2 .7 .1 T ích phân chuyển động và các đ ịn h lý liên quan Trong cơ học lượng tử, đại lượng vật lý A được gọi là tíc h p h â n ch u y ển đ ộ n g hay đ ại lư ợ ng b ảo to à n nếu
oII'31*
1
(2.62) Theo (2.42), điều kiện trên tương đương với
^ + ị [ Ă , i ] = 0 (2.63)
Nếu đại lượng A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, tức là
ÕÀ -
~ ẳ= ° (2.64)
thì điều kiện (2.63) thỏa mãn khi
[ - M = o (2.65)
T ừ đó ta đi đến định lý-
y • -Đíeu kiện đù đê đại lương A là tích phân chuyển _ : . , , . la 710 Không phụ thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán vái Hamiltonian H của hệ
^ s u y ra tri trung bình của tích phân chuyển động không phụ thuộc vào thơi gian
d - ~ỈẦ
d tA ~ dt - ° (2.66)
2.7. Tích phân chuyển động 85 Không những thế, xác su ất P (An) đế đo được giá trị A — A n của tích phân chuyển động cũng không phụ thuộc thời gian. T hật vậy, do A và H giao hoán với nhau nẽn chúng có các hàm riêng chung:
Âộn = A ný n , Ồ ị n = E nị n (2.67) Khai triển hàm sóng Ị?(r, t) bất kỳ theo các hàm riêng của các toán tử này và nhớ rằng chúng chính là hàm sóng của các trạng thái dừng, ta thu dược công thức (2.25). Nếu đặt
Cn{t) = cn (0)exp (2.68)
ta sẽ có
^ ( r . 0 = E c" (i ) ^ " ( r ) (2.69)
n
Biều thức (2.69) cũng đồng thời là khai triển của ^ ( r , t) theo các hàm riêng của A. Do đó xác suất đo được giá trị A = A n trong trạng thái
^ (r , t) bằng bình phương môdun của hệ số tương ứng
P (A n , t) =1 Cn(t) |2 = | c„(0) |2= P (A n) = const (2.70) Bây giờ ta áp dụng những kết luận trên để xác định những tích phân chuyển động của hệ. Để làm việc này, .việc dựa vào tín h đối x ứ ng của hệ là vồ cùng quan trọng. Giả sử ràng hệ bất biến đối với phép biến đổi tọa độ6 X —►X 1được mô tả bời toán tử unita o :
Ô Ỹ{x) = v ự ) (2.71)
Tính bất biến của hệ thể hiện qua việc Hamiltonian của nó không thay đổi trong phép biến đổi nói trên
Ô Ỗ {x) = H ự ) = Ẻ {x ) (2.72)
6Để tiện ta lại dừng chữ X để chĩ tập hợp tất cả các biến tọa độ của hệ
Trong trường hợp này, ta có dịnh lý sau rấ t tiện lợi cho việc tìm các tích phần chuyển động của hệ:
Đ ịn h lý 2: Nếu Hamiltonian H của hệ bốt biến đối với m ột phép biến đổi tọa độ nào đó thì H giao hoán với toán tử của phép
biến đổi này.
Để chứng minh định lý trên, ta lấy toán tử Ỏ của phép biến đổi tọa độ tác dụng lên hàm Ồ (x)Ỹ (x) (với &(x) là hàm sóng tùy ý).
Dùng định nghĩa (2.71) và đieu kiện (2.72), ta có'
ở (£ (* )# (* )) = Ồ{x ,)9{xt) = Ồ{x) (Ô!P(*)) Từ đây suy ra
[ Ô H ( * ) -ỡ (* )Ô ]iP(íb) = 0 (2.73) Vì &(x) là hàm sóng tùy ý nên từ đẳng thức trên có thể kết luận Hamiltonian của hệ giao hoán với toán tử Ở:
[ff,ổ ] = 0 (2.74)
Sau đây ta áp dụng định lý trên đẻ khảo sát một số tích phân chuyển động.
2 .7 .2 Đ ịn h lu ậ t b ả o to à n n ả n g lư ợ n g
Xét m ột h ệ kín, tức là hệ không có tương tác với bên ngoài. Rõ ràng nếu điều kiện ban đầu không đổi, thì mọi chuyền động trong hệ sẽ xảy ra như nhau ở mọi thời diểm, không phụ thuộc vào việc ta chọn thời điểm t nào làm thời điểm ban đầu. Nói khác di, trạng thái của hệ kín bất biến đối với phép dịch chuyển gốc thời gian. Tính chất vô cùng quan trọng này được gọi là tính đồng nhất thời gian m à hệ quả của nó là sự bảo toàn năng lượng của hệ. T hật vậy, do Hamiltonian của hệ kín không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên từ (2.42) ta suy ra
86 Chương 2. Phương trình Schrôdinger
2.7. Tích phân chuyển động 87 M ặt kliác, theo định nghĩa (2.62) thì điều đó có nghĩa nàng lượng là tích phân chuyển động. Ngoài ra như đã chứng minh7, trị trung bình của năng lượng trong trạng thái bất kỳ cũng không phụ thuộc thời
gian: 1
Nói riêng, nếu ờ thời điềm t = 0 nàng lượng nhận giá trị xác định E (hay trạng thái của hệ lúc này là trạng thái dừng), thì E = E = const, nghĩa là giá trị này của nầng lượng vẫn giữ nguyên ở mọi thời điểm sau đó.
Nếu ở thời điểm t = 0 hệ không ở trong trạng thái dừng thì nâng lượng không có giá trị xác định. Tuy nhiên, theo (2.75) thì Ẽ vẫn không đổi theo tíìò*i gÌHỉA. Ngoài ra, dè chứng minh ràng xác suất P (E n) đo được giá trị E n của E cũng không phụ thuộc thời gian.
Vậy: trong m ọi trạng thái, trị trung bình của năng lượng hệ kin E cũng như xác suất P (E n) đo được giá trị xác định En của nó, không đổi theo thời gian. Đây là cách phát biểu định luật bảo toàn nàng lượng dưới dạng tổng quát nhất.
Lưu ỷ rằng định luật trên đúng không chỉ riêng cho hệ kín m à cho cả những hệ chịu tác dụng của trường ngoài không đôi theo thời gian. Trong trường hợp này, trường ngoài không vi phạm tính đồng nhất thời gian và do đó những kết luận trên vẫn đung.
2 .7 .3 Đ ịn h luật bảo to à n x u n g lư ợ n g Xét hạt chuyển động tự do: F = 0. Từ (2.56) suy ra
Vậy xung lượng hạt tự do là tích phân chuyển động.
Bây giờ ta xét hệ kín gồm N hạt tương tác vói nhau. Ngoài tính đồng nhất thời gian, hệ kín còn có hai tính chất đối xứng vô cùng
~~E — 0 = > E = const
dt (2.75)
p = const (2.76)
7Xem công thứ c (2.66).
88 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger quan trong: tính đòng nhất và tinh đẩng hướng của không gian. Hệ quả của hai tính đối xứng này là các định luật" bảo toàn xung lượng và mômen dộng lượng của hệ. Trong 4-2 ta sẽ bàn về định luật bảo toàn mômen động lượng. Sau đây ta nói về định luật bảo toàn xung lượng.
Gọi p là toán tử xung lượng toàn phần của hệ:
p = x > (2.77)
i=1
trong đó pi là toán tử xung lượng của hạt thứ i. Trong chương 1 ta đã chứng minh toán tử dịch chuyền toa đô đối với hê môt hạt có dạng exp ( ¿ a p ; ) . Đối với hệ N hạt, thay cho biểu thức này ta có
T(a) = exp ( ^ a p ) (2.78)
Vì khống gian đong nhất nên Hamiltonian cửa hệ phải bất biến đối với phep dich chuyên tọa độ các hạt trong hệ một doạn tùy ý: Ti —>
Theo định lý 2, Hamiltonian phải giao hoán vói toán tử dịch chuyển tọa độ
[jỹJf (a )] = 0 (2.79)
Thay (2.78) vào (2.79) và nhó rằng toán tử T(a) dược hiểu là T (a) = exp Q a p ) = 1 + ^ a P + ^ ị( ^ a P ) 2 + • • • (2.80) Dễ thấy để thỏa mãn điều kiện (2.79), ta phải có
= 0 (2.81)
Mạt khác, xung lượng các hạt thành phần đều không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên từ (2.77) ta có
dt (2.82)
2.8. Hệ thức bất định giữa nẫng lượng và then gian 89
Từ (2.81) và (2.82) ta suy ra
d P (2.83)
hay xuna ỉươna toàn vhần cùa kê kín là tích phân chuvển ẩôna.