Giả sử A và 5 là hai đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ. Câu hỏi đặt ra ờ đây là: khi nào thì hai đại lượng này có thể đồng thời nhận giá trị xác định? Nói khác đi, trong những trạng thái nào thì phép đo đồng thời hai đại lượng A và B cho (A A )2 = 0 và (A B)2 = 0?
Trong 1.11, ta đã chứng minh rằng để đại lượng vật lý A có giá trị xác định trong trạng thái ĩị) thì hàm này phải là hàm riêng của toán tử A tương ứng. Vậy để cả A và B dồng thòi nhận giá trị xác định khi do chúng trong trạng thái ĩp thì phải là hàm riêng của cả À và B . Vì thế câu hỏi đật ra ờ trên qua ngôn ngữ toán tử sê là: khi nào thì các toán tử mô tả A và B có hàm riêng chung? Lời giải đáp nằm trong định lý sau.
1 .1 3 .1 Đ ịn h lý v ề sự g ia o h o á n củ a các to á n t ử Định lý này phát biểu như sau:
- Nếu các toán tử Ả và è có chung hệ hàm riêng đầy đủ thì chúng giao hoán vơi nhau.
- N ếu A và è giao hoán vói nhau thi chúng có các hàm riêng chung.
Để chứng minh vế thứ nhất của định lý, ta giả-sử . .. là các hàm riêng chung của À và B ì nghĩa là
À ýn = A ni>nì Êtf>n = Bntpn (1.185) Tác dụng toán tử Ồ lên phương trình thứ nhất, toán tử À lên phương trình thứ hai, rồi trừ các kết quả cho nhau, ta dược
56’ Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
ỒÀỷn = AnBntpn, ẢBtỊ>n = BnAnýn => {ẰỐ - ỒẢ)ĩỊ>n = 0(1.186)
Mặt khác, do {ìpn} là một hệ hàm đày đủ nên ta có thề viết hàm * bất kỳ dưới dạng
1.13. Điều kiện để các đại lượng đồng thời nhận giá trị xác định 57
V> = ^CnV>n (1.187)
n
Tác dụng toán tử (Â B — B Ả ) lên hàm này và lưu ý (1.186), ta có (ĂỐ - B Ả )* = £ c ^ Ả , Ố]*n = 0 (1.188)
n
Đảng thức trên có nghĩa là Ã và Ố giao hoán vói nhau:
[Á, è ) = 0 (1.189)
Tiếp theo ta chứng minh vế th ứ hai của định lý. Giả sử *n là hàm riờng của A ứng với trị riờng A,.. Ta phả? chứng minh Vô cũng là hàm riêng của B , nghĩa là hàm này thỏa phương trình thứ hai trong (1.185) . Theo giả thiết [Â, 5 ] = 0 nên từ phương trình thứ n hất trong (1.185) ta có:
Ẳ (Ỗ* ô) = Ố (Â * n) = A n (Ố *n) (1.190) hay:
Ả<pn = A n<Pn (1.191)
vói
<Pn — È ý n (1.192)
Công thức (1.191) chứng tỏ hàm tpn cũng là hàm riêng của À ứng với trị riêng A n . Đến đây ta xét riêng hai trường hợp:
- Trường hợp trị riêng A n không suy biến: Lúc này ipn và Ipn chi có thể khác nhau bởi m ột hàng số: Ifin = const-Vv, = B nrị)n . Do đó từ (1.192) ta cọ ngay
è * n = Bn* n (1.193)
•58 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử Như vậy, khi trị riêng A n không suy'biến th ì hàm riêng ĩị)n của Ả cũng đồng ‘thời là hàm riêng của Ê.
- Trường hợp trị riêng A n bị suy biến: Giả sử ứng vói trị riêng A n ta có ỉ hàm riêng khác nhau:
a, (3 = 1, 2, . . . / (1.194)
ôCỏc hàm này đều thỏa phương trỡnh
M n c = A n-ệna (1.195)
Không những thế, mọi tổ hợp tuyến tính của các hàm (1.194) cũng là hàm riêng của Ả ứng với trị riêng A„21. Nếu hàm Ipn trong (1.192) là m ột hàm nào đò trong số cạc hàm (1.194), chẳng hạn iị)n = ĩpna, thì vì Biị)na là hàm riêng của Ả, nên:
" 1 Bỷrưx (1.196)
0
Đàng thức trên cho thấy trong trưòmg hợp suy biến, hàm Tpna không còn là hàm riêng của toán tử B nữa.
Đề có được các hàm vừa là hàm riêng của  đồng thời lại là hàm riêng của Ố, người ta làm như sau. Từ các hàm riêng suy biến (1 1 9 4 )
lập tổ hợp tuyến tính:
(1.197) a
với các hệ số ca được xác định từ điều kiện:
= B(p (1.198)
Thay (1.197) vào (1.198), ta được
X ! Caẻýna = B Cpệr# (1.199)
21 Xem đinh lý 2 về các hàm riêng suy biến trong 1.7
1.13. Điều kiện để các đại lượng đồng thời nhận giá trị xác định 59
Với chú ý (1.196), từ (1.199) ta thu được
£ ( S /3 a - BSa0)ca = 0; (*,0 = 1 , 2 , . . . / (1.200) Ot
Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính đối vói các hệ số ca trong (1.197). Điều kiện để hệ phương trình (1.200) có nghiệm khác không là định thức của hệ phải bằng không:
II Bt3a - BSa0 11= 0 (1.201) Giải phương trình (1.201) ta thu được các trị riêng B = B i , B i , . .. Bk ..
của toán tử B . Các hàm riêng tương ứng:
9k = ỵ2Cka^na (1.202) iJỊ.
với các hệ số Ckữ được xác định bằng cách thay trị riêng A = Ak vào hệ (1.200) rồi giải hệ phương trình này.
Các hàm <pk thu được bằng cách trên đây rỏ ràng là ham nêng của A (vì là tổ hợp tuyến tính của các hàm (1.194)), đồng thời lại là hàm riêng của B (vì thỏa phương trình trị riêng (1.198).
Đ iề u k iệ n để các đ ạ i lư ợ n g v ật lý đồng thòri n h ậ n g iá t r ị xác đ ịn h . Trờ lại câu hỏi đặt ra ban đàu, trên cơ sở định lý vừa chứng minh ta có thể kết luận:
Hai đại lượng vật lý A và B có thể đồng thời nhận giá trị xác định nếu các toán tử A và B mồ tả chúng g iao h o á n vái nhau.
Trong trường hợp ngược lại ([i4, B] Ỷ 0), các đại lượng này không thể đồng thời có giá trị xác định. Nói cách khác, phép đo đồng thời các đại lượng vật lý sẽ cho các kết quả chính xác nếu các toán tử mô tả chúng giao hoán với nhau. Nhưng khi điều kiện này không thỏa mãn thì việc đo chính xác đại lượng này sẻ loại trừ khả nảng đồng thời đo chính xác đại lượng kia. Kết luận này có ý nghĩa rất quan trọng đối vơi việc mô tả trạng thái của các hệ trong cơ học lượng tử.
60 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử
1 .1 3 .2 C ách mô tả tr ạ n g th á i h ệ lư ợ n g t ử
Theo tiên đề 1 của cơ hoe lương tử , neu bict ham song ta hoan to an có thể biết dược các tính chất của hệ trong trạng th á i đ ã cho. Nhưng làm th ế nào để xác định hàm sóng ứng vói m ột trạn g th á i cho trước?
T a biết rằng cơ học cổ điển xác định trạng thái của hệ bằng cách cho giá trị của tấ t cả các đại lượng vật lý độc lập, đậc trư ng cho hệ.
Số lượng những đại lượng như vậy bằng hai làn số bậc tự do. T ập hợp những đại lượng này gọi là m ột bộ đằy đủ. Chẳng hạn trạng thái của m ột hạt chuyển động trong không gian ba chiều có thể mô tả bởi bộ đầy đủ gồm X , y , z , p x, py , p z .
Tuy nhiên phương pháp cổ điển này rõ ràng không thể áp dụng đối với các hệ lượng tử bời lẻ trong cơ học lượng tử không phải mọi dại lượng vật lý đều có thể đồng thời nhận giá trị xác định. Nói riêng, không tồn tại trạng thái m à ờ đó X và px có thể đo đồng thời với độ chính xác tùy ý vì các toán tử tương ứng với chúng không giao hoán với nhau. Do đó để mô tả trạng thái của m ột hệ lượng tử, ta phải dùng những đại lượng có thể dồng then nhận giá trị xác định nghĩa là các toán tử tương ứng vói chúng phải giao hoán với nhau. Ngoài ra các đại lượng này phải độc lập với nhau và số lượng chúng bàng số bậc tự do của hệ. Một tập hợp như vậy gọi là m ô t b ộ d ầ y d ủ và cho phép xác định trạng thái của hệ lượng tử. Chảng hạn, đối vdi h ạt chuyển động tự do, ta có thể dùng các bộ đằy đủ sau đây22-
1) Ba hình chiếu xung lượng: Px,Py,pz . Trong trạn g thái này năng lượng E cũng có giá trị xác định, nhưng phụ thuộc vào xung lượng.
2) Năng lượng E , bình phương mômen động lượng L 2 và hình chiếu L z của nó trên trục z tùy ý.
N g u y ê n lý b ổ sung
Khi chọn m ột bộ đày đủ các đại lượng vật lý, vô hình chung ta phải loại bò những đại lượng m à các toán tử của chúng không giao
22T rong các th í dụ này chưa xét tới một bậc tự do nữa là spin
1.14. Hệ thức bất định 61 hoán với các toắn tử của các đại lượng đã chọn (chẳng hạn đã chọn tọa độ thì phải *bỏ xung lượng). Tuy nhiên, những đại lượng không được chọn ở đây lại có thế th a m gia vào m ột bộ đày đủ khác m à ta có thể dùng đề xác định trạn g thái của hệ. Như vậy, khi chọn một bộ đầy nào đó ta m ấ t khả nàng nghiên cứu các hiện tượng vật lý liên quan tới những đại lượng không được chọn. Chẳng hạn, nếu chọn các tọ a độ (z, 2/, z) ta cổ thể xác dịnh được vị trí của diện tử ờ mỗi thời điểm, nhưng sẽ không quan sát được các hiện tượng đặc trưng cho tính sóng của nó. Đây chính là tinh thần của nguyên lý bổ sung đã nói đến trong 1.5.
Cần nhấn m ạnh rằng nguyên lý bổ sung có nguồn gốc là lương tính sóng-hạt của các hệ lượng tử, thể hiện sự thống nhất của hai tính chất đối lập trong cùng m ột đối tượng vật chất. Do đó, sẽ sai lầm nếu cho rằng đối với các hệ vi mô, ta chỉ có thể nghiên cứu được các tính chất này m à khồng thể biết dược những tính chất khác. Khi nói về khả nâng lựa chọn những bọ đày đủ khác nhau để xác dịnh trạng thái của hệ là ta nói tới những phương pháp khác nhau nhàm tiếp cận, nghiên cứu cùng m ột thự c thẻ khách quan. Các phương pháp nghiên cứu này không loại trừ nhau, m à bổ sung cho nhau. T a chỉ có thể có được sự hiểu biết toàn diện và đày đủ về hệ nếu khảo sát nó từ mọi hướrig và bằng mọi phương pháp.