Xét đại lượng vật lý A được mô tả bởi toán tử tuyến tính tư liên hơp À. Theo định nghĩa, trị trung binh của đại lượng này trong trạng thái &(r, i) chuẩn hóa bằng
i>(-r) = ± vằ(r) (2.36)
(2.38)
2.5. Phương trình chuyển động cho toán tử 79 Do cả hàm sóng Ỹ và toán tử Ả nói chung đều có thề phụ thuộc thời gian3, nên trị trung bình của A cũng biến thiên theo thời gian. Ta muốn tìm toán tử mô tả sự biến thiên này. Lấy đạo hàm hai vế (2.38) theo t, ta được
d —— r ÕẢ ĩ {dỸ * . -d & \
ỉ A= I * w * dt+I { ô r Ằ*+*'À*:)d' (2-39)
Sử dụng (2.8), ta viết lại phương trình trên
= Ị + ị j (H *Vm){Ầ ¥)dx - ị j y Ầ Ỗ & d v (2.40) Do H là toán tử tự liên hợp nên:
/ { Ồ * ^ * ) { À ^ ) d v = I { Ả Ỹ ) Ồ * Ỹ * d T = Ị * * Ề Ầ V d T
Nhờ đó ta viết lại (2.40) như sau
( 2 '4 1 )
T a thấy đạo hàm của à theo t bằng trị trung bình của dại lượng được mô tả bời toán tử bên trong ngoặc { ...} . Do đó ta có thể xem toán tử này chính là toán tử mô tả đạo hàm d A /d t của A theo t. Ký hiệu toán tử này là d A /d t, ta có
dẢ _ d i
dt dt Ti (2.42)
Công thức (2.42) là p h ư ơ n g tr ì n h ch u y ên đ ô n g củ a to á n tử . Nó cho ta một qui tấc đơn giản để viết toán tử mô tả sự biến thiên của dại lượng vật lý theo thời gian.
3 Â phụ thuộc vào t như vào một tham số
80 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger
T ừ (2.41) và (2.42) ta suy ra
d — f d Ầ _ . dA .
-pA = / # * - — Ỹ d r = (2.43)
dt J dt dt K
nghĩa là đạo hàm của trị trung binh theo thời gian bằng trị trung bình cùa đạo hàm theo thời gian.
Nếu Ẩ không phụ thuộc thời gian í m ột cách tường minh, các công thức (2.42) và (2.43) trở thành
dẦ i r „ à-]
* = < 2 - 4 4 >
và
dt = i[íU )
Sử dụng định nghĩa (2.42), dế dàng chứng minh i ( ^ )
d d è
~ d t+ ~dt
t ( À n \ - ị Ấ ò ĩ dB
dt = ~ irồ + Ằ-
(2.45)
(2.46) (2.47)
_ _ _ _ _ Ị ( ô ) - ^ +i f c™>
Cac công thưc trên cho thấy có thể lấy đạo hàm tổng và tích các toán từ theo thời gian giống như lấy đạo hàm tổng và tích của các hàm sổ, nhưng nhớ giữ nguyên thứ tự các thừa số.
J 2.6 Định lý Ehrenfest
B õ , g ằ t , tỡm qui Uật biến d ii c ủ , tọa dụ và m lưọng theo thài gian. Do X và ? . dhụ không p h , thuộc tu ta g m inh vào thòi gian, nên theo qui tác (2.44), toán t í àạo hàm cùa cic dạt iưọng n ìy theo t h â gian bảng
d i i dt ĨI dỷx _ i
dt ĨI
(2.48) (2.49)
2.6. Định lý Ehrenfest 81 Những phương trinh này có dạng giống hệt các phương trinh Hamilton trong cơ học cổ điển, và do dó được gọi là các phương trình Hamilton lượng tử. Đối vói hai th à n h phần còn lại của toạ dộ và xung lượng, ta cũng có những phương trình tương tự.
Để tính các giao hoán tử trong các phương trình trên, ta xét trường hợp h ạt chuyển động trong trường lực với Hamiltonian4:
H = d 1j { p l + f % + p l ) + V ( x , y , z \ t ) (2 - 5 0 )
Sử dụng (1-62) và hệ thứ c giao hoán giữa các toán tử hình chiếu của tọ a độ và xung lượng, ta có
[ 6 , * ] = ( ỷ x ị ỷ x , * ] è - [Px, sB]Âb) = ~ p ằ ( 2 .5 1 )
Zm m .
và
[H,Px] = [V(ờ,ớiằz;*)iÂc] = (2-52)
Thay (2.51) và (2.52) vào (2.48) và (2.49), ta thu được những phương trình có dạng rấ t quen thuộc
d i _ p x dỹ_ _ P y dz_ Pz_
Ht ~ m ’ dt ~ m ’ dt m
dỷx dv dỷy _ dv dpz _ dv
dt ~ ~ ~ d x ' dt ~ d y ' dt d z
Nhưng d x/d t chính là toán tử hình chiếu vận tốc trên trục 3', còn
—d v / d x chính là toán tử hình chiếu của lực trên trục X , nên
_ Vx_ p y ỷ z . P
Vx =
m ’ Vy : m ' v z = —m ; V = m
d ỷ x _ F x ,
d ỷ y
= Ẩ , d ỷ z = FZ; d ỏ = F
d t d t d t z’ d t
(2.53) (2.54)
4Đ ể đơn giàn, ta giả sử không có từ trường ngoài
(2.55) (2.56)
82 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger Cấc phương trình trẽn cho thấy mối liên hệ giữa các toán tử vận tốc và xung lượng, giữa các toán tử xung lượng và lực, hoàn toàn tương tự như mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.
Sử dụng công thức (2.45), từ (2.53) và (2.54) ta thu dược d _ dx px
dt dt m (2.57)
< 2 - 5 8 >
Như vậy, trong cơ học lượng tử các trị trung binh của tọ a độ, xung lượng hạt và của lực tác dụng lên nó liên hệ với nhau bởi những hệ thức tương tự như trong cơ học cổ điển. Nói khác đi, trong cơ học lượng tử, trị trung bỉnh của nhũng đại lượng này biến đõi theo thời gian theo qui luật cùa những đại lượng vật lý tương ‘ứng trong cơ học cổ điển. Đó là nội dung địrih lý E h re n fe st (1927).
Cuoi cung, lây đạo hàm hai vế phương trình (2.57) theo t rồi khử đpx/đ t nhơ (2.58), ta thu được một phương trình qùen thuộc nữa
_JỆ
dt2 ~ dx ~ Fx gọi là phương trinh Newton lượng tử.
(2.59)
Sự dụng các phương trinh (2.57) và (2.58), p. Ehrenfest cho thấy có thê hiêu ro môi quan hệ giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử. Giả sử ràng ham song ¿'(r. t) chỉ khác không trong m ột miền không gian rất hẹp m à ờ đo d v /d x có thể coi như một hằng số. Khi ấy phương trình (2.58) cổ dạng5
Ẻ-p = - [ vp* [ Ỹ * ^ iv = -
¿ịFx J dX dx J
8V
dx (2.60)
5Hàm Ịp(r, t) được xem như chuần hóa
2.6. Dinh ly Ehrenfest 83
Trong tru’cmg hửp nay, phtfcmg trinh (2.59) trử thanh
d V ,
m d ^ = ~ ^ = C ° nSt (2’61)
M at lchọc, tri trung binh cỹa toa dử x = J dr
lai chinh lọ to a dử cỹa ” tọ m ” bử sửng. Do do (2.61) la phirong trinh chuyen dửng cỹa tọm bử sửng. NÊu nhu bử sửng khửng bi bien dang theo thoi gian, thi phirong trinh nọy se dỹng cf moi thofi diem vọ ta cd the nửi rang bử sửng chuyln dửng theo cọc dinh luọt cỹa ccf hoc cử diln. Tuy nhien, tren thirc te bử sửng bi bien dang theo thoi gian.
Vi the, phiiong trinh (2.61) chi dỹng trong mot khộng thư'i gian rọt han hep, khi m a dai lircfng d V /d x cửn cử th^ xem nhtf m ot họng so tren be rưng bư sưng. Goi T la khộng thbi gian mọ be rưng bư sưng tọng, chọng han gọp hai lọn. Bcfi ly do vira phọn tich, ta cử the xem T nhir m ửt dai lu’Ong dọc tru’ng cho khọ nọng ọp dỹng ca hoc cử d iln d^ xet chuyen dửng cỹa h a t trong trircmg hcfp nọy.
Sau dọy lọ cọc th i du cỹa Ehrenfest. Nhỹng th i du nọy giỹp ta thọy rử khi nọo cử th i dỹng ca hoc co diln vọ khi nọo khửng.
1. Xet m ửt hat vi mử cử khdi ltrcfng 10” 3 kg, be rửng bử sửng tirong ỹng bọng 10~6 m. Be rửng cỹa bử sửng nọy tọng gọp dửi sau khộng thcfi gian T = 1021 giọy. Trong khộng thcri gian nọy, phuong trinh (2.61) vọn dỹng, nghia lọ tọm bử sửng chuyen dửng theo qui dao co diln. Nửi khọc di, dửi vửi cọc dửi tirgng vi mử, ca hoc cử diln vọn düng.
2. Giọ sỹ h at cử khửi lifcfng m = 1, 7 x 10"27 kg, be rửng bử sửng tiicfng ỹng lọ IO "11 m. Dọy lọ hat vi mử. Luc nọy T = 10~13 giọy, m ưt khộng thưi gian qua ngọn vọ do dư ta khưng the ọp dỹng cf dọy cọc khọi niem vọ dinh luọt cỹa co hoc cử dien.
3. Xet trifcmg hc^ trung gian: m = 10” 15 kg, be rửng bử sửng bọng 10“ 7 cm. Luc nọy T = IO"7 giọy, nghia lọ mửt cọch gọn dỹng ta vọn cử the dỹng co hoc cử diln.
84 Chương 2. Phương trỡnh Schrửdinger Cuối cùng, trưóc khi kết thúc, ta nhấn mạnh lại một lần nữa là các phương trình chuyển động dẫn ra trong mục này được viết cho các toán tử mô tà các đại lượng vật lý, hoặc cho trị trung bình của những dại lượng này, chứ không phải cho chính những đại lượng ấy.