trước khi điện trường ngoài tác dụng, bây giờ bề rộng giếng thế giảm đi. Nhờ đó điện tử có thể thoát ra khỏi kim loại nhờ hiệu ứng đường ngầm.
Đối với điện tử ờ mức năng lượng cao nhất, ta có E = Ef = Vq — w . Điểm quay lui Xỵ được xác định từ V ( x i ) = Vo~ e£x\ = Vb - W.
Từ đó ta có X2 = w/e£. Còn điểm quay lui thứ hai nằm tại bề m ật kim loại nên X2 = 0.
Ta hãy tính hệ số truyền qua T theo công thức tổng quát (3.200).
Do V(íc) — E = w — e£x nên từ công thức trên, ta có
T = To exp Ị - 1 J w/e£ yj2m{W - e£x) d xI (3.204) Có thề tính dễ dàng tích phân trong (3.204) bằng cách đổi biến số X—> y — e 8 x / W . Nhờ đó ta tìm được
m m í 4 (2m)1/2Mr3/2ì
r = ĩ i e x p ( 3 - J ĩ u \ <3' 205>
Do m ật độ dòng điện j tỉ lệ với T nên
( 4 (2m )1/ 2IV3/ 2 1
i = k exp Ị - I --- ^ --- 1 (3.206) Công thức trên gọi là công thĩíc Fowler-Nordheim và phù hợp rấ t tố t với thực nghiệm.
3.10 Sự phân rã alpha
Thực nghiệm cho thấy hạt nhân nguyên tử của m ột số nguyên tố nàng cổ thể tự phổng xạ hạt alpha và biến đổi thành hạt nhân khác.
Nâng lượng E được giải phóng trong quá trình này khoảng từ 4 đến 10 MeV, nhưng chu kỳ bán rã lại phụ thuộc rất mạnh vào E và có thế biến thiên từ hàng tỉ nảm cho tới chưa đến 1 micrô giây. Năng lượng E càng lớn thì chu kỳ bán rã càng ngán và ngược lại.
1 6 8 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
Hình 3.37: Thế nâng v(r) của hạt alpha bên trong và ngoài hạt nhân:
mẹ. R và R c là các điểm quay lui cổ điển.
Hiện tượng phân rã alpha của hạt nhân nguyên tử chỉ có thể giải thích dựa trên cơ học lượng tử. Năm 1928, G. Gamov và độc lập với
g, hai nhà vật lý R. w. Gurney và E. u. Condon, đã đưa ra lý
uyết phân rã alpha trên cơ sở hiệu ứng đường ngầm. Dưới đây, ta rình bày lý thuyết này.
Lý thuyết phân rã alpha xuất phát từ giả thiết liên quan tói thế năng V{r) của hạt alpha bẽn trong và ngoài hạt nhân. Gọi R là bán 1'inh hạt nhân. Bên trong hạt nhân (r < R), hạt alpha chịu tác dụng của lực hút từ phía hạt nhân mẹ. Lực này rất mạnh nhưng chi đáng kể trên những khoảng cách rất nhỏ, cơ kích thước hạt nhân. Để đơn giản người ta giả sử ràng có thể mô tả định tính thế V(r) bên trong hạt nhân mẹ bởi mô hình giếng thế chữ nhật có độ sâu v0(Hình 3.37).
Bên ngoài hạt nhân mẹ (r > i ỉ ) } có thể bỏ qua lực hut từ phía hạt nhân mẹ. Tại đây h ạt alpha chịu tác dụng của lực đẩy Coulomb từ phía hạt nhân con. Nếu Ze là điện tích hạt nhân mẹ, Z\e là điện tích hạt nhân con {Z = Z\ -f 2), thì theo định luật Coulomb thế nàng
3.10. Sự phẫn rẫ alpha 169
tương tác giữa hạt alpha và hạt nhân con bằng13
V(r) = 'ìĩlẾ L (r > R) (3.207) r
Với những giả thiết trên, ta có thể mô tả thế V{r) như trên hình 3.37. Dễ thấy, muốn thoát khỏi hạt nhân mẹ, hạt alpha phải vượt qua rào thế, điều không thể nào xảy ra được nếu xét theo quan điểm cơ học cổ điển, nhưng lại hoàn toàn có thể giải thích được nếu dựa vào hiệu ứng đưcmg ngầm.
Đề giải thích một cách định lượng hiện tượng phân rã alpha, trước tiên, ta ước lượng bề rộng rào thế d = R c — R. Gọi A là sổ khối của hạt nhân mẹ. Bán kính hạt nhân có thể tính gàn đúng bởi công thức
R = r0 A i/S (3.208)
trong đó r0 = 1, lfm (lfm = 1 0“ 15m). Chẳng hạn, hạt nhân 204Po có số khối A = 204 nên bán kính R ~ 6, 5 fm.
Điềm quay lui thứ hai r = R c trên hình 3.37 xác định từ phương trình E = V ( R C). Từ (3.207) ta có
Rc = (3.209)
Đối vói h ạt nhân 204Po, z = 84 nên Z\ — 82, còn năng lượng hạt alpha phóng thích trong quá trình phân rã hạt nhân này bằng E ~ 5,4 eV.
Thay vào công thức trên, ta được
2 X 82 X (1,6)2 X 10~38 c _ 4ttX 8,9 X 1 0 -12 X 5,4 X 1,6 X 10~13 m
~ 4,3 X 10-14 m = 43 fm (3.210)
Như vậy, trong trường hợp hạt nhân 204Po, rào thế có bề rộng d = Rc R — 36, 5 fm còn tỉ số R / R c £3 0,15 < 1. Nói chung, nàng lượng
13Biểu thức (3.207) viết trong hệ CGS. Trong hệ SI: v^ r) = 2Zi e2/(47T£o )r.
170. Chương 3. Chuyển động một chiều hạt alpha biến thiên trong khoảng 4 đến 10 Mev, con Z\ cũng như R của các h ạt nhân nặng không khác nhau nhiều. Do đó tỉ số R / R c nói chung nhỏ hơn nhiều so vói 1.
Bây giờ ta càn tính hệ số xuyên rào T. Sử dụng công thức (3.200) với biến Xthay bời r, m thay bời khối lượng h ạt alpha M , ta có
T = To e-2 A (3.211)
(3'212>
Dùng (3.209), ta viết lại A dưới dạng
Tích phân ờ vế phải có thể tính chính xác và cho kết quả
Đ ật X— ( R / R ey-/2. Vì X< 1 nên có thể lấy gần đúng arccosx =
tt/ 2 - X + 0 { x3). Do đó từ (3.214) ta có A ~ AM z lé* Rc
h2
1/2-
(3.215) Viết R c trong công thức trên qua E nhờ (3.209). Sau đó thay kết quả thu được vào (3.211), ta thu được biểu thức sau đây cho hệ số xuyên rào thế
T =í To exp 27^! e2 n
Ợ M _ Ỵ Ỉ 2
+ ị (Zie2M R ) 1/2 Đặt
c _ ^ l £ _ ( 2 i W ) 1/2, D = ị ( Zie2M R ) l/2
ĨI 7i
(3.216)
(3.217)
• 3.10. Sự phấn rã alpha 171
ta thu được sự phụ thuộc của T vào E
T ~ Tq exp (3.218)
Ký hiệu điện tích hạt alpha là z<ie (Zỹằ = 2) và viết năng lượng hạt này dưới dạng E = M v2/2 với V là vận tốc của nó trên những khoảng cách xa h ạt nhân. T a có thể viết lại biếu thức (3.216) dưới dạng
Thừa số này đóng vai trò thừa số chắn, ngản cản h ạt alpha thoát khỏi hạt nhân.
Biết hệ số xuyên rào T [công thức (3.218)], bây giờ ta tính thòi gian sống T của h ạt nhân mẹ. Như đã phân tích, có thể mô tả h ạt nhân mẹ bởi mô hình giếng thế. Bên trong giếng, hạt alpha chuyền động qua lại giữa các thành giếng trước khi nó thoát ra khỏi hạt nhân sau hàng loạt va đập vào thành giếng. Xác suất để hạt alpha thoát khỏi hạt nhân bằng hệ số xuyên rào T . Do đó số va đập vào thành giếng đủ để hạt này thoát ra ngoài tỉ lệ với T - 1 . Một cách gàn đúng, khoảng thời gian A t giữa hai lần va đập liên tiếp bằng đường kính hạt nhân (2i?) chia cho vận tốc V của hạt alpha bên trong giếng. Ta giả thiết rằng V cũng bàng vận tốc (2E / M ) 1/ 2 của hạt này sau khi th oát ra ngoài. Khi ấy có thể tính gàn đúng thời gian sống Tbởi công thức
(3.219) trong đó Tq gọi là thừa s ố Caraos
m m 2ĩrZiZ2e2
Tg = T0 e x p ---ị -----
ĨLV (3.220)
A t
T (3.221)
172 Chương 3. Chuyển động m ột chiều
trong đó
(3.222) Từ (3.218) và (3.221) ta có
In r ~ ln At + —= - D V E
(3.223) trong đó ta đã lấy gàn đúng To ~ 1, còn c và D là các hằng số dương được định nghĩa bởi (3.217).
T a thử ước lượng giá trị At, c và D cho trường hợp hạt nhân 204Po. Nâng lượng của hạt alpha thoát ra trong quá trình phân rã hạt nhân này bằng E ~ 5,4 MeV nên V ~ 1,6 X 107 m /s. Ở trên ta đã tính được bán kính hạt nhân này R ~ 6,5 fm nên từ (3.222) ta ọó A t ~ 8 x 10-22 s. Từ (3.217) ta tìm dược ớ ~ 141 và D ~ 30. Thay các giá trị A t, c và D vừa tính được vào (3.223) và qui ước viết E theo đơn vị MeV, ta thu được
phụ thuộc vào nàng lượng E, nhưng vì phụ thuộc theo qui luật hàm loga nên yếu hơn nhiều so với sự phụ thuộc của số hạng đàu tiên vào E. Nói cách khác, thời gian sống T của hạt nhân 204Po phụ thuộc vào E chù yếu qua số hạng C E ~ 1/ 2. Về phần mình, số hạng này hoàn toàn phụ thuộc vào khả năng xuyên rào thế của hạt alpha. Điều này quả là may mắn vì để tính At, ta đã sử dụng một mô hình khá thô thiển.
Kết quả trên không chỉ đúng cho hạt nhân 204Po mà còn đúng cho các hạt nhân khác. Thời gian sống r của hạt nhân phụ thuộc vào năng lượng E của hạt alpha theo qui luật
ln r = - y L - Cỉ
VẼ (3.225)
3.10. Sự phân rã aỉpha 173
Hình 3.38: Sự phụ thuộc của T vào E. Những vòng tròn nhò là các điểm do từ thực nghiệm. Đường thẳng diên tả công thức lý thuyết.
trong đó các hằng số C\ và Ci cố giá trị gần vói các hằng số tương ứng trong (3.224).
Lý thuyết phân rã alpha vừa trình bày cho kết quả phù hợp rất tố t với thực nghiệm (Hình 3.38). T a nhận thấy r thay đổi trong khoảng thời gian vô cùng lớn: từ 3 X 10_7giây đối với 212Po đến 4, 5 X 109năm đối với 238u.
C hương 4
Mômen động lượng
ômen động lượng là khái niệm rấ t quan trọng của cơ học cổ điền khi mô tả chuyền động quay của các vật thể trong không gian. Đối với hệ kín và những hệ có đối xứng cầu, mômen động lượng là đại lượng bảo toàn. Tính chất này vô cùng quan trọng khi nghiên cứu chuyển động quay.
Trong cơ học lượng tử, mômen động lượng cũng có ý nghĩa rất lớn, nhưng như ta sê thấy, khái niệm này còn rộng hơn, sâu sắc hơn khái niệm mômen động lượng của cơ học cổ điển. Ngoài mômen động lượng quỹ dạo, các hạt vi mô còn cổ mômen động lượng riêng gọi là spỉn và là đặc trưng nội tại của những h ạt này m à trong cơ học cổ điển không có m ột đại lượng nào tương tự.
T a bắt đầu chương này bằng việc nghiên cứu tính chất của mômen động lượng quỹ đạo và mối quan hệ của nó với phép quay. Kế đó sẽ khảo sát hàm riêng và trị riêng của mômen động lượng quỹ đạo. Phần còn lại của chương này (từ 4.6 đến 4.8) sẽ trình bày hình thức luận mômen động lượng dưới dạng tổng quát nhất, áp dụng được cho bất kỳ đại lượng vật lý nào mang tính mômen. Những kết quả tổng quát này sê được áp dụng trong chương sau khi khảo sát spin cùng các tính chất của nó.
Để tiện, bắt đầu từ đây ta qui ước dùng th u ật ngữ mômen quỹ đạo (ký hiệu là L) để chỉ các mồmen động lượng c<5 ”bản sao” tương tự trong cơ học cổ điền và dùng th u ật ngữ spin (ký hiệu là s) để chỉ
các mômen động lượng riêng mà ”bản sao” tương tự hoàn toàn không có trong cơ học cổ điển. Ký hiệu J sẽ dùng cho cả mômen động lượng
175
176 Chương 4. Mõmen động lượng
Hình 4.1: Mômen động lượng quỹ đạo.
quĩ đạo và spin cũng như cho mômen toàn phần L + s.