4 .1 .1 B iể u th ứ c to á n t ử m ô m e n đ ộ n g lư ợ n g q u ỹ đ ạo Xét hạt cổ khối lượng 771 và xung lượng p. Gọi r là véctơ bán kính của hạt kẻ từ gốc tọa độ. Trong cơ học cổ điẻn, véctơ mômen động lượng cùng hình chiếu của nó trên các trục tọa độ được định nghĩa như sau (Hình 4.1)
L = r X p (4.1)
L x = y p z - z p y
Ly = zPx - xPz (4.2)
L z= x p y - y p x
Để thu nhận biểu thức cho các toán tử mô tả các đại lượng này, ta chỉ việc thay tọa độ và xung lượng trong các cồng thức trên bời
4.1. Mômen động lượng quỹ đạo 177 các toán tử tọ a độ và xung lượng tương ứng1. Trong h ệ tọ a dô D e s c a rte s , ta có
L = í X p = —iTir X V (4-3)
Ly = zpx - x p z = - i h ị z - ^ - - x Ệ ^ (4.4)
( d d
L z = xpy - ỷpx = -in^ícỷ- - y ị -
Độ lớn của mômen động lượng quỹ đạo L = \/L .L được mô tả bời toán tử bình phương mômen
L 2 = L ị + L ị + L ị (4.5) Lưu ý rằng tấ t cả các toán tử trên đều tuyến tính và tự liên hợp.
Để tìm hàm riêng của các toán tử trên, người ta thường dùng hệ tọa độ cầu (r, 6, ệ) thay cho các tọa độ (z, y, z). Những tọa độ này liên hệ với nhau bời hệ thức
X = r sin 6cos ậ
y = r sin 9 sin <Ị> (4.6) z — T cos 6
trong đó 0 < r < oo, 0 < ớ < 7T, 0 < 0 < 27r (xem hình 4.2). Chuyển sang h ệ tọ a độ cầu, các toán tử L XỈ Ly, L z và L2 có dạng như sau
L x = iĨL Ly — ỈTl
/ Q ỡ \
{ s i n ệ aẽ + c t ỉ e c o s ệ a ĩ )
í ớ d \
( - c o s ^ + c t g í s i n ^
l2 =
(4.7)
^ e m 1.9.
178 Chương 4. Mômen động lương t Ậ
p
X
/ y
Hình 4.2: Các tọ a độ càu (r, ớ, <^) của điểm p vói véctơ bán kính r kẻ từ gốc tọa độ.
Trong hệ tọ a độ càu, các toán tử mômen (4.7) - (4.8) có m ột tính chắt rấ t quan trọng là chúng không chứa biến số r m à chi tác dụng lên các biến số góc 9 và ậ>. Do đó các toán tử này sẽ giao hoán với bất kỳ toán từ nào chỉ tác dụng lẽn r mà không chứa các biến số góc.
Chảng hạn, nếu đại lượng / là hàm của r thì
[ ì x , f(r)} = [ L y , f{r)} = [ í z> / ( r )] = [L2, f{r)} = 0 (4.9) 4 .1 .2 C ác h ệ t h ứ c g ia o h o a tl
Sử dụng hệ thức giao hoán [¿„p,] = ta chứng minh rằng các toán tử hình chiếu mômen thỏa mản những hệ thức sau
và
(4.8)
"hy] — zTlL2
\Lyy L z] — tĩíLx
\ L Z ) — ĩ ĩ i L y
(4.10)
4.2.. Mômen động lượng quỹ đạo 179
T h ật vậy, thay (4.4) vào giao hoán từ dầu tiên ta có
[Lx , Ly] = (ỳpz - zỷy)(zpx - xpz) - (zpx - xpz){(ỳpz - zịy)
- £ p y ( z ỷ z - P z Z ) - ỷ P x { z ỷ z - P z Z )
- i%(xỷy - ỹpx) = Ì%LZ
Hai hệ thức còn lại trong (4.10) chứng minh bằng cách tương tự. Lưu ý ràng có thế thu được hai hệ thức cuối bằng cách hoán vị vòng quanh các thừ a số trong hệ thứ c đàu. C ả ba hệ thức giao hoán trên thường được viết dưới dạng
hoặc
L x L = i7iJj
[¿X, Lj] — ịTi s ^k Lk
(4.11)
(4.12) trong đó £ijk là tenxơ phản đối xứng được định nghĩa như sau. Gọi p là số hoán vị đưa (z, j, k) về tậ p hợp (1,2,3). Khi ấy
&ijk — ^
+1 nếu i j k và p là số chẵn
— 1 nếu i ^ ^ k và p là số lẻ
0 nếu có từ hai chỉ số trở lên trùng nhau
(4.13)
Bây giò ta xét giao hoán tử giữa L x với L 2. Vì L x đương nhiên giao hoắn với chính nó nên từ (4.5) ta có
[LXỈ L 2] — [LX1 Ly] 4- [¿2, Lị]
Dùng (1-62) và hệ thức (4.10) vừa chứng minh, ta viết lại vế phải [Lx, L2] = [Lxi Ly\Ly 4- Ly[LXì Ly] + [LX1 L Z]LZ 4- L Z[LX, L z]
= ih{LzLy 4“ L yLz) lĩiị^LyL z 4“ 2ểf*ỈJy)
= 0
180 Chương 4. Mômen động lượng Hoàn toàn tương tự, có thể chứng minh ràng Ly và ¿2 cũng giao hoán với L 2. Vậy t a có:
[Lx, t * ] = [Ly,Ì>] = [Lz, Ì 2} = 0 (4.14) Người ta thường viết cả ba hệ thức giao hoán trên dưới dạng véctơ
[L,í,2] = 0 (4.15)
Nhấn m ạnh rằng để thu các hệ thức giao hoán (4.10) và (4.14) ta không sử dụng biểu thức tường minh của các toán tử LXì Ly, L z
vìi L2. Do đó, những hệ thức này rất tổng quát và không phụ thuộc ao việc các toán tử trên được viết trong biểu diễn nào. Như sẽ thấy, những hệ thứ c giao hoán này vô cùng quan trọng vì chúng xác định tính chất của mômen.
T ừ (4.10) ta suy ra rằng các hình chiếu L Xì Ly và L z của mômen động lượng quỹ dạo không thể dồng thời nhận giá trị xác định. Trong trạn g thái m à m ột trong ba hình chiếu của mômen (chẳng hạn L z) có giá trị xác định ((A LZ)2 = 0), hai hình chiếu còn lại (Z/x, Ly) sẽ hoàn toàn bất định ((A L X)2 = ( AL y) 2 = oo). Trong hệ thức bất định tổng q uát (1-208), nếu đát A = L Xì B = Ly, c = TlL Z) thì từ đây và hệ thức đàu tiên trong (4.10) ta có:
( Ã L ^ . Ị Ã Ĩ ỹ ỹ > ^ ( I 7 ) 2 (4.16) Đây chính là hệ thức bất định giữa các hình chiếu L x và Ly của mômen động lượng quỹ đạo.
Do toán tử ĩ/2 giao hoán vói cả ba toán tử Lx, Ly, Lznên từng
thành phần của mômen động lượng quỹ đạo có thể đồng thời nhận giá trị xác định cùng vói bình phương của mômen này.
Thay cho hai kết luận trên, ta cũng có thể nó rằng ba toán tử
Lx, Ly, Lzkhông có hàm riêng chung với nhau, nhưng từng toán tử đều có chung hàm riêng với L 2. Rất dễ hình dung điều này nếu mô tả các hàm riêng của L 2 bởi những điểm nàm trên hình tròn lớn (hình
4.1. Mômen động lượng quỹ đạo 181
Trạng thái riêng của cả Ly và L2 Trạng thái riêng của L2
nhưng không phải là trạng thái riêng của LXì Ly hoặc Lz
Hình 4.3: Không gian các trạng thái riêng của L x , L y, L z và L2..
4.3). Còn những điểm nằm tròng mỗi phần của hình tròn nhỏ tương ứng vơi các hàm riêng chung của L2 vói m ột trong ba toán tử hình chiếu mômen. Lưu ý ràng không gian trạng thái riêng của L 2 lớn hơn không gian trạng thái riêng của L XÌ Ly và L z. Tâm hình tròn tương ứng với trạng thái riêng duy n hất chung cho cả ba toán tử hình chiếu mộmen. Trong trạng thái này, cả ba hình chiếu mômen đều có giá trị xác định bằng không (Lx = Ly = Lz = 0).
Cho đến giờ ta xét các hình chiếu LX) Ly và Lz của véctơ mômen động lượng quỹ đạo trên các trục tọa độ X, y và z. Sau này ta cần xét hình chiếu L n của L trên trục n bất kỳ. Nếu véctơ V có các thành phàn (VXì Vyì vz), thì hình chiếu của nó trên trục n=( nXl7i y , nz) sẽ là
Vn = n . v = nxvx+ TiyVy + n zVz (4.17) Cũng bằng cách ấy, ta có thể định nghĩa ba hình chiếu VUì Vvy Vw của véctơ V trong hệ tọa độ bất kỳ với các véctơ đơn vị là u, V, w
182 Chương 4. Mômen động lượng
sao cho w = u X v:
Lu = U.L, L v = V.L, Lw = W.L (4.18) Khi ấy các toán từ tương ứng vói L Uì L Vĩ L w cũng thỏa những hệ thức giao hoán giống (4.10):
[x^tỉ) hỳị — ĩhLw
[LVìLw] = ĩhLu (4.19)
hũị = lhLv
4 .1 .3 M ô m e n đ ộ n g lư ợ n g q u ỹ đ ạo to à n p h ầ n
Xét một hệ kín gồm N hạt. Nếu hạt thứ i có véctơ bán kính Ti và xung lượng p* thì toán tử mômen động lượng quỹ đạo của nó bằng
Li = Ti X p t = —ìTl(tì X V i) (4.20) trong đó Vi là toán tử gradient chỉ tác dụng lên tọa độ hạt thứ i [V = (d/dxị, d/dyi, d/dzì)]. Theo dịnh nghĩa, toán tử mômen động lượng quỹ dạo toàn phần bằng
t = (4-21)
i= 1
Ta biết rằng các toán tử tác dụng lên các biến khác nhau bao giờ cũng giao hoán với nhau. Do đó các toán tử hình chiếu của Li sẽ giao hoán với các toán tử hình chiếu của Lfc (i 7^ Ẵ;). Vì thế ta có
L X L = (Li + L2 -f . .. 4- LjvO X (¿1 -f ¿2 4- . • • -f Ljv)
= Li X Li + L2 X L2 + ... 4- LjvX Liv
= 4- L2 4- ... 4- Ltv)
= ihii (4.22)
4.2. Định luật bảo toàn mồmen động lượng 183 Vậy, các toán tử hình chiếu mômen động lượng quỹ dạo của toàn hệ cũng thỏa những hệ thức giao hoán giống như hệ thức giao hoán giữa các toán tử hình chiếu mômen động lượng quỹ đạo của từng hạt:
[-^XJ hyị —ZĨlLZ
[Ly i L z] = i h L x (4.23)
[¿2, L aj] — zhLy