Các đặc trưng của dòng chảy

5.3. ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA QUÁ TRÌNH DÒNG CHẢY

5.3.2. Các đặc trưng của dòng chảy

Để đánh giá lượng dòng chảy và khả năng cấp nước của một lưu vực sông, người ta sử dụng các đặc trưng biểu thị dòng chảy. Thường các đặc trưng của dòng chảy được đánh giá tại một mặt cắt xác định nào đó của sông suối, gọi là mặt cắt nghiên cứu. Đặc trưng của dòng chảy cũng được phân ra hai loại, loại đặc trưng theo thứ tự thời gian, và loại đặc trưng xác suất. Dưới đây là các đặc trưng đó.

(1) Đặc trưng theo thứ tự thời gian của dòng chảy

(a) Lưu lượng dòng chảy (Q): Là lượng nước chảy qua một mặt cắt trong một đơn vị thời gian. Đơn vị đo lưu lượng hay dùng nhất (trong Hệ mét) là m3/s. Lưu lượng tại một thời điểm bất kỳ gọi là lưu lượng tức thời của dòng chảy tại mặt cắt đó.

Lưu lượng tức thời của dòng chảy tại một mắt cắt thay đổi theo thời gian. Quan hệ giữa lưu lượng dòng chảy theo thời gian được gọi là Quá trình lưu lượng. Quá trình lưu lượng Q(t) = f(t) biểu diễn dưới dạng đồ thị được gọi là đường quá trình lưu lượng dòng chảy.

Lưu lượng bình quân trong một khoảng thời gian T được ký hiệu là Qtb và được tính theo công thức sau:

T tb

0

Q 1 Q(t) dt

= T ∫ (5.15)

hoặc: tb n i

i 1

Q 1 Q

n =

= ∑ (5.16)

Công thức (5.16) rất hay được sử dụng trong thực tế, trong đó: n là số thời đoạn quan trắc, Qi là lưu lượng bình quân trong thời đoạn thứ i.

(b) Tổng lượng dòng chảy (W): Là thể tích nước chảy qua mặt cắt trong khoảng thời gian T từ t1 đến t2 nào đó. Đơn vị đo tổng lượng dòng chảy thường là m3, triệu m3 hoặc tỷ m3.

2

1

t t

W = ∫Q(t) dt (5.17)

hoặc: W = Q (ttb 2 − t )1 (5.18)

(c) Độ sâu dòng chảy (Y): Nếu trải đều tổng lượng dòng chảy W trên diện tích lưu vực ứng với mặt cắt nghiên cứu, sẽ được một lớp nước có chiều dầy Y (thường tính bằng mm). Độ sâu dòng chảy còn gọi là Lớp dòng chảy.

lv

Y W

= F (5.19)

(d) Mô đun dòng chảy (M): Là tỷ số giữa lưu lượng dòng chảy chia cho diện tích lưu vực tương ứng. Đơn vị thường dùng là l/s/km2 hoặc m3/s/km2.

tb lv

M Q

= F (5.20)

(e) Hệ số dòng chảy (α): Là tỷ số giữa độ sâu dòng chảy và lớp nước mưa tương ứng sinh ra trong thời gian T.

Y

α = X (5.21)

Các đặc trưng tương đối Y và M phản ánh mức độ dồi dào về nguồn nước mặt của lưu vực, trong khi hệ số dòng chảy α phản ánh mức độ tổn thất trong quá trình hình thành dòng chảy mặt từ mưa.

(2) Đặc trưng theo xác suất của dòng chảy

Nếu coi dòng chảy mang tính ngẫu nhiên thì có thể sử dụng phương pháp xác suất và thống kê toán học để nghiên cứu dòng chảy và quá trình dòng chảy. Trước khi đề cập đến các đặc trưng của dòng chảy theo tính xác suất, chúng ta nhắc lại một số khái niệm đã được nghiên cứu kỹ trong môn học thủy văn và thủy văn công trình.

♦ Đại lượng ngẫu nhiên: "đại lượng ngẫu nhiên" hay "sự kiện ngẫu nhiên" hay

"biến cố ngẫu nhiên" là những cách gọi khác nhau để chỉ một đại lượng mà trong kết quả thí nghiệm (phép thử) nó có thể xuất hiện giá trị cụ thể nào đó mang tính ngẫu nhiên không thể biết trước một cách chắc chắn được. Người ta hay ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên bằng các chữ viết hoa như: X, Y, Z,... còn giá trị cụ thể của đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu là những chữ nhỏ tương ứng kèm theo chỉ số:

x1, x2,...; y1, y2,...; z1, z2,... Đại lượng ngẫu nhiên có thể là liên tục hoặc rời rạc.

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị liên tục trong miền có khả năng xuất hiện của nó. Ngược lại, đại lượng ngẫu nhiên rời rạc lại chỉ nhận các giá trị rời rạc (thí dụ khả năng xuất hiện khi tung con súc sắc là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, nó chỉ nhận một trong các giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong mỗi lần gieo súc sắc). Lưu lượng, mực nước sông tại một mặt cắt nào đó có thể xem là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, trong khi lưu lượng bình quân thời đoạn lại được coi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

♦ Xác suất: Xác suất là số đo khả năng xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên. Xác suất cao thì đại lượng ngẫu nhiên đó có khả năng xuất hiện nhiều và ngược lại. Xác xuất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên X thường được ký hiệu là P(x) và nhận các giá trị trong khoảng 0 ≤ P (X) ≤ 1.

♦ Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên: Quan hệ giữa các giá trị của một đại lượng ngẫu nhiên với xác suất xuất hiện của chúng được gọi là luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó. Luật phân phối xác suất được biểu thị dưới dạng bảng được gọi là bảng phân phối xác suất. Luật phân phối xác xuất được biểu thị dưới dạng đồ thị được gọi là đường phân phối xác suất. Luật phân phối xác suất viết dưới dạng hàm số được gọi là hàm phân phối xác suất. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X được ký hiệu là f(x). Hình 5.3a thể hiện đường phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.

x

x2 x1

0 f(x) x

x

P%

Si S1

S2 S3

S4

S1 S1+S2

S1+S2+S3 S1+S2+S3+S4

x

P(x) P=100%

(a): Đ−ờng phân phối xác suất (b): Đ−ờng tần suất

Hình 5.3: Xây dựng đường tần suất từ đường phân phối xác suất

♦ Đường tần suất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên: "đường tần suất xuất hiện"

của đại lượng ngẫu nhiên X (còn được gọi là "đường cong tích phân luật phân phối" hoặc "đường mật độ xác suất"), ký hiệu là F(x) và được định nghĩa thông qua công thức (5.22). Quan hệ giữa F(x) và f(x) được minh họa ở hình 5.3b.

x

F(x) f(x) dx

= ∫+∞ (5.22)

- Xác suất để giá trị của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị từ x1 đến x2 là:

2

1

x x

f(x) dx

∫ (5.23)

- Xác suất để giá trị của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị từ -∞ đến +∞

là (và luôn luôn bằng 1, tức là chắc chắn sẽ xảy ra):

f(x) dx 1

+∞

−∞

∫ = (5.24)

- Xác suất để giá trị của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị từ x đến +∝

(tức là nhận các giá trị không nhỏ hơn x) là:

x

F(x) f(x) dx

= ∫+∞ (5.25)

- Xác suất để giá trị của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị từ -∝ đến x (tức là nhận các giá trị không lớn hơn x) là:

x

P(x) f(x) dx

= ∫−∞ (5.26)

và ta có: P(x) = 1 – F(x) (5.27)

♦ Mẫu và tổng thể của đại lượng ngẫu nhiên: Nếu chúng ta có thể thí nghiệm, đo đạc hoặc thu thập được toàn bộ các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X trên miền biến thiên của nó, thì tập hợp những giá trị vừa thu được đó gọi là Tổng thể các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X đó. Tổng thể các hiện tượng thủy văn trong đó có dòng chảy và quá trình dòng chảy theo thời gian là vô cùng lớn, do đó không thể thu thập tổng thể được mà chỉ có thể thu được một phần các giá trị đã xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên, phần này gọi là Mẫu. Trong thống kế toán học, người ta thường phải nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên dựa trên những mẫu đã thu thập được. Nếu như mẫu có số lượng giá trị thu thập đủ lớn và đủ tính đại biểu thì có thể coi mẫu đó đại diện cho tổng thể để tiến hành nghiên cứu. Khi đã nghiên cứu trên mẫu để suy ra cho tổng thể chắc chắn sẽ tồn tại sai số, người ta gọi đó là sai số lấy mẫu.

Với một số khái niệm trên đây, chúng ta sẽ xem xét các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên. Các đặc trưng của đại lượng sẽ nghiên cứu là:

Đối với tổng thể Đối với mẫu

Kỳ vọng toán Trị số bình quân mẫu

Phương sai và Độ lệch quân phương Phương sai mẫu và Độ lệch chuẩn

Hệ số phân tán Hệ số phân tán mẫu

Hệ số lệch Hệ số lệch mẫu

♦ Đối với Tổng thể: có các đặc trưng sau:

(a) Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên X được ký hiệu là M(x) được xác định theo các công thức riêng biệt đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục và rời rạc.

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

M(x) x f(x) d(x)

+∞

= ∫−∞ (5.28)

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

n n

i i i

i 1 i 1

M(x) x p 1 x x

n

−

= =

= ∑ = ∑ = (5.29)

Trong đó: pi = P(x=xi) = 1/n.

(b) Phương sai D(x) và Độ lệch quân phương σ(x) của đại lượng ngẫu nhiên X được tính như sau:

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

D(x) x M (x) f(x) d(x)2 +∞

−∞

⎡ ⎤

= ∫ ⎣ − ⎦ (5.30)

(x) D(x)

σ = (5.31)

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

[ ]

n 2

i i

i 1

D(x) x M(x) p

= ∑= − (5.32)

n 2

i 1 i

(x) D(x) 1 (x x)

n

−

σ = = ∑= − (5.33)

(c) Hệ số phân tán Cv của đại lượng ngẫu nhiên X được tính như sau:

Cv (x) x

−

= σ (5.34)

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

n 2

i n

i 1 2 2 i

i 1

(x x)

1 1

Cv (K 1)

n x n

=

=

∑ −

= = ∑ − (5.35)

trong đó: Ki xi

= x

(d) Hệ số lệch Cs của đại lượng ngẫu nhiên X được tính như sau:

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

3 3

Cs 1 x M (x) dx

(x)

+∞

−∞

⎡ ⎤

= σ ∫ ⎣ − ⎦ (5.36)

- Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

n 3 3 i

i 1

Cs 1 x M (x) p

(x) =

⎡ ⎤

= σ ∑ ⎣ − ⎦ (5.37)

Khi pi = 1/n ta có:

( )

n 3

3 i i 1

Cs 1 x x

n (x) =

= ∑ −

σ (5.38)

♦ Đối với mẫu: Các đại lượng thủy văn như lưu lượng, mực nước, mưa, bốc hơi...

thường là trung bình thời đoạn, cho nên có thể coi là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Nếu vậy ta có:

(a) Trị số bình quân mẫu:

n i i 1

x 1 x

n =

= ∑ (5.39)

(b) Phương sai và Độ lệch chuẩn:

( )

n 2

i i 1

D(x) 1 x x

n 1 =

= ∑ −

− (5.40)

( )

n 2

i i 1

(x) 1 x x

n 1 =

σ = ∑ −

− (5.41)

(c) Hệ số phân tán mẫu:

n 2

i i 1

Cv 1 (K 1)

n 1 =

= ∑ −

− (5.42)

(d) Hệ số lệch mẫu:

n n

3 3

i i

i 1 i 1

3 3

(x x) (K 1)

Cs

(n 3) (x) (n 3) Cv

= − = −

∑ ∑

= =

− σ − (5.43)

Trong thực tế tính toán thủy văn, các công thức (5.40), (5.42) và (5.43) rất hay được sử dụng. Hình 5.4 minh họa sự ảnh hưởng của các giá trị trung bình mẫu, Cv và Cs đến đường tần suất và đường phân phối xác suất của mẫu.

f(x)

x x

xb xa

Cs = 0 Cs > 0 Cs < 0

x

P%

x

P%

x

P%

x lín x nhá

Khi Cv = Const và Cs = Const

Cv lín Cv nhá

Khi x = Const và Cs = Const

Cs > 0 Cs = 0

Khi x = Const và Cv = Const Cs < 0