104 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
Giếng th ế sâu vô hạn là mô hình lý tường, không tồn tại trong thực tế tuy ràng kết quả thu được trên cơ sờ mô hình này cho phép ta hình dung khá dễ dàng đặc điểm của các hệ lượng tử. Một mô hình thực tế hơn là giếng thế có độ sâu vỏ hữu hạn (hình 3.7). Trong lý thuyết chất rắn, mô hình này có ý nghĩa rấ t quan trọng. Thế nâng v ( x ) của mô hình này có dạng
V( x) = —|Vo| nếu |x| < a
0 nếu |x| > a (3.29)
V{x) Ả
Hình 3.7: Giếng th ế chữ nhật m ột chiều có độ sâu hữu hạn IVoI và bề rộng a.
Như đã phân tích trong 3.1, khi náng lượng E < 0 hạt ờ trong trạng thái liên kết (phổ nảng lượng gián đoạn), còn khi E > 0 thì hạt ờ trong trạng thái không liên kết (phổ nảng lượng liên tục). T a hãy khảo sát các tr ạ n g th á i liên k ế t của hạt trong giếng thế (3.29).
Với mục đích ấy ta cần giải phương trình Schrõdinger
‘ệ í 2 ) + ' ^2' [ ^ - V(x)]V>(a:) = 0 (3.30)
3:3. Giếng thế chữ nhật m ột chiều sẫu hữu hạn 105 cho ba miền 7, 77, 777 và đòi hỏi hàm sóng cũng như đạo hàm của nó phải liên tục tại thành giếng (x = —a và X = a). Ngoài ra, hàm sóng trong miền 7 và 777 phải hữu hạn tại vô cực. Phương trình Schrôdinger và nghiệm của nó trong từng miền như sau:
M iền I (x < —a) và 777 (X > a):
Do đòi hỏi hàm sóng phải hữu hạn tại vô cực, ta đã loại bỏ nghiệm trong miền 7 và nghiệm e+/cx trong miền 777. '
M iền I I (—a < X < a):
Lưu ý rằng biểu thức của các thông sổ fc, K đều chứa náng lượng E và thỏa mãn hệ thức
Từ (3.32) ta suy ra m ột đặc điểm rất quan trọng của các hệ vi mô:
nếu giếng có độ sâu hữu hạn thỉ hạt vẫn có thể thoát ra ngoài. T hật vậy, theo (3.32) x ác suất tìm hạt trong miền 7 và 777 (m iền cấm cổ điển) |^(:c)|2 dx tuy giảm nhanh trong những miền này nhưng vẫn khác không nếu Vo hữu hạn.
Như đã phân tích trong 2-4, hàm sóng và đạo hàm của nó phải liên tục tại các biên X = =ta:
ý " (x) - K21p(x) = 0, K? = 2y rỊ>I (x) = C e +**, * „ ,( * ) = B e - ô
(3.31) (3.32)
(3.33) (3.34)
(3.35)
■ệI { -a ) = iị)n {-à ), = tp'n ( - a )
iM ® ) = 4>ii(a) = ^ 'n Á a) (3.36)
106 Chương 3. Chuyền động một chiều Dễ thấy các điều kiện trên tương đương vói đòi hòi ti số
phải liên tục tại X = Chẳng hạn, tại X — 0,ta co Vir(a) = ^ m (a )
l M a ) 1^„(o) (3.37)
Trước khi áp đặt diều kiện biên lên nghiệm (3.32) và (3.34) ta nhân thây rảng do the V(x} la ham chẵn nên nghiêm phương trình Schròdinger phải có tính chẫn lẻ xác định. Do đó chỉ càn đòi hoi điều kiện liên tục tại một trong hai biên (chẳng hạn tại * = o) là tại biên còn lại (* = - a ) điều kiện liên tục sẽ tự động được,thỏa mãn.'
Trước tiên ta xét các trạng thái chẵn. Thay Ị A cos kx, 0 < X < a
‘4>ix) = I Be"**, X > a (3.38) vào (3.37), ta được
k tg(ka) = K Đối với các trạng thái lẻ, ta cần thay
■é(x\ = 1 D_ s in k x ' 0 < * <
n ) I B e-**, x > a vào (3.37) và thu được
(3.39)
(3.40)
k ctg( k a )---K (3 4;Q
x .T 1:Iìt n/ ta tìm chứa tronS k và * mà Các thông số này lại thỏa (3.39) và (3.41) nên hai hệ thức này chính là các phương trình cho phép xác định các trị riêng nâng lượng trong các trạng thái chẵn và lẻ. R õ rà n g các trị riêng E thỏa các phương trình trên chi có thể nhận những giá trị gián đoạn. Vậy, năng lượng của hạt trong giếng thế sâu hữu hạn cũng bị lượng tử hóa. Nhấn mạnh m ột'lần nưa
3.3: Giếng thế chữ nhật một chiều sầu hữu hạn 107 là ta đi đến kết quả quan trọng này nhổ áp đặt nghiêm phương trình Schrõdinger phải thỏa các điều kiện hữu hạn và liên tục.
Để giải các phương trình siêu việt (3.39) và (3.41), ta đặt
V f = ka và 7Ị = na (3.42)
Nhân hai vế phương trình (3.39) với a, ta được
£ tg £ = V (trạng thái chẵn) (3.43) M ặt khác, từ (3.42) và (3.35) ta có
{’ + , ’ = <ằ(*> + ô* ) = (3.44) Đây la phương trình uườiig tiòiì vơi bán kính 7 trẽn m ặt phảng (<!;, 7/).
Để tìm trị riêng nảng lượng E của các trạng thái chẵn, ta càn vẽ đồ thị của đường (3.43) và đường tròn (3.44) với bán kính 7 cho trước.
Khi ấy giao điểm của những đường này sẽ cho ta cạc trị riêng E càn tìm (xem hình 3.8).
Đối vơi các trạng thái lẻ, từ (3.41) ta có phương trình
v = ctg£ (trạng thái lẻ) (3.45)
Nàng lượng những trạng thái này được xác định từ giao điểm của các đường (3.45) và (3.44). Hình 3.9 minh họa việc xác định E cho một vài trị số của bán kính 7.
T ừ kết quả thu được trên hình 3.8 và 3.9, ta nhận thấy: thứ nhất, các mức năng lượng không bị suy biến (đúng như đã phân tỉch trong 3.1). Thứ hai, số mức năng lượng thu được phụ thuộc vào thông số 7 = (2m a2|Vo|)1^2/^- Khi cố định khối lượng m của hạt, thông số 7 phụ thuộc vào các đặc trưng giếng thế thông qua tích a2|Vo|. Hình 3.8 cho thấy nếu 0 < 7 < 7T thì chỉ có một trạng thái chẵn, còn nếu 7T < 7 < 27T thì có hai trạng thái chãn. Nói chung, ta sê có N+ trạng thái chẵn nếu (AT+ - 1)tt < 7 < N+7T. Mặt khác, hình 3.9 cho thấy nếu 0 < 7 < 7r/2 thì sẽ không có trạng thái lẻ nào cả, trong khi với
108 Chương 3. Chuyển động một chiều
Hình 3.8: Tìm các mức năng lượng của h ạt trong giếng thế chữ nhật sâu hữu hạn bàng phương pháp đồ thị đối với các trạng thái chẵn.
'3.3. Giếng thế chữ nhật m ột chiều sãư hữu hạn 109
Hình 3.9: Tim các mức nàng lượng của hạt trong giếng thế chữ nhật sâu hữu hạn bằng phương pháp đồ thị đối với các trạng thái lẻ.
110 Chương 3. Chuyển động một chiều E
Hình 3.10: Phổ nảng lượng của h ạt trong giếng thế chữ nhật sâu hữu hạn khi thông số 7 nhận một số trị số khác nhau. Các mức E ị và £3 ứng vói những trạng thái chẵn, còn Ẽ2 và £ 4 ứng vơi những trạng thái lẻ.
7ĩ/ 2 < 7 < 37r/2 sẽ có một trạng thái lẻ. Một cách tổng quát, ta sẽ có N - trạng thái lẻ nếu (£■_ - 1/2)7T < 7 < + 1/2)7T. Từ đây ta đi đến kết luận rằng khi thông số 7 tàng thì các mức năng lượng chẵn và lẻ xuất hiện xen kẽ nhau (hình 3.10); tổng số trạng thái liên kết là N nếu (N — 1 )tt < 7 < N7r/2. Trạng thái cơ bản bao giờ cũng là trạng thái chẵn, trạng thái tiếp theo (trạng thái kích thích thứ nhất) là trạng thái lẻ, và cứ xen kẻ nhau như vậy.
Sau khi tìm được các trị riêng năng lượng En, ta có thể thu được các hàm riêng (3.38) cho các trạng thái chẵn và (3.40) cho các trạng thái lẻ. Đồ thị các hàm riêng ĩpn khi thông số 7 = 5 được cho trên hình 3.11. Trị riêng nảng lượng tương ứng với bốn hàm riêng này là: £ i = - 0 ,9 3 IVoi, £2 — -0 ,7 3 |V0|, £3 = -0 ,4 1 IVoi và
£4 = - 0 , 04 IVoI- Từ đồ thị các hàm riêng, ta thấy ĩpi(x) và Tpz(x) là
3.3. Giếng thế chữ nhật một chiều sâu hữu hạn 111
Hình 3.11: Đồ thị các hàm riêng ứng vói bốn mức nâng lượng của hạt trong giếng thế chữ nhật sâu hữu hạn khi 7 = 5.
hàm chẵn, trong khi Ĩp2{x) và Ĩp4(x) là hàm lẻ đúng như ta chờ đợi.5 Ngoài ra, đồ thị hàm ' ệ n ị x ) có (n — 1) giao điểm với trục X đúng như định lý dao động (xem mục 3.1).
Cuối cùng, ta chứng tỏ rằng từ kết quả bài toán giếng thế m ột chiều sâu hữu hạn, có thể trờ về kết quả bài toán giếng thế m ột chiều sâu vô hạn khi cho lo -> oo. So sánh các hình vẽ 3.5 và 3.7, dễ thấy muốn từ giếng thế sâu hữu hạn trờ về giếng thế sâu vô hạn, trong (3.29) ta chỉ càn nâng đáy giếng lên phía trên m ột doạn IVoI rồi cho
Vq tiến tới vô hạn. Khi ắy các thông số k và Av trong (3.31) và (3.33) trở thành
y/2m Ẽ \/2m(\Vo\ — E
k = ~ T ~ ' h (3.46)
5Liru ý ở đây các mức năng lượng E n được đánh số bát đầu từ n — 1.
112 Chương- s. Chuyển động m ột chiều Khi Vq oo, các phương trình (3.43) và (3.45) cho nghiệm
Như vậy, ta trở lại công thức (3.26) quen thuộc trong 3.2 vói L = 2a.
Ngoài ra, khi F0 -> oo th ì K -ỷ oo nên các hàm riêng (3.38) và (3.40) sẽ bàng không bên ngoài giếng th ế và trờ về dạng (3.23) bên trong giếng thế. Những kết quả này hoàn toàn phù hợp với những gì đ i thu được trong mục 3.2.