cu(x), vói c là hàng số tùy ý, cũng vậy.
2. Với Cna là các hằng số tùy ý, tổ hợp tuyến tính của các hàm riờng suy biến Itn a (ổ)
/ n
^ợi(œ) — ^ ] Cna^na(đ) (1.81) a=l
cũng là hàm riêng của À ứng với cùng trị riêng A n.
1.8 Tính chất của toán tử tu yến tính tự liên hợp
Giả sử A ỉ à một toán tử tự ỉiên họp dược định nghĩa bởi (1.70). Ta hây tìm hiếu những tính chất cơ bản của toán tử này.
T ính chất 1: Trị riêng th ự c
Một trong những tính chất quan trọng nhất của các toán tử tự liên hợp là trị riêng của chung là những sô' thực. Để chứng minh điều này ta sừ dụng hệ thức (1.70) với U và V được thay thế bởi hàm riêng un của À. Với lưu ý À u n = A nunì Á*u¿ = và Vn(x) ỹé 0 theo định nghĩa hàm riêng, ta có
A n Ị U* un dx = A„ J unUn dx Từ đây suy ra
K = A n (1.82)
Tính chất 2: Các hàm riêng trự c giao và chuẩn hóa
Các hàm riêng của toán tử tự liẽn hợp ứng với các trị riêng khác nhau thì trực giao với nhau. T a minh họa điều này qua trương hợp A có phổ trị riêng gián đoạn. Giả sử un và Urn là hai hàm riêng ứng
32 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử vói hai trị riêng A n Ỷ A m của Â.' Tính trự c giao của các hàm này được mô tà như sau
J dx = J t£jUn dx = 0 (1.83) Để chứng m inh (1.83), ta áp dụng định nghĩa (1.70) với u* = u*n và V= Um'-
Ị u*nẢ u m dx = J UmẰ*u*n dx (1-84) Sử dụng các phương trìn h Áun = A nun, Àum = A mUm và tính chất (1.82), từ (1.84) ta có
(^•m >/K u m dx = 0 (1.85)
Nhưng vì Am ^ A n nên từ đây dễ dàng suy ra (1.83).
Ngoài tính trực giao, người ta chứng minh dược rằng các hàm riêng thuộc phổ gián đoạn của toán tử tự liên hợp là các hàm bình phương khả tích. Do đó có thể chọn hệ số của các hàm này sao cho chúng thỏa điều kiện chuẩn hóa
Ị < u n dx = Ị I un I2 dx = 1 (1.86) Hai tính chất trự c giao (1.83) và chuẩn hóa (1.86) có thể mô tả dưới dạng m ột hệ thức duy nhất
J dx = 8mn (1.87)
trong đó S m n là ký hiệu Kronecker được định nghĩa như sau
r. _ J 0 nếu m Ỷ n
ỏmn ~ ị 1 nếu m = n (1.88)
1.8. Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp 33 Hệ hàm riêng thỏa điều kiện (1.87) gọi là hệ hàm t r ự c g ia o c h u ẩ n h ó a hoặc m ột cách ngán gọn là hệ hàm tr ự c c h u ẩ n .
Cần lưu ý rằng định lý về tính trự c giao (1.83) chi đủng cho các hàm riêng ứng với những trị riêng khác nhau. Trong trường hợp suy biến10, các hàm riêng ‘Una(x) tuy khác nhau, nhưng lại ứng với cùng một trị riêng An , và do đó nói chung không trực giao với nhau. Tuy nhiên bằng phương pháp trự c giao hóa tương tự như phương phấp sẽ trình bày trong 1.11, ta có thể thu được các hàm riêng thỏa diều kiện trực giao
J KcUnò àx = Saò (1.89)
Như vậy cũng có thể coi như điều kiện (1.83) dược thỏa mãn ngay cả khi có suy biến, nhưng phải hiểu các chỉ số m, n trong (1.83) là tập hợp cac ein so oỊc trưng cno cac ham ìiêìig suy bitìíi, chẳíìg hạn thay cho n là (n, a ), thay cho m là (m, ò).
Bây giờ xét trường hợp p h ổ t r ị riê n g liê n tụ c . Gọi u (A yx) là ham riêng của A ứng vdi trị riêng A. Trong trường hợp này tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau vẫn đung
Ị ư*(A, x)u{A ', x) dx = 0 nếu A Ỷ Ä , (1.90) Nhưng bây giờ ta không thể chuẩn hóa các hàm riêng u(A, aĩ) nhờ diều kiện (1.86) bởi vì các hàm này không bình phương khả tích và
do đó ^
Ị U * ( A , x )u {A ìx) dx = oo (1.91)
Để chuẩn hóa hàm riêng thuộc phổ liên tục, người ta dùng m ột hàm suy rộng là hàm delta Dirac11, kí hiệu là ổ(íc). Hàm này dược dịnh
10Xem định lý 2 về các hàm riêng suy biến trong 1.7.
11 Hàm này được p. A . M. Dirac đầu tiẽn đưa ra sử dụng trong vệt lý lý thuyết
34 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
Hình 1.4: Đồ thị hàm delta Dirac.
nghĩa bởi các diều kiện sau
<*(*) 0 oo
nếu ĩ / o
nếu X = 0 sao cho dx = 1 (1.92)
Hàm delta Dirac có những tính chất dưới đây mà sau này ta thường sử dụng
1) Nếu f ( x ) là một hàm số liên tục, ta có:
/•4-00 ô4-00
Ị f{x )S (x - ò )d x = f ( a) / S(x - ò) dx = f(a ) (1.93)
Jo o J — oo
2) ô(x) là hàm số chẵn:
S ( - z ) = 6(x) (1.94)
3) Nếu a là m ột hằng số bất kỳ, ta luôn có:
i( a * ) = 4 ĩ í ( l ) (1.95)
1.8. Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp 35
4) Hàm delta Dirac có thể biểu diễn bởi tích phân
S{x) = T [ +0° eifcx dk (1.96) 2tĩJ —oo
Trờ lại vấn đề chuẩn hóa các hàm riêng thuộc phổ liên tục, thay cho điều kiện (1.87), bây giờ ta cổ
Ị U*(A, x)u(A ', x) dx = <5(j4 - A') (1.97) Trong công thức trên, hàm S(A — A l) đóng vai trò như ký hiệu Kro- necker Jmn đã dùng trong trường hợp phổ gián đoạn.
T ín h c h ấ t 3: T ín h đ ầ y đ ủ c ủ a h ệ h à m riê n g
Trong lý thuyết toán tử người ta chứng minh được rằng ngoài tính chất trực giao, hệ hàm riêng của toán-tử tuvến tính tự liên hợp còn là h ệ h à m đ ầ y đ ủ .12 Điều này có nghĩa là ta có thể khai triển mọi hàm số u(x) liên tục có cùng miền biến thiên và các điều kiện biên như các hàm riẻng của toán tử tuyến tính tự liên hợp A theo các hàm riêng này. Trong trường hợp phổ g iá n đ o ạn , ta có
u(z) = 5 3 ^ í 1 ) (1.98)
n
Đẻ tính các hệ số khai triển Cn, ta nhân (1.98) với hàm u ^ x ) rồi lấy tích phân kết quả thu được theo toàn miền biến thiên của biến Xvà áp dụng công thức (1.87)
Ị u*m (x )u {x)d x = Y^C n Ị u ^ ( x ) u n(x) dx = ^ C n S m n (1.99)
J n J n
Từ đây suy ra
cn = J u „ (x)u (x)d x (1.100)
12Xem F. w. Byron, Jr. w. Fuller. Mathem atics of Classical and Quantum Physics. Addison-W esley, 1969, \ o l . l , Section 4.7.
36 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử N hư vậy, nếu biết được tấ t cả các hệ sổ khai triển Cn trong (1.98) t a có th ể tìm được hàm u(x). Ngược lại, cho trước u (x ), t a có th ề tính được các hệ số Cn theo công thức (1.100). Cũng có thể mô tả tín h đày đủ của hệ hàm riêng của A bằng công thức sau gọi là hệ thức
đóng kin
Đối với phổ liê n tụ c , thay cho các công thức (1.98) (1.100) và (1.101), t a có
d ' tích phân lấy theo toàn miền biến thiên của biến A liên tục.
Klu tạo bo s o n g th các sóng phẳng, ta dã có dịp áp dụng các công th líT m ne trường hơp phổ trị riêng của Ầ có cà miền gián đoạn và rnibn Bta tục, ta cú thể viết hàm ô(*) dưới dạng
Cỏc cụng thức (1 98) (1.102) và (1.105) cú V nôrhĩ „
quan trọng: trạn g th ỏ iý { x ) b ắt lcỳ của hệ cú thể viết d ằ ^ ỡý cực kỳ chắt của các trạng thái riêng tị,n (x ) [hoặc ¿ ( 7 1 ) 1 r n ^ ^ dạ.ng chồns vật lý A có giá trị xác định. . )i m a ở đó đại lượng
^ 2 < (x )U n (x ') = S{x - X1) (1.101)
n
(1.102) (1.103) (1.104)
(1.105) n
1.9. Mô tả các đại lượng vật ỉý trong cơ học lượng tử 37