T h é tu ần hoàn
Xét chuyển động của hạt trong một trường tuần hoàn theo không gian. Bài toán này có ý nghĩa thực tiền vô cùng quan trọng trong lý thuyết chất rắn. Những khảo sát dưới đây dành cho hệ m ột chiều, nhưng các kết quả thu được hoàn toàn có thể mờ rộng sang các hệ hai hoặc ba chiều.
Trong tinh thể lý tường, các ion dương sắp xếp m ột cách tr ậ t tự, tuần hoàn tại các nút mạng. Còn các điện tử hóa trị với vai trò hạt tải điên được xem là chuyển động độc lập với nhau trong m ột trường tuần hoàn tạo bởi các ion. Một trường thế như vậy được mỏ tả trên hình 3.12.
Giả sử d là khoảng cách giữa các nủt mạng lân cận (thường gọi d là hầng sô' mạng). Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng nên thế năng V( x) của điện tử là hàm tuần hoàn với chu kỳ d:
7r
£n = n ~ • ' *
M ặt khác, vì £ = ka = (2m E/% 2)l l 2a nên ta suy ra
(3.47)
(3.48)
v ( x ) = V ( x + d) (3.49)
3.4. Thế tuần hoàn. Định ỉý Bloch 113
Hình 3.12: Thế LUUU hón ircng mạng tinh cm cu.
Mô hình đơn giản mang tính chất trên đồng thời phản ánh những đặc tính quan trọng nhất của tinh thể là m ô h ìn h K ro n ig -P e n n e y (hình 3.15). Trong 3.5 ta sẽ khảo sát mô hình này. Còn bây giờ, không cần biết dạng cụ thể của thế V ( x ) ì ta hãy xem tính tuần hoàn của thế này ảrih hưởng như thế nào tói trạng thái củ i điện tử trong mạng.
Lưu ý rằng tại vùng biên (tức bề m ặt) tinh thể, tính tuần hoàn của mạng sẽ bị vi phạm. Để bảo đảm tính đối xứng tịnh tiến cho mạng, người ta giả thiết ràng do số nút mạng N vô cùng lớn nên sự thay đổi của thế v ( x ) tại biên không ảnh hường gì đến trạng thái của các điện tử bên trong mạng. Cũng có thể hình dung lằng vừa rời khỏi m ặt này của tinh thể, điện tử ngay lập tức trờ lại tinh thể ở m ặt đối diện. Cách đơn giản nhất đề thực hiện ý tưởng này là xem mạng một chiều như một vòng tròn khép kín với bán kính r vô cùng lớn so với hàng số mạng d như trên hình 3.13. Điều này giúp cho việc tính toán dễ dàng nhưng không ảnh hường tới kết quả vật lý.
Đ ịn h lý B loch. Hamiltonian của điện tử dẫn trong mạng tinh thể
114 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
Hình 3.13: Mô tả thế tuần hoàn bằng mô hình vòng tròn khép kín.
Các điểm đen trên vòng tròn tương ứng vói các nứt mạng tin h ’thể.
IV > 1, N d 2irr.
m ột chiều có dạng
(3.50) trong đó thế V (x) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn (3.49)
,. . Tr“ớ' *■ Ă Z S * * 1ằ trưcmg”ịmh thề tớt yớ„, dớ„ M c i thể xotn như diên tử chạy*, đọ„6 tự do. Ở gidi h in nky, p i u " g tr ^
Schrửdinger (3.1) cú nghiệm: °
rị}l0)(x ) = A eikx, E {k0) = _ Ể _
2m 2 m (3.51)
trong đó p = hk là xung lượng của điện tử, còn chỉ số (°) bên trên hàm sóng và nảng lượng nhằm lưu ý các đại lượng này thuộc về h ạ t tự do. Lưu ý rằng khi chuyển động tự do, nâng lượng eỊ.°) nhận các giá trị liên tục từ 0 đến oo và hàm sóng là sóng phảng de Broglie.
3.4. Thế tuần hoàn. Định lý Bỉoch 115 Tiếp theo, ta xét chuyển động điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể. Do thế V phụ thuộc Xnên toán tử xung lượng ỷ = - iUd/dx của.điện tử khồng giao hoán vói Hamiltonian (3.50) nữa và vì vậy xung lượng điện tử không được bảo toàn. Trạng thái điện từ lúc này không thể mô tả bởi sổng phẩng de Broglie (3.51) m à chỉ có thề biểu diễn dưới dạng chồng chất của những sổng này với các giá trị k khác nhau.
Để tìm hàm riêng của Hamiltonian (3.50), trước tiên ta nhó lại toán tử dịch chuyển T(d) được định nghĩa như sau:
T ( d ) f ( x ) = f ( x + d) (3.52) Từ tính tuần hoàn của th ế V'(ic), ta suy ra T(d) giao hoán với H:
ẻ } — Cị r?'
Do đó, nếu Ip(x) là hàm riêng của H ứng vói trị riêng E, thì:
H (:f ( d) 4>(x)) = E ( f { d ) tỊ>{x))
nghĩa là hàm T{d) ĩịì{x) = ĩỊ)[x + d) cũng là hàm riêng của H vói cùng trị riêng E. Nếu trị riêng E không suy biến thì hai hàm T(d) i>(x) và ĩp(x) chỉ có thể khầc nhau bời một thừa số:
T{d)xỊ>{x) = \{d)rP(x) (3.54)
Do việc tịnh tiến gốc tọa độ đi một đoạn bất kỳ không làm thay đổi giá trị của tích phân chuẩn hóa f |^(:c)|2 d x ) nên điều kiện chuẩn hóa đối với hàm sóng ý'(x) sẽ không thay đổi trong phép tịnh tiến X —ằ X -f d. T ừ đú suy ra
|A(d)|2 = 1 (3.55)
Ngoài ra, kết quả của hai phép tịnh tiến T(dỵ) và f { d2) rõ ràng phải như kết quả của phép tịnh, tiến T(dỵ + ¿2)- Muốn vậy các trị riêng A(d) của toán tử T(d) phải thỏa mẫn hệ thức
A(di) A(cỉ2) — A(di -h ¿2) (3.56)
116 Chương 3. Chuyển động một chiều
Để thỏa mãn nhimg đòi hỏi trên, A(d) phải có dạng-hàm mũ
A (d) = eikd (3.57)
trong đó k là số thực b ất kỳ có thứ nguyên [m-1] đề tích kd không CÓ thứ nguyên.
Như vậy, do tớnh tuần hoàn của thế nàng V(ổ), hàm súng diện tử phải có dạng:
iỊ>(x + d) = eikd v>(*) ' (3.58) Công thức (3.58) là đ ịn h lý B loch6, phát biểu như sau:
Với mọi hàm riêng Ip(z) của Hamiltonian (3.50), luôn tòn tại giá trị k sao cho khi tịnh tiến mạng m ột đoạn d thi hàm sóng này được nhân với thừa sô' pha eikd.
Có thể gắn mỗi hàm sóng của điện tử trong mạng tinh thể vói một thông số k. Thông số này có ý nghĩa tương tự số sóng. T a nhận thấy ràng ngay cả khi điện tử chuyền động tự do (lúc này thế V{x) = const = 0 cũng tuần hoàri mọi nơi), thì hàm sóng (3.51) của nó cũng thỏa định lý Bloch (3.58).
Trong trường hợp tổng quát, định lý Bloch dược thỏa mãn nếu hàm sóng điện tử có dạng:
M x) = uk( x ) e ikx (3.59)
trong đó Ufc(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ bàng hằng sổ mạng
u kịx + d) =j i k( x) (3.60)
T hật vậy. từ (3.59) và (3.60) ta có
i>k(x + d) = U k ( x + d) ert(*+<i) = Ufc(z) eikt è kd = i>k (x) eikd Hàm sống có dạng (3.59) gọi là h à m B loch. Như thế, có thể ph át biểu định lý Bloch như sau: hàm sóng điện tử trong trường
6F. Bloch, z. Physik 52 (1928).
3.4:. Thế tuần hoằn. Định lý Bloch 117 tuần hoàn là hàm Bloch. Nó có dạng tích của sóng phẳng exp(zfcz) với hàm tuần hoàn Uk(x). Thừa số thứ hai này có tác dụng biến điệu sóng phảng theo chu kỳ mạng tinh thể.
Lưu ý ràng tuy cả hai thừa số Uk{x) và exp (ikx) đều là hàm tuần hoàn, nhưng nói chung tích của chúng không nhất thiết là hàm tuần hoàn. Tích hai hàm này chỉ tuần hoàn khi chu kỳ d của V'(x) thông ước với chu kỳ 2tt/ k của hàm exp (ikx)ì nghĩa là khi tỷ số 2tt/ kd là số hữu tỷ.
Thêm m ột điểm nữa càn lưu ý là với mọi giá trị &, hàm ý thỏa (3.58) luôn là hàm riêng của toán tử T(d). Nhưng khi ĩỊ) đồng thời là hàm riêng của Hamiltonian H thì các giá trị k nhận không thề tùy ý.
Chẩng hạn, hàm riêng của H với thế tuần hoàn được mô phỏng trên hình 3,13 có tính chất
Thay hàm này vào (3.58), ta được
exp (tÄATd) = 1 = > k N d = 2mr (n = 0, ±1, ± 2 ,...) (3.62) Từ đây suy ra các giá trị khả dĩ của k lập thành một phổ gián doạn:
với L = N d là chiều dài mạng. Tuy nhiên, vì N vô cùng lớn (N ~ 1023/cm 3) nên khoảng cách giữa các giá trị kề nhau của k rất nhỏ và phổ trị riêng của k hàu như liên tục (xem hình 3.14).
Ta nhận thấy với các giá trị k cho bời (3.63), tỉ số 2rt/kd = N / n là số hữu tỉ. Vậy, đối với thế V( x) mô phỏng bởi mô hình vòng tròn kín trên hình 3.13, hàm riêng (3.59) của H là hàm tuần hoàn. Hiển nhiên diều này cũng đúng nếu giả thiết rằng tinh thể có kích thước vô hạn.
Khi chuyển động tự do, hàm sóng điện tử có dạng sóng phảng (3.51). Toán tử tịnh tiến f ( d ) được biểu diễn qua toán tử xung
Ip(x) = xp(x + Nd) (3.61)
(3.63)
118 Chương 3. Chuyển động m ột chiều kd/2w
11 = 0,1,2,..., 10
kdỊl*
= 1
= ||§ B ||E
N= 50 /1 = 0,1,2,... ,50
/Y = 1000 (1 = 0, 1,2, . . . , 1000
Hình 3.14: Pho trị riêng của k khi thế V(z) mô phỏng bởi mô hình đương tron khep kin. Khi N 3> l,.phổ trờ nên hầu như liên tục lượng P của điện tử bởi công thức T(đ) = exp (iỷd/h). Khi dịch chuyển điện tử một đoạn d, hàm sóng của nó trờ thành
i}>k(x + d) = T{d) 'ộki*) = exp (jTĨ>d) ìp(x) (3.64) trong đó p = %k là xung lượng của điện tử tự do.
So sánh (3.58) vói (3.64), ta thấy trong tinh thể,'dại lượng fc đóng vai trò tương tự như đại lượng p / h của điện tử tự do. Vì thế, trong tinh thể đại lượng hk được gọi là 'g iả x u n g lư ợ n g hay c h u ẩ n x u n g lư ơ n g (quasi-momentum). Ý nghĩa của giả xung lượng là ờ chỗ nó xác đĩnh thừ a số pha trong (3.58) khi ta thực hiện phép dịch chuyển mang.
Mặc dù vậy, giữa xung lượng và gia xung lượng có sự khác nhau.
Trươc het, trong tinh the già xung lượng không được bảo toàn (vì Hamiltonian (3.50) chứa thế v(x) nên không giao hoán với toán tử xung lượng p)-
3.4. Thế tuần hoàn. Định ỉý Bloch 119 Kim loại 771* ¡ m
Li 2,2
Na 1,3
A1 1,5
Cu 1,4
Mg 1,3
Pb 2,0
Bảng 3.1: Khối lượng hiệu dụng của điện tử.
Có thể chứng minh rằng7 vận tốc trung bình của điện tử trong trạng thái mô tả bời hàm riêng của Hamiltonian (3.50) bằng
dE{k)
d(hk) (3.65)
trong đó E(k) là trị riêng náng lượng tương ứng. Hệ thức này có dạng rất giống hệ thức V = dE /dp của cơ học cổ điển.
Nếu điện tử trong mạng tinh thể chịu tác dụng bởi m ột ngoại lực F thì gia tốc của nó sê là F/m * chứ không phải F / m với TO* là k h ố i lư ợ n g h iệ u d ụ n g . Khối lượng hiệu dụng m* có thể nhỏ hoặc lớn hơn khối lượng m của điện từ tự do. Bàng 3.1 cho biết khối lượng hiệu dụng của điện tử trong một số kim loại. T a nhận thấy trong những kim loại này TO*/to > 1. Điều đó chứng tỏ do tương tác với trường tinh thể, quán tính của điện tử trong những kim loại này lớn hơn so với khi nó ở trạng thái tự do. Trong mạng m ột chiều, khối lượng hiệu dụng được xác định bởi công thức:
TO* = — ¿T---- (3-66)
d 2E / d k2 v ’
7Xem L. D Landau and E. M. Lifshitz, Q uantum M echanics, Addison-W esley, Reading, M ass., 1965.
120 Chương 3. Chuyểị1động m ột chiều