện tử có cường độ lớn gấp 107 làn. Như vậy quan niệm hạt thuần tuy của cơ học cổ điẻn không còn thích hợp cho việc giải thích cac hiện tượng vi mố.
. Nhưng nếu thời gian tiến hành th í nghiệm ngắn đến nỗi màn F chi hứng được vài điện tử, thì khi va vào màn F tại một điểm nào đó điện tử chỉ gây ra ờ đó một điểm sáng chứ khồng tạo nổi vân giao thoa dù yếu. Điều đó có nghĩa là ta cũng buộc phải từ bỏ cách giải thích dựa trên quan niệm sóng thuần túy.
P\{v) =1 lị)l(®) I2 (1.45)
p2(x) =1 iỊ)2(x) I2 (1.46)
20
Thực nghiệm cho thấy khi các điện tử bay tói màn huỳnh quang F những điểm sáng do chúng tạo nên phân bố m ột cách ngẫu nhiên, nghĩa là không thể biết trước dược một điện tử nào đó sé x u ất hiện tạ i đâu trên m àn F. Nhưng sự phân bố của chúng trên m àn F lại tuân theo qui luật đơn giản: m ật độ hạt tại mỗi điểm X trên m àn F tỉ lê vói độ chói của vân giao thoa, đạt cực đại tại các vân sáng và bằng không tại các vân tối. Chính điều này đã dẫn Bom đến cách giải thích thống kê (1.38) về mối quan hệ giữa tính sổng và tính h ạt của các vi hạt.
Kết quả những th í nghiệm trên dường như dẫn đến m ột nghịch lý m à trong khuồn khổ thuyết hạt thuần túy có thể diễn tả như sau.
Theo cơ hoc cố diẳn. mỗi dÌêrLl.ÍT^clin.ván.dQng-th^Q-rrvộ^-qu-ĩ_dao xác- định._ Nếu vậy ta có thể chia số điện tử bay tới m àn F thành hai nhóm cãn cứ vào việc chúng bay qua khe nào. Vì các điện tử không tương tác với nhau nên việc khe B mờ hay đóng hoàn toàn không có ý nghĩa gì đối với các điện tử bay qua khe A. Sự phân bố trên m àn F của các điện tử bay qua khe A (nhóm A) khi khe B đóng được xác định bời Pi ( x) . Tửơng tự đối vói những diện tử bay qua khe B (nhóm B) khi khe A đóng, ta có hàm phàn bố P2{x). Do đó khi mờ cả hai khe lẽ ra sự phân bố điện tử trên màn F phải tuân theo qui luật
Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
p{x) = Pi(x) + p2{x) (1.47)
Tuy nhiên điều này hoàn toàn mâu thuẫn vói thực nghiệm vì phép cộng (1.47) không thể dẫn đến hiện tượng giao thoa Mâu thuẫn này chứng tỏ không thể chia các điện tử bay tới màn F thành nhòm cản cứ vào việc chúng bay qua khe nào. Nhưng điều đó có nghĩa là ta đành phải từ bỏ khái niệm quĩ đạo.
Đến đây dường như xuất hiện nghịch lý: trong cơ học lượng tử ta không thể nói m ột cách chắc chắn rằng diện tử đi qua khe nào! Thực ra cũng có thể biết được điện tử đi qua khe nào bàng cách đặt các máy dò sau các khe A, B. Tuy nhiên bằng cách đó, máy dò sê hấp thụ điện tử hoặc chí ít cũng làm nhiễu nổ và kết quả là trên màn F sẽ
1.5. Nguyên lý chồng chất 21 không xuất hiện ảnh giao thoa. Điều này liên quan tới m ột đặc điềm quan trọng của các hệ lượng tử khi đo đạc các hệ này: mọi đo đạc chỉ có thể thực hiện thông qua tương tác giữa hệ và m áy đo, nhưng tương tác này lại luôn làm nhiễu hệ. Nên nhó rằng theo cơ học cổ điển thì có thể giảm độ nhiều này nhỏ đi bao nhiêu cũng được và do đó có thể do đồng thời nhiều dại lượng khác nhau vói độ chính xác tùy ý.
Thực ra, khi d â t câu hỏi diên tử di qua khe nào là ta dang quan tâm dển tính hạt của điện từ : Cồn khi muốn quan sát hiện tượng giao thoa là ta dang muốn tìm hiếu tỉnh sónq của nó. Dùng máy dò để xem điện tử đi qua khe nào, vô hình chung ta dã loại bỏ khả náng hình thành ảnh giao thoa. Ngược lại, muốn thấy ảnh giao thoa ta buộc phải dẹp bỏ máy dò. Những lập luận trên dã dẫn Bohr đến n g u y ê n lv b ố s u n g :
Yịệc mô tẳ toàn diên CẨC hệ vi mõ đòi hỏi phải xem xét cả tính sóng và tinh hạt chứ không chi tùng m ật riêng rẽ. Tuy nhién, trong cùng m ột th í nghiệm chỉ có thể quan sát được hoặc tính sóng hoăc tỉnh hat chứ không thể cả hai.
Những phân tích trên đây cho phép kết luận: không thể giải thích được kết quả các th í nghiệm vừa trình bầy nếu tách rời tính sóng và tính hạt của điện tử. Nói cách khác, khi nghiên cứu các qui luật của thế giới vi mô, ta buộc phải xem xét lại nhiều quan niệm của vật lý học cổ điển dù ràng kinh nghiệm sống thường ngày có thể làm cho ta nghĩ ràng chúng có cơ sờ hoàn toàn chắc chắn.
1 .5 .3 N g u y ê n lý c h ồ n g c h ấ t t r o n g c ơ h ọ c lư ợ n g t ử Bây giờ ta hãy giải thích hiện tượng giao thoa đối vói diện tử bằng cách dựa vào nguyên lý chồng chất như dã làm với giao thoa ánh sáng. Nếu như điện tử chỉ là các hạt cổ điển thông thường giống như những viên đạn bắn qua hai khe trên một tấm bia, thì đối vói chúng các m ật độ xác suất đơn thuần được cộng lại như ờ cồng thức (1.47) và ảnh giao thoa không thẻ xuất hiện. Nhưng nếu ta lưu ý đến tính sóng của diện tử và giả thiết rằng đối với các hàm sóng ^1,2 ta cũng
22 Chương ]. Những khái niệm cơ sở củ a cơ học lượng tử
có th ể thự c hiện phép cộng tương tự (1.43), nghĩa là:
i>{x) = T¡)\{x) + Ip2(x) (1-48) thì khi mở cả hai khe, m ậ t độ xác suất tìm điện tử tại điểm Xsẽ bằng p( x ) =1 1p{ x ) |2=| t pi (x) + Ip2{ x) I2 (1-49) Chú ý các công thức (1.45) và (1.46), từ (1.49) ta thu được
p(x) = I ÿ \ { x ) |2 + I •ệìịx) I2 +2 I Ỷ1 I • I v*2I cos(0i - ệ ỉ)
= Pi + P2 + 2.y/pĩ7>2 cos($i — 02), (1.50) trong đó ệ1 2 là pha của các hàm ^1,2 và phụ thuộc vào tọa độ X.
Công thức (1.50) là phân bố xác suất trong trường hợp có giao thoa.
Nhu’ vậy, m ột cách hình thức có thể mô tả hiện tượng giao thoa điện từ tương tự như giao th oa của các sóng cổ điển. Hệ thức (1.48) có vai trò như hệ thức (1.43) và chính là nguyên lý chồng chất cho trường hợp ta đang xét.
Lưu ý ràng khi viết hệ thức (1.48) vói các hàm sóng tpi 2 có hệ số như nhau, ta đã ngầm giả định các khe A và B đối xứng. Nếu các khe nằm xa nhau và nguồn s nằm lệch về phía một khe nào đó, thì rõ ràng sổng qua khe ấy sẽ lón hơn. Do đó trong tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng này, mỗi hàm cằn đi với m ột ’’trọng số” tương ứng.
Bời vậy thay cho (1.48), trạng thái của điện từ khi mờ cả hai khe phải được mô tả bởi hàm
1p(x) = Cỵýịịx) + C21p2(x) ( Ị . 51)
trong đó C\ 2 là các hệ số phức tùy ý.
Dưới dạng tổng quát nhất, nguyên lv chồng chất trong cơ học lương tử dươc phát biếụ như sau:
N ế u hệ lượng tử có thể ở trong những trạng thải mô tả bởi cấc hàm súng Tpi (ổ), 7/>2(z)6, . thỡ hệ cũng cú thể ở trong trạng thỏi
6T rong trường hợp tổng quát, biến X được hiểu như tệp hợp tất cả các toa đô xác định không gian cấu hình của hệ đang xét
1.5. Nguyên lý chồng chất 23
được mổ tả bởi hàm
M x ) = Y^Cn-ệnix) (1.52)
n
Xấc suất p n tìm hệ trong trạng thái ^n(z) bằng
Pn =1 C n I2 ' (1.53)
Trong (1.52), n nhận các giá trị gián đoạn và tương ứng vói những đại lượng vật lý / = ( / i , /2, . . . ) đặc trưng cho trạng thái của hệ.
Trong trường hợp những đại lượng này biến thiên liên ¿ục, thay cho công thức trên ta có
trong đổ tích phân được lấy theo toàn miền biến thiên của / . Công thức (1.1 1) chính là m ột thí dụ minh họa trường hợp này.
Một kết luận quan trọng rú t ra từ nguyên lý trên là tấ t cả các phương trình m à hàm sổng thỏa mãn phải là những phương trinh tuyến tính. Đây là m ột trong những điều kiện bắt buộc đối với các phương trình của cơ học lượng từ.
Báy giờ ta hãy làm rõ sự khác biệt giữa các nguyên lý chồng chất trong cơ học lượng tử và trong vật lý cổ điển. Sự khác biệt này thể hiện qua những đặc diểm sau:
ỉ^ l^ T rong cơ học lượng tử, nguyên lý chồng chất phản ánh tính sóng
• cjáa các hạt vi mô. Như vậy, lưỡng tính sóng - hạt, điều hoàn toàn xa lạ đối vơi cơ học cổ điển, bây giờ ”tá túc” ngay trong nguyên lý chồng chất các trạng thái.
(2^)Giả sử F"\ và F*> là kết quả của phép đo đai lương vât lý F trong cạc trang thái ĩỊ)1 và iị)2. Ta hãy lập tổ hc/p tuyến tính (1.51) của những trạng thái này. Theo vật lý học cổ điển thì trong trạng thái mói (1.51) này, đại lượng F chỉ cố thể nhận một giá trị xác định nào đó trong khoảng từ jFi đến F2. Còn theo cơ học
(1.54)
lượng tử thì phép đo F trong trạng th ái (1.51) sẻ cho ta hoặc Fỵ vơi xác suất I Cl |2, hoác F*> với x ác s u ấ tj C2 l2-,,Như vậy trong trạng th ái này đại lượng vật lý F không có giá trị xác đinh.
(3^) Trọng vât lý hoc cỗ điền, sự chồng chất một trạng thái dao động nào dó với chính nổ.dấn .đến một trạ n g thái mới có biẽn đồ dao động táng gấp đôi. Còn trong cơ hoc lương tử. như ta đã thấy, các trang thái mồ tả bởi các hàm sóng 'ộ(x) và ctị){x ) thực chất 1h^nhic nhau.
Tóm lại, giữa các nguyên lý chồng chất của cơ học lượng tử và Cỏá^của vật lý học cổ điển có sự khác biệt cơ hàn về chất. ” Mọi cố gắng hình dung nguyên lý chồng chất lượng từ theo kiêu cổ điển sé dẫn tới những nghịch lý. Vấn dề đạt ra là phải làm quen với những ý tường mới của cơ học lượng tử và xây dựng một công cụ toán học mới, mô tả được những ý tường ấy.” 7
1-6 Toán tử
Công cụ toán học cơ bản của cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính tự liên hợp được trình bày dưới đây. Trươc khi nói về nhưng toán từ này, ta nhắc lại m ột vài khái niệm chung về toán tử
T o á n t ử là m ột phép toán (thường được ký hiệu bởi các chữ cái cú dấu A phớa trờn) m à khi tỏc dụng lờn một hàm u(ổ) nào đú trong không gian hàm đã cho sẽ biến hàm này thành một hàm sổ v(x) khác cũng thuộc không gian hàm này8:
Ầu( x) = ô(*) (1.55)
Sau đây là m ột vài th í dụ đơn giản:
7P. A . M . Dirac, The p rin cip les of Quantum Mechanics, N ew York The Claren
don P ress, 1958.
8Đ ể đơn giản ta tạm giả sử các hàm này chỉ phụ thuộc vào m ột biến số X Tuy nhiên, các lập luận ở đây hoàn toàn có thể mờ rộng cho trường hơp hàm 'nhiều biến.
24 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
1.6. Toán tử 25 a) Phép nhân với biến X: Âu( x) = xu(x)
b) Phép lấy đạo hàm theo biến X: Âĩp(x) = dĩp(x)/dx
c) Phép lấy tích phân hàm u{x) theo biến Xtrong miền [a, 6]:
Au( x) = / u ( x) dx
J a
d) Phép dịch chuyển tọa độ m ột đoạn a : X—> X4 a Ẩư(a:) = u( X4 a)
e) Phép lấy liên hợp phức: Àu( x) = u*(x)
P h é p cộng và p h é p n h â n toán tử được dịnh nghĩa như sau:
Ở = Ầ 4 B Ảu( x) 4- Ẻu( x) = Cu( x) (1.56)
Ò = Ầ . Ẻ ^ Ằ ( è u { x ) ) = D u { x ) (1.57) Lưu ý rằng phép cộng toán tử cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp như phép cộng các số thông thường, nhưng phép nhân toán tử thì nói chung không giao hoán: Ầ Ẻ ^ Ê Ả . Dế thấy điều này qua thí dụ sau đây với À — X, B = d/dx:
- - du( x) ? - d
Ả Ẻ u ( x ) = X—^ — = 4 Ả Ố — X -ị-
trong khi đó
d y N du(x) . . d
BÀu ( x ) — -j -(xu(x)) = u(x) 4- " => B Á = 1 4 x ~ Toán tử
[ i , B) = ẦẺ - ỖÀ (1.58)
26 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử gọi là giao hoán tử của Á và B. Như vậy nếủ hai toán tử giao hoán với nhau thì giao hoán từ của chúng bằng không. Trong th í dụ vừa xét [Â, è ) — - 1 . Còn toán tử9
[À, B]+ = Ả ẻ + B Á (1.59)
gọi là phản giao hoán từ của A và 5 .
Qui tắc cộng và nhân toán tử cho phép thực hiện các phép tính đại số đơn giản đối vói toán tử tương tự như đối vói các con số thông thường, nhưng càn lưu ý rằng nếu các toán tử không giao hoán vói nhau thì không được đổi thứ tự của chúng trong phép nhân. Chẳng hạn
( i - ẻ ) ( À + Ỗ) = Ả 2 - Ê 2 + ÀỐ - B À Ỷ Ấ 2 - B 2
Sử dụng định nghĩa (1.58), dễ dàng chứng minh các hệ thức sau
[À,Ồ] = - [ ẻ , À ] ^ " (1.60)
[Ả, B + C] = {Ầ,B} + [ Ầ, ỏ ị , (1.61)
[À, BC} = [À, B]C + B[Ầ, C] (1.62)
[Ả, [ẻ, Ở]] + [Ồ, [Ớ, Ả]] + [Ở, [À, 5]] = 0 (1.63) Dựa vào các phép cộng và nhân đối vói toán tử, ta có thể đinh nghĩa toán tử F = exp (j4)
ỷ = eẢ = 1 + À + i i 2 + . . . + ~ Â n + . .. (1.64) T o á n t ử tu y ế n tín h . Toán từ Lgọi là toán tử tuyến tinh nếu L ^ c nun {x) = Ỵ ^ c nLun {x) (1.65)
n n
trong đó Cn. là các hàng số tùy ý. Trong các th í dụ a)-> e) dễ thấy tắ t cả các toán tử đều tuyến tính trừ e).
9Phản giao hoán tử của hai toán tử À và Ê còn được ký hiệu là { À Ẻ }
1.6. Toán tử 27 T o á n tử liê n h ợ p p h ứ c À* với toán tử Ả cho trước là toán tử được định nghĩa như sau
Ầ u (x) = v(x) Ả*u*(z) = v*(x) (1.66) Gọi Ầ là to á n t ử c h u y ể n v ị của À. Theo dinh nghĩa, toán tử này phải thỏa hệ thức
Ị u *(x)Ả v(x) dx = ị v(x)Á u *(x)dx (1.67) T o á n tử liê n h ợ p Ả + với toán tử Ả cho trước là toán tử thu được từ Ả bằng cách lấy liên hợp phức trước rồi thực hiện phép chuyển vị hoặc theo thứ tự ngược lại
i + = ( A * ) = ( l ) * (1.68) T o á n tử tự liê n hợp: Trong trường hợp toán tử À bàng toán tử liên hợp của nó
Ằ = Â+' (1.69)
thì À gọi là toán từ tự liên hợp hay toán tử hermitic. Dễ thấy định nghĩa (1.69) tương đương với hệ thức
J u m(x )Ả v (x )d x = Ị v{x)À*u*{x)dx (1.70) trong dó u(a;), v(z) là các hàm sô^bất kỳ, bình phương khả tích, còn tích phân lấy theo toàn miền biến thiên của biến X. Thông thường, các hàm u( x) , v( x) được giả thiết là tiến tới không đủ nhanh khi X tiến tói vô cực.
Đổ minh họa định nghĩa (1.70), ta hãy xét toán tửpa; = —ih d /d x . Với lưu ý t/*(±oo) = u(±oo) = 0, ta có
dx u*ỳxv dx