Thay Hamiltonian H bời biểu thức (1-118), ta viết lại phương trình Schrõdinger dừng (2.21) dưới dạng hiển
h?
A yằ(r) + V(r)i>(r) = Êty(r) (2.30) Nghiệm phương trình (2.30) phụ thuộc dạng cụ thể của thế V (r). Tuy nhiên, không càn cụ thể hóa hàm này ta vẫn có thể suy ra một số đặc điểm chung của nghiệm phương trình trên.
Đ ồi hỏi h ữ u h a n , đ ơ n t r ị và liên tụ c dối vđi h à m riê n g Vì là hàm sóng mô tả trạng thái dừng của hạt, các hàm riêng ĩp(r) của phương trình (2.30) phải h ữ u h ạ n , đ ơ n t r ị và liên tụ c trong toàn không gian.
Tính hữu han l u ố n áp đặt đối với hàm riêng thuộc phổ gián đoạn, trong khi hàm riêng thuộc phổ liên tục lại không thỏa mãn đòi hỏi nà}r. Nhó ràng trong trường hợp đầu đại lượng I ĩỊ){r ) I2 có ý nghĩa m ật độ xác suất tìm hạt, còn trong trường hợp cuối dại lượng 5 ày chỉ cd ý nghĩa xác suất tỉ đối.
Điều kiện đơn tn đươc hiểu theo nghĩa ứng với mỗi điểm r chỉ có một giá trị của hàm *0(r) nếu không xét đến sự sai khác bởi một thừa số pha có môđun bằng một.
Điều kiện liên tục đòi hỏi Ip(r) phải liên tục trong toàn khồng gian. Không nhưngìhế, đạo hàm của hàm sóng theo biến tọa độ cũng phải liên tục trong toàn không gian nếu thế V(r) là một hàm biến
2:4. Tính chất cơ bản của phương trình Schrỏdinger dừng 75
76 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger đổi đều không có điểm kỳ dị. Để chứng minh tính liên tục của đạo ham ham song trong trường hợp này, ta xét chuyển động m ột chiều.
Phương trinh Schrỏdinger (2.30) có dạng đơn giản
+ = 0 (2.31)
Lấy tích phân phương trình trên xung quanh điểm Xo bất kỳ, ta được 1 ±rỊ,>(x )d x = ~ [ E - V { x ) ) i > { x ) d x (2.32)
J x o - e d x ĩl J x o-e
Khi cho e —> 0, tích phân ở vế phải bàng không và ta có
A ệ ' - ^'(*0 + 0) - V ^ o - 0) = 0 (2.33) Do XQ là điểm bất kỳ nên từ (2.33) ta suy ra V,/(®) liên tục vói mọi X.
Tính chất này cũng đúng cho trường hợp không gian hai và ba chiều.
Tuy nhiên, nếu thế v^r) tiến tới vô hạn tại một miền nào đó trong không gian thì không còn liên tục. Vì hạt không thể xuất hiện trong miền vói thế V = 00, nên hàm sóng tại mọi nơi trong miền này phải bằng không. Để cho hàm sóng fỊĩ liên tục, thì trên biên cua miền này, ĩp cũng phải bằng không; còn đạo hàm của hàm sổng thì nổi chung có bước nhảy.
T r ạ n g th á i liên k ế t và k h ố n g liên k ết
Ta nói rằng hạt ở trong t r an g th á i liên k ế t nếu chuyển dồng của^nó chỉ xảy ra trong một miền không gian hạn hẹp xung quanh t ậm lư c. Trong trường hợp ngược lại, ta nói rằng hạt ờ trong tr ạ n g t hỹLÌ k h ô n g liê n k ế t. Theo định nghĩa trên, dễ thấy các trạ n g th a T dừng thuộc phổ gián đoạn của E là những trạng thái liên kết, còn các trạng thái dừng thuộc phổ liên tục là những trạng thái không liên kết. T hật vậy, đối vói các hàm riêng thuộc phổ gián đoạn, tích phân foo ỉ ^ ( r ) I2 giá trị hữu hạn. Điều đó có nghĩa là I ĩfi(r) |2 giảm đủ nhanh khi r —► oo và bằng không tại vồ cực. Nói cách khác, xác
suất tìm hạt ờ xa tâm lực bằng không hay hạt ở trong trạng thái liên kết.
Ngược lại, đối với các hàm riêng thuộc phổ liên tục, tích phân /oo I ý ( r ) I2 đr bị phân kỳ. Điều đó có nghĩa là I ^ (r) |2 giảm quá chậm khi r —> oo, hoặc không bằng khống tại vô cực. Nói cách khác, xác suất tìm hạt ờ xa tâm lực khác không: hạt ỏ’ trong trạng thái không liên kết.
Thông thường, trường lực tác dụng lên hạt giảm về không trên những khoảng cỏch lớn: F —ằ 0 khi r —> oo. Điều đú cú nghĩa là thế V(r) tiến đến giá trị không đổi khi ra xa tâm lực. T a qui ước chọn gốc tính nâng lượng sao cho
lim V (r) = const = 0 (2.34) Vơi qui ư ớ c ấ y , c ổ i h c c h ứ n g m i n h r à n g p h ổ £0IĨ1 c á c t r ị r ỉc n c ; r.ã n e ;
lượng âm (E < 0) là phổ gián đoạn. T h ật vậy, nếu như trạng thái với E < 0 lại thuộc phổ liên tục thì như vừa chứng minh, đây phải là trạng thái không liên kết. Trong trạng thái này, h ạt có thể xuất hiện tại vô cực, nơi mà ảnh hường của trường lực lên hạt có thể bỏ qua và xem như hạt chuyển động tự do. Nhưng khi chuyển động tự do thì năng lượng của hạt chỉ có thề nhận các trị số dương; điều này mâu thuẫn với giả thiết E < 0. Vậy cấc trị riêng E < 0 thuộc về phổ gián đoạn; các trạng thái tương ứng là những trạng thái liên kết.
Ngược lại, các trị riêng E > 0 thuộc về phổ liên tục. Các trạng thái dừng ứng với những trị riêng nàng lượng dương là những trạng thái không liên kết.
T ín h ch ẵn lẻ củ a h à m riẽng^
Trong nhiều trường hợp, thế V (r) khồng thay đổi trong phép nghịch đảo tọa độ r —> —r:
V ( - r ) = V (r) (2.35)
T a nói rằn£ thế V có ẩối xúng gươngỉ còn gốc tọa độ r = 0 là tâm phản xạ. Giả sử ^ (r ) là hàm riêng phương trình (2.30) với trị riêng
2.4. Tính chất cơ bản của phương trình Schrốdinger dừng 77
78 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger tưcmg ứng là E . Khi ấy hàm iK ~ r) cũng là hàm riêng của phương trinh này vói cùng trị riêng E. Nếu trị riêng E không suy biến th ì hai ham riêng ĩp{r) va chỉ c° khác nhau bời một thừa số pha, nghĩa là
Nếu xỊ)(-r) = v>(r )> ta nói trạng thái v>(r) là trạng thái có tính chẵn lẻ dương hay gọi tắ t là trạ n g th á i chẵn. Còn trong trường hợp vằ(-r) = - ^ ( r ) , ta núi trạng thỏi v>(r) là trạng thỏi cú tớnh chẵn lẻ ãm hay gọi tắ t là tr ạ n g th á i lẻ.
Nếu trị riêng E bị suy biến thì các hàm riêng khác nhau nói chung không thỏa (2.36). Tuy nhiên, ta có thể lập các hàm riêng th ỏ a mãn đòi hỏi này theo cách sau. Giả sử hàm riêng t/t(r) không thỏa (2.36).
Vì Ip(r) và Ip(-r) là các hàm riêng độc lập tuyến tính nên các tổ hợp tuyến tính của chúng
1>+(r) = 1>(r) + và V -(r) = V(r) - v>(-r) (2.37) cũng thỏa phương trình (2.30) vói cùng trị riêng E. Dễ thấy iị>+ là hàm chẵn, còn V- là hàm lẻ. Như vậy, khi thế V thỏa (2.35), nghiệm phương trình Schrõdinger dừng (2.301 luồn có tính chẵn lè xác đinh.
Những tính chất cơ bản của phương trình Schrõdinger m à ta vừa phân tích sẽ thể hiện rất rõ qua những thí dụ cụ thể được trình bày trong chương 3 và 6.