5.3. ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA QUÁ TRÌNH DÒNG CHẢY
5.3.3. Đường tần suất lý luận và kéo dài tài liệu
Nếu liệt tài liệu về dòng chảy khá dài và đầy đủ, thông qua các đặc trưng thủy văn, chúng ta có thể biểu diễn quá trình dòng chảy bằng đường lưu lượng theo thời gian Q=f(t), đường lũy tích lượng nước đến W=f(t) hoặc dưới dạng xác suất thì là đường phân phối xác suất hoặc đường tần suất. Nhưng khi gặp vấn đề trong thu thập tài liệu như: ít tài liệu, thiếu tài liệu hoặc tài liệu không liên tục thì làm thế nào có thể bổ sung tài liệu một cách đáng tin cậy. Công cụ hữu hiệu để xử lý vấn đề này là xây dựng các "đường tần suất lý luận". Trong thủy văn, tần suất lý luận và dòng chảy có liên hệ mang tính chất hàm số thông qua đường tần suất lý luận. Còn đường tần suất kinh nghiệm của mẫu quan trắc thường được tính theo hai công thức:
(a) Công thức số giữa: Công thức này được áp dụng cho tính toán dòng chảy năm, mưa năm:
m 0,3 P n 0, 4
= −
+ (5.44)
(b) Công thức kỳ vọng: Công thức kỳ vọng được áp dụng cho tính toán dòng chảy lũ và mưa lũ, bởi vì kết quả tính toán thiên an toàn:
P m
n 1
= + (5.45)
Trong đó: m - số thứ tự của giá trị quan trắc sau khi xếp thứ tự từ lớn đến nhỏ;
n - tổng số giá trị quan trắc (độ lớn của mẫu).
Đường tần suất lý luận (hoặc đường phân phối xác suất lý luận) là đường tần suất (hoặc đường phân phối xác suất) được xây dựng từ một hàm tích phân hàm phân phối xác suất (hoặc chính hàm phân phối xác suất), nó là một đường biểu thị một hàm số, tức là khi đã cho đối số x bất kỳ sẽ xác định được giá trị tương ứng của hàm y. Cho đến nay, người ta chưa chứng minh bằng lý thuyết được là các hiện tượng thủy văn tuân theo dạng đường lý luận nào. Do đó người ta nghiên cứu một số dạng đường lý luận như: dạng Binominal, Possion, Uniform, Exponential, Normal, Log Norman, Pearson III (hay Gama), Kriskimenken,... sau đó tùy theo chuỗi số liệu thực đo tại những khu vực khác nhau, kiểm tra tính phù hợp thông qua các đặc trưng thủy văn để lựa chọn dạng đường lý luận phù hợp. Trong phần này giới thiệu một số dạng đường lý luận hay gặp nhất là: Normal, Log Norman, Gama. Đặc điểm của ba dạng phân bố trên được tóm tắt trong bảng 5.1.
Bảng 5.1: Thống kê dạng hàm số và đặc điểm của một số dạng phân bố xác suất
Dạng
phân bố Hàm phân bố xác suất Miền xác định Giá trị trung
bình
Độ lệch chuẩn Normal 1 (x x)22 2
f(x) e
2
− − σ
=σ π − ∞ ≤ ≤ + ∞x x σ
Log Normal (y = ln x)
(y y)2/ 2 2y
y
f(y) 1 e
2
⎡− − σ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=σ π
y 0 x
− ∞ ≤ ≤ + ∞
≤ ≤ + ∞ y σy
Gama
x /
1 f(x) x e
( 1)
α − β
= α+
β Γ α + 0≤ ≤ + ∞x β α+( 1) β α +2( 1)
(1) Phân bố Normal (phân bố chuẩn)
Phân bố Normal với dạng hàm hình quả chuông cân, còn được gọi là Phân bố Gauss hay Quy luật sai số tự nhiên. Mặc dù dạng phân bố này không thật phù hợp với các quá trình dòng chảy và quá trình thủy văn, nhưng nó lại được sử dụng rộng rãi khi đánh giá sai số hoặc sử dụng trong các phép biến đổi trung gian.
Phân bố Normal có 2 thông số là x và độ lệch chuẩn σ (đối với mẫu), thường người ta hay sử dụng phép biến đổi đơn giản để đưa phân bố này về dạng hàm phân bố tương đương với 1 thông số bằng cách đặt:
z =(x − x) /σ và suy ra dx = σ dz Như vậy hàm phân phối trở thành:
z2
1 2
f(x) e
2
−
= π (5.46)
Còn hàm tần suất tương ứng là:
z2
z
1 2
F(z) e dz
2
−
−∞
= ∫
π (5.47)
Biến z được gọi là Đơn vị chuẩn, nó có dạng phân phối với giá trị trung bình bằng zero và độ lệch chuẩn đơn vị.
(2) Phân bố Log Normal
Thực tế quan trắc cho thấy rất nhiều quá trình thủy văn có dạng phân bố lệch bên phải, điều này do các nhân tố ảnh hưởng (các hiện tượng tự nhiên) có giới hạn không âm hoặc bị chặn. Lúc đó các biến và dạng phân bố của chúng không tuân theo quy luật phân bố chuẩn (Normal), nhưng hàm logarit tư nhiên của chúng lại tuân theo quy luật Chuẩn. Trong bảng 5.1, dạng hàm phân bố này cho thấy nếu
thay y=ln x trong phân bố Normal ta sẽ thu được dạng phân bố Log Normal.
Dạng phân bố Log Normal có 2 thông số là y và σy. Dưới đây là các công thức liên hệ giữa biến ban đầu x và biến y.
2
x = Exp (y + σy / 2) (5.48)
2 2 2
x x [Exp( y) 1]
σ = σ − (5.49)
2 1 / 2
vx y
C = [Exp(σ −) 1] (5.50)
3
sx vx vx
C = 3 C +C (5.51)
(3) Phân bố Pearson III (PIII)
Pearson III là dạng đặc biệt trong phân bố Gama, PIII cũng như Gama được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực toán thông kế và trong thủy văn. PIII đặc biệt phù hợp khi nghiên cứu dòng chảy lũ. Phân bố PIII được mô tả kỹ dưới đây.
Phương trình hàm phân phối xác suất có dạng:
/ x / 0
f(x) f 1 x e
−α β − β
⎡ ⎤
= ⎢⎣ + α⎥⎦ (5.52)
Trong đó: f0 là tung độ đường phân phối ứng giá trị số đông xd; α là khoảng cách từ giá trị f(x0) = 0 đến xd; β là khoảng cách từ xd đến Cs > 0 kỳ vọng toán M(X) như hình 5.4.
f(x)
Cs > 0
M(x)
xd x
x0
α β
f0
Hình 5.4: Phân bố Pearson III Dạng phân bố này có đặc điểm:
- Khoảng biến thiên của biến: x0 ≤ x ≤ +∞ với x0 < 0;
- Có một số đông xd;
- Hàm phân phối không đối xứng qua trục f(x).
Quan hệ giữa x, Cv, Cs thông qua x0 như sau:
0
x x 1 2Cv Cs
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − ⎟⎠ hay K0 1 2Cv x0
Cs x
= − = (5.53)
Từ công thức (5.51) suy ra:
- Khi Cs = 2Cv tức x0 = 0 - Khi Cs < 2Cv tức x0 < 0 - Khi Cs > 2Cv tức x0 > 0
Do đó để x phù hợp với tính chất vật lý của các hiện tượng thủy văn (không âm) thì Cs phải lớn hơn hay bằng 2Cv. Những điều trên đây áp dụng với tổng thể, còn đối với mẫu thì giá trị nhỏ nhất của biến x phải không nhỏ hơn x0 của tổng thể.