Xét đại lượng vật lý A b ất kỳ đặc trưng cho hệ. Giả sử toán tử À mô tả đại lượng này không phụ thuộc tường minh vào thời gian và không giao hoán với Hamiltonian của hệ. Trong trường hợp này đại lượng A khen? nhải ỉà t.íđí phân chuycn động, trị trung bình .4 c ũ r0“
như xác suất đo được các giá trị của A thay đổi theo thời gian. Ta muốn biết tốc độ biến thiên của A liên hệ với độ bết định của nầng lượng ra sao?
Với mục đích ấy, ta trở lại các hệ thức (2.44), (1-202) và (1-209).
Từ (2.44), ta có
Mặt khác, thay toán tử è trong (1-202) bời toán tử nâng lượng toàn phần H, ta được
Thay (2.85) vào hệ thức bất định tổng quát (1-209), ta thu được
gian
(2.84)
Từ đây suy ra
(2.85)
SA SH > - ị A
2 dt (2.86)
90 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger
Nếu đặt
A E = SH, A t = SA
(2.87)
thì từ (2.86) ta suy ra h ệ th ứ c b ấ t đ ịn h giữa n ã n g lư ợ n g và th ờ i g ian :
Theo (2.87), A E là độ bất định nàng lượng, còn A t là thời gian càn thiết đề A biến đổi một lượng bằng độ lệch tiêu chuẩn (hay độ bất định) ỖA. Như vậy, hệ thức (2.88) cho biết mối quan hệ giữa độ bất định của nàng lượng và tác độ biến thiên của 'đại lượng A tùy ý. Độ lớn của A t phụ thuộc vào đại lượng A được chọn. Nhưng nói chung, có thể xem A t như thông số đặc trưng cho thời gian tồn tại hay thời gian sô'ng của trạng thái đang xét.
Nhấn mạnh rằng, tuy về hình thức hệ thức bất định (2.88) rấ t giống hệ thức bất định Heisenberg giữa tọa độ và xung lượng, nhưng nổ cổ ý nghĩa vật lý khác hẳn. Trong (2.88), A t không phải là ” độ bất định về thời gian” , m à là thông số đặc trưng cho độ bền vững, ồn định của trạng thái dang xét. Nếu trạng thái này cổmang lượng cAng xác đinh (tức là A E càng nhỏ), t hì từ (2.88) suy ra thời gian sổng
^^-OÓ.càng^_ỊỊâu (A t càng lớn). Ngược lại, trạng thái cổ năng lương càng bất dinh ( A E càng lớn), thì thời gian tồn tai càng ngán. Nói riêng, trang thái cổ nâng lương xác dinh (trang thái dừng) là trạng t hái cò thời gian sống vố han (A t = oo).
A E A t > ^ (2.88)
- 2
C hương 3
Chuyển động một chiều
rong chương này ta sẽ giải một số bài toán một chiều đơn giản nhằm minh họa ứng dụng của phương trình Schrõdinger dừng.
Các kết quả thu được từ những bài toán này sẽ giúp ta hiểu được những tính chất đặc sắc của các hệ lượng tử. Các bài toán m ột chiều cũn quan trọng ợ chỗ nhiều bựi toỏn hrn rhĩềr. vỊ bằ. tun có thể qui về phương trình Schrõdinger một chiều.
! 3.1 Tính chất chung của chuyển động m ột chiều
Giả sử thế năng của hạt chỉ phụ thuộc vào một tọa độ, chẳng hạn x: V = v ( x ) . Trong trường hợp này, ta có thề viết hàm sóng toàn phần dưới dạng tích của hai thừa số. Thừa số thứ nhất là hàm của các biến (y, z) và thỏa phương trình Schròdinger của hạt tự do. Còn thừa số thứ hai là hàm của Xvà được xác định từ p h ư ơ n g tr in h S ch rõ d in g er m ộ t chiều:
Trong các mục tiếp theo, ta sẽ giải một số bài toán một chiều cụ thể.
Còn bây giờ ta hãy tìm hiểu một số tính chất chung của chuyển động một chiều.
1 Trước tiên ta chứng minh tính chất quan trọng sau đây: Các trị riêng năng lượng thuộc phổ gián đoạn của phương trinh Schrỏdinger
d2ĩp(x) 2 m
dx2 + ^h2t [ E - V {z)]1,(z) = 0 (3.1)
91
92 Chương 3. Chuyển động m ột chiều m ột chiều không bị suy biến. Để chứng minh điều này, ta già sử ngược lại là ứng với trị riêng E của phương trình (3.1) có hai hàm riêng V-'i và Ip2 khác nhau. Vì cả hai hàm này đều thỏa phương trình
(3.1) nên tạ có1:
Ậ = ^ . [V_ E) = Ậ
V-1 J
Từ đây suy ra
^1^2 - = 0 Tích phân phương trình trẽn, ta được
rỊ>[(x)i>2(x) - ^2{x)-ệi(x) = const (3.2) Theo giả thiết các hàm ■ộil2(x) thuộc phổ gián đoạn nên phải bằng không tại vô cực: ^ ¿ ( ±00) = 0. Do đó const = 0 và ta có
- ^ỉí-aO^ií*) = Ồ = ^ Ỷ 1 ~ t l VI -Ộ2 Tích phân một lần nữa, ta thu dược
ý i( x ) = const V^í35) (3.3)
Công thức (3.3) cho thấy các hàm Vh.2 chỉ khác nhau bời m ột hằng số không phụ thuộc *. Nói khác đi, trị riêng E thuộc phổ gián đoạn không bị suy biến. Đó là điều phải chứng minh. Lưu ý ràng chi có các trị riêng thuộc phổ gián đoạn trong chuyển động m ột chiều mới có tính chất này.
2. T a hãy đánh số các hàm riêng và trị riêng thuộc phổ gián đoạn của phương trình Schrôdinger (3.1) bởi chỉ số n (n = 0 ,1 ,2 ,...) sao cho trị riêng E nhỏ nhất ứng vái n = 0. Mức nang lượng Eo gọi là m ú c cơ bản, còn trạng thái tpo gọi là trạng thái cơ bản. Mức nâng lượng E\ tiếp theo gọi là mức kích thích thứ nhốt và trạng thái mô
1 D ấu phẳy chì phép lấy đạo hàm theo biến X.
3.1. Tính chất chung của chuyển động một chiều 93 tả bời hàm ‘ệx gọi là trạng thái kích thích thứ nhất. Tương tự, iị)n là hàm sóng của trạng thái kích thích thứ n.
Đối với các hàm riêng Tpn(x ) tương ứng với trị riêng En thuộc phổ gián đoạn, ta có định lý sau đây:
D ịn h lý dao dòng: Hàm riêng iỊ)n ịx ) cắt truc hoành n lằn tại những aiấ tri X hữ u han.
Theo định lý trên, nếu chuyển động của hạt chỉ xảy ra trên một đoạn thẳng hữu hạn nào đó thì n chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm riêng i>n{x ) v<fr trục X hên trong đoạn thảng này. Những giao điểm này thường được gọi là nút của hàm sóng. Cần lưu ý rằng theo cách đánh số trị riêng E n ở trên thì giá trị nhỏ nhất cùa n là 0. Hàm sóng Tpo(x) của trạng thái cơ bản luôn luôn khác không nếu không kể tói những điểm m à tại dó hạ.t không th ỉ xuất hiện do clỉều kiệp toán.
3. Trong cơ học co đieriỊ h ạt co thê chuyên đông theo những cách khác nhau phụ thuộc vào tương quan giữa năng lượng toàn phần E và thế năng V của nó. Nếu E < V { x ) cả từ hai hướng như tren hmh 3.la, thì hạt chi có thể xuất hiện trong miền [A, B]. Các điểm A B gọi là điểm quay lui; tại đó E = V, K = 0. Nếu E > V( x ) chi từ một hướng như trên hình 3.1b, thì từ vô cực h ạt giảm đàn vận tốc và quay ngược trở lại tại điểm A mà không thể xu ất hiện trong miền bẽn phải điềm này (miền I I ) . T a nói rằng h ạt bị phản xạ bời rào thế và miền I I là m iề n cấm . Nhưng nếu E > V ( x ) với mọi giá trị X như trên hình 3.1c, thì từ âm vô cực hạt giảm hoặc tảng dàn vận tốc phụ thuộc vào thế V(x), rồi tiếp tục chuyển động tới vô cực.
Trong cơ học lượng tử, nghiệm phương trình Schrõdinger cho những kết quả hét sức bất ngờ so vói những gì ta từng gập trong cơ học cổ điển. Khi E > V, h ạt vẫn có thể bị phàn xạ bời rào thế.
Đặc biệt, khi E < V hạt còn có thể xuất hiện trong miền cấm cổ điển (miền I I trên hình 3.1b) với xác suất khác không trên những khoảng cách nhất định tính từ điểm quay lui. Trong trường hợp h ạt bị giam trong giếng thế, năng lượng của nó bị lượng tử hóa mặc dù thế năng
94 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
Hình 3.1: (a) E < V( z ) cả từ hai hướng, (b) E < V( x) từ hướng X < 0, (c) E > V ị x ) cả từ hai hướng.
3.L Tính chất chung của chuyển động một chiều 95 hạt bên trong giếng thế bằng khồng. Toàn bộ chương 3 sẽ dành cho việc minh họa những hiệu ứng đặc sắc này của cơ học lượng tử. •
4. Ta hãy xét dáng điệu của hàm sóng ij){x) trong trường hợp mô tả bời hình 3.1b. Trong miền I (bên trái điềm quay lui cổ điển), ta có E > V( x) . Nếu đặt
k 2(x) = ^ ( E - V ( x ) ] > Q (3.4) thì phương trình (3.1) trờ thành
iỊ)"(x) = - k 2(x)i>(x) (3.5) Như ta biết, dấu dạo hàm bậc hai i>“ (x) cho ta biết tính lồi lõm của đồ thị hàm Ip(x) tại điểm X. Nếu •ệ" (x) > 0 thì đồ thị hàm i/>(x) lõm tại x\ ngược lại nếu lỊ)"(x) < 0 thì đồ thị hàm rp(x) lồi tại X. Vi k 2(x) > 0 trong miền I nên tại đây Ip”(x) < 0 Ở nửa m ặ t phẳng phía trên trục tọa độ và V’ (ĩ) > 0 ở nửa m ặt phảng phía dưới. Do đó đồ thị hàm sóng ĩp(x) sẻ lồi ở nửa m ặt phảng trẽn và lỏm ờ nửa m ật phảng dưới trục tọa độ (hình 3.2). Từ đó ta suy ra rằng khi năng lượng của hạt E > V( x) , phương trình Schrõdinger (3.1) có thề có nghiệm dao động.
Ngược lại, E < v ( x ) trong miền I I nên nếu đặt 9 772
k 2( x ) = Í Ẹ [ V ( x ) - E ) > 0 (3.6) thì phương trình (3.1)'trở thành
ý " ( x ) = k 2(x)iị>(x) (3.7) T ừ đây suy ra trong miền I I rp"(x) > 0 ớ nửa m ặt phẳng phía trên trục tọa độ và i)" (x) < 0 ờ nửa m ặt phảng phía dưới. Do đó đồ thị hàm sóng ĩịi(x) sẽ lõm ở nửa m ặt phảng trên và lồi ờ nửa m ật phẳng dưới trục tọa độ (hình 3.3). Hiển nhiên trong miền I I không thể tồn
96 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
Hình 3.2: (a) Tính lồi lõm của ĩp(x) khi E > V(x); (b) Trong trư ờ rg , hợp này có khả nảng tồn tại nghiệm dao động.
Hình 3.3: (a) Tính lồi lõm của i>(z) khi E < V (z); (b) Trong trường hợp này nghiêm dao động không thể tồn tại.
'3.1. Tính chất chung của chuyển động một chiều 97 tạ i nghiệm dao động; hàm tị}(x) chì có thể biến thiên một cách đơn điệu. Tại điểm quay lui, lị)" = 0 và hàm “ệ(x) có hệ sổ góc không đổi.
Đối với th ế V( í) có dạng cho trên hình 3.4, điều ta chờ đợi là nghiêm phương trình Schrôdinger (3.1) tho ạt đầu dao động rồi tắ t dần khi đi vào miền cấm cổ điển.
Hình 3.4: Dáng điệu của hàm sóng iỊ)(x) ứng vói thế V(x) cho trên hình này. Lưu ý hàm sóng dao động ở miền I và tắ t dần khi đi sâu vào miền I I
5. Trong nhiều bài toán thực tế, thế V(x) thường tiến tới những giỏ trị hữu hạn khi X —ằ ±oo. Để tiện ta chọn gốc tớnh năng lượng sao cho
lim V{x) = Vo > 0, lim V( x ) = 0 (3.8) Sau dây ta lằn lượt xét dạng tiệm cận của hàm sóng trong ba miền giá trị năng lượng của hạt: E < 0 (miền /) , 0 < E < Vo (miền I I ) và E > Vo (miền I I I ) .
(a) Trong miền / , khi X—> 4-00 phương trình Schrõdinger (3.1) có dạng tiệm cận
lị)"(x) — k\(x)ĩj)(x) = 0 với kỵ = ----^2 > 0 (3.9)
98 Chương 3. Chuyển động m ột chiều Trong hai nghiệm riêng độc lập tuỳến tính lị)1,2 = exp (±k\x) của phương trình trên, ta phải loại bò nghiệm thứ nhất vì exp i + h x ) ->
oo khi X -4 +oo. Do đó dạng tiệm cận của hàm sóng tại +oo là i>(x) ~ e~fcjX khi X —ằ +00 (3.10) Cũng trong miền này, khi X —> -o o phương trỡnh Schrửdinger (3.1) có dạng tiệm cận
- kl(x)j)(x) = 0; với kị = - 2m^ 2 ~ ~ > 0 í3-11) Bây giờ, trong hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính rp 1,2= exp ( ±k2x) của phương trình trên, ta phải loại bỏ nghiệm thứ hai vì exp (—k2x) —>
oo khi X —> —oo. Vì thế dạng tiệm cận của hàm sóng tại — oo là ĩ P(x) ~ e+fc2* khi X —^ —oo (3.12) Từ (3.10) và (3.12) ta nhận thấy khi E < 0, hạt không thề ra xa vô cực, nói khác di hạt ở trong trạng thái liên kết. Phổ nàng lượng của h ạt là phổ gián đoạn và do đó khồng suy biến.
(b) Trong miền I I (0 < E < Vb), khi X -> +oo, phương trình Schrửdinger (3.1) cú nghiệm tổng quỏt
Ip(x) = Cieikx + c2e~ihx với k2 = ‘* -Ệ - (3.13) Còn khi X -> — 00, hàm sóng có dạng tiệm cận
Ip(x) ~ eXx (khi X-> —oo) với A2 = —— (3.14) Các công thức (3.13) và (3.14) chứng tỏ xác suất tìm hạt tại - o o bàng không, trong khi tại -f-oo xác suất này khác không. Như vậy với nàng lượng E trong miền / / , chuyển động của h ạt là vô hạn về hướng dương trục tọa độ và hữu hạn về hướng ngược lại. T a nó rằng chuyển động của hạt bĩ chặn từ m ột hướng. Do E > 0 nên trong
3.2. Giếng thế chữ nhật một chiều sẵu vô hạn 99 miền này hạt có phổ nàng lượng liên tục. Ngoài ra, sử dụng (3.14) dễ dàng chứng minh rằng trong trường hợp này các trị riêng năng lượng không bị suy biến2
(c) Cuối cùng, ta xét miền I I I (E > Vo). Trong miền này, phổ nàng lượng của h ạt là phổ liên tục, còn chuyển động của hạt là vô hạn cả về hai phớa trục tọa độ. T h ật vậy, khi I -ằ +oo, phương trỡnh Schrõdinger (3.1) có nghiệm tiệm cận ,
j>(x) = bie*'* + b2e - ik‘x với k '2 = M ^ ^o) (3 1 6 ) Trong (3.15) và (3.16), các nghiệm eikx và tương ứng với hạt chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ. Còn e*~l/c:c và tương ứng với hạt chuyển động theo chiều ngược lại. Lưu ý rằng tấ t cả các nghiệm độc lập tuyến tỉnh trong hai công thức trên đều thỏa những đòi hỏi càn thiết tại vô cực.
Những tính chất chung của chuyền động m ột chiều vừa trình bày ở trên sẽ được thể hiện rất rõ qua những bài toán cụ thề xét trong chương này.
I