Bằng cách tương tự như đả làm, có thể thiết lập dạng tường minh của các toán tử ứng với những dại lượng vật lý khác nhưng cần lưu ý hai diều sau đây. T hứ nhất, các th í dụ trên cho thấy nếu đại lượng vật lý F nào đó là hàm của tọ a độ và xung lượng: F = F (x ,p ), thì có thể nhận toán tử mô tả F bằng cách thay p bởi p: F = F (xy—iUd/dx).
Tuy nhiên, không thề áp dụng m ột cách máy móc qui tắc này trong mọi trường hợp vì kết quả thu dược có thể sẽ là những toán tử không tự liên hợp, và do đó không sử dụng được trong cơ học lượng tử. Thứ hai, ĩịguyẽn lv t ương ứng chỉ cho ta m ột phương pháp định hưáng để tìm dạng của toán tử mô tả các đại lượng vật lý đã có trong cơ học cổ điển. Như sẽ thấy, trong cơ học lượng tử còn có những đại lượng vật lv hoàn toàn mới, không có trong c ơ học cổ điển. Để thiết lập biểu thức cho các toán tử mô tả các đại lượng này, rõ ràng phải dùng những phương phấp khác15.
1.10 Toán tử xung lượng
Bây giờ ta xét cắc tính chắt của toán tử xung lượng. Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử này định nghĩa bởi các hệ thức (1.108) và (1.109).
1 .1 0 .1 C ác h ệ th ứ c giao hoán Già sử Ip(x,y, z) là hàm sóng của-hệ". T a có
dĩp . d'if) xỷxĩp = x ( - i h Ỵ - ) = - i h x — ,
Px%v = — i n —7: = —iax-~----ihĩp
ox ox 16
16Trong chương 5 sẽ minh họa điều này qua toán tử spin.
•42 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
Lấy dòng trên trừ dòng dưới, ta được:
ịxỷx - pxx)iị) = ihiỊ>
Do Ip là hàm sóng tùy ý nên từ đây suy ra
[x,ỷx] = iĩi (1.123)
Hoàn toàn tương tự, có thể chứng minh
[ỹ,Py] = [z,Pz] = ih (1.124)
Lưu ý rằng các toán tử tác dụng lên những biến số khác nhau bao giờ cũng giao hoán với nhau. Sừ dụng (1.107) và (1.109), ta dễ dàng chứng minh:
[ ¿ ,p y] = [x,pz\ = [ỳ,px] = [ỳ,ỷz) = [z,ỳx\ = [z,Py\ = 0 (1.125)
và
[P®jPy] — 0) [Py>P-z] — 9, [PzjPx] 9 (1.126) T a viết lại các hệ thức giao hoán trên dưới dạng
(1.127)
\pi,ỷj] = 0 (1.128)
trong đó các chi số i , j nhận các giá trị 1,2, 3 tương ứng với các tọa đô X, y, z. Có thể mờ rộng các hệ thức trên cho trường hợp đại lượng p = f ( x , y , z) là m ột hàm bắt kỳ của tọa độ:
[ f j x] = i h ^ - , [.f , p y] = i h [ ỉ , p , ] = i * % (1.129) hoặc dưới dạng véctơ
[/(r )iP] — ihV f(r) (1.130)
1.10. Toán tử xung lượng 43 Trong 1.13 ta sẽ chứng minh rằng diều kiện để hai đại lượng yật lý có thể đồng thời có giá trị xác định là các toán tử mô tả chúng phải giao hoán với nhau. Do dó từ (1.127) suy ra: hình chiếu của tọ a độ và xung lượng trên các trục tọa độ khác nhau có thể đồng thời có giá trị xác định. Nhưng trên cùng m ột trục tọa độ, các đại lượng này không thể đồng thời có giá trị xác định. Nói riêng, hạt không thể tồn tại ờ m ột điểm r xác dịnh trong không gian và đồng thời có xung lượng p xác định.
Về hệ thức (1.127) có hai điềm dáng lưu ý. Thứ nhất, để dẫn ra hệ thức giao hoán cơ bản này, ta đã thừa nhận biểu thức (1.109) của
các toán tử hình chiếu xung lượng trong biểu diễn tọa độ. Ngược lại, nếu thừ a nhận trước ràng các toán tử hình chiếu xung lượng và tọa độ thỏa hệ thức (1.127), ta có thề chứng minh rằng toán tử xung lượng phải có dạng (1.109). T hứ hai, khi chuyển từ biểu dien nạy sang biều diễn khác th: dạng cửa các toán tử sẽ thav đổi16, nhưng dạng của hệ thức giao hoán (1.127) thì không đổi. Hệ thức (1.127)
do w. Heisenberg đưa ra nàm 1925 dưới dạng m a trận và có ý nghĩa vồ cùng quan trọng trong việc xây dựng cơ học lượng tử. Nó được xem như m ột trong những tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử (tiê n d ề 3).
1 .1 0 .2 H à m r iê n g củ a to á n t ử x u n g lư ợ n g
Trước hết ta tìm hàm riêng của toán tử px . Thay toán tử này từ (1.109) vào phương trình trị riêng pxxị) = PxVh ta dược:
- ih - ủ = r A Phương trình này có nghiệm là
TpPx{x) = A e x p (^p * :c) (1.132) (1.131)
T h í dụ trong biểu diễn xung lượng ta có: ỷx = Part X = ihd/dpx•
Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử . 44
với A là hằng số chuẩn hóa. Hàm (1.132) thỏa các điều kiện liên tục và dơn trị. Dế thấy muốn cho hàm này thỏa nốt đỉều kiện hữu hạn với mọi giá trị của biến Xthì tham số px phải là số thực. Vậy phổ trị riêng của ỳx là phô liên tục trải suốt miền
-o o < p x < +oo (1.133) Hệ số A dược xác định từ điều kiện ’’chuẩn hoá” 17
/ằ4-00
7.00 ^ k ( x ) ^ ) d x = S{px - p ’x) (1.134) và bằng A = Vậy hàm riêng của px bằng
= (27Th)-1/2eKP** (1.135)
Hoàn toàn tương tự, ta tìm dược hàm riêng của Py và p z 'Ppy{y) = (2fr/i)~1/2exp ( i ^ y )
Ì>pÁz) = (27Tft)-1/ 2 exp (1.136) Cuối cùng, từ (1.135) - (1.136), ta có hàm riêng của toán tử véctơ xung lượng (1.108)
v-p(r) = (27rfc)-3/2exp ( ị p r ) (1.137) So sánh (1.137) vói (1.9), ta thấy hàm riêng của toán tử xung lượng chính là sóng Broglie. Theo de Broglie, sóng (1.137) mô tả chuyển động của hạt tự do. Trong trạng thái (1.137) hạt có xung lượng p xác định, nhưng tọa độ r của I1Ó lại hoàn toàn bất định. Điều này thể hiện qua việc m ật độ xác suất tìm hạt p(r) = const = (27rTi)-3 tại mọi vị tr i trong không gian.
17D ùng công thức (1.97).
1.10. Toán tử xung lượng 45 Từ (1.108) và (1.117) ta nhận thấy các toán tử xung lượng và động nãng giao hoán với nhâu: [p ,/\ J = 0. Do đó theo định lý về sự giao hoán của các toán tử 18, các toán tử này có hàm riêng chung.
Dễ nghiêm lại.điều này bằng cách thay (1.137) vào phương trình trị riêng của toán tử động nầng: K ý ị r ) ■■■■ (p2/2m )'0(r).
1 .1 0 ,3 T o á n t ử d ịc h c h u y ể n t ọ a đ ô
Xét phép dịch chuyển tọ a độ r của hạt đi một doạn a: r —> r + a.
Toán tử của phép biến đổi này được định nghĩa như sau
T(a)V>(r) = rp(r -f a) (1.138) T a chứng minh rằng toán tử này có thể biểu diễn trực tiếp qua toán tử xung lượng. T hật vậy, thực hiện khai triển Fourier đối với hàm íp(T + a), ta có
ệ ị r + a) = iỊ)(t) + 4 a 2 d2V>(r) 2! ỡr2 + ■ ’ ■ Thay V = ỡ /ổ r = ip /ĩi trong (1.139), ta được:
(1.139)
v>(r + a) = 1 + ^ a p + ^ ( *-ap)2 + • • • V M (1.140) Biểu thức trong ngoặc vuông chính là toán tử Ta cần tìm:
f { a) = exp (1.141)
Vậy toán tử dịch chuyền tọa độ biểu diễn trực tiếp qua toán tử xung lượng. Bởi vậy, toán tử xung lượng (lược gọi là vi tử của phép dịch chuyển tọa độ.
1 8Xem 1.11.
46 Chương 1. Những khái níộni cơ sở của cơ học ỉượng từ