TRONG HỆ THỐNG THỦY LỢI
7.5. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
Trong thực tế hiện nay, cụm từ "mục tiêu" và "mục đích" có thể được sử dụng thay thế cho nhau một cách khá thoải mái. Tuy nhiên có một sự hiểu ngầm rằng cụm từ mục tiêu hay được dùng khi muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của mục đích của sự việc. Trong kỹ thuật thủy lợi và đặc biệt trong lý thuyết toán tối ưu, cụm từ mục tiêu và cụm từ mục đích được phân biệt rõ ràng hơn.
Cụm từ mục đích rất rõ nghĩa khi chỉ các hồ chứa làm nhiệm vụ khai thác tổng hợp nguồn nước (còn gọi là các hồ chứa đa chức năng hay các hồ chứa đa mục đích - Multipurpose Reservoirs). Đa mục đích ở đây tương đương với từ
"multipurpose" trong tiếng Anh, để chỉ hồ chứa được giao một lúc nhiều nhiệm vụ (nhiệm vụ phát điện, nhiệm vụ phòng lũ hạ du, nhiệm vụ cấp nước hạ du,...).
Trong khi đó cụm từ "mục tiêu" được sử dụng với nghĩa tương đương từ
"multi-objective" trong tiếng Anh. Trong trường hợp các hồ chứa đa mục đích trên thì cụm từ đa mục tiêu được làm rõ nghĩa hơn ở chỗ: tất cả các mục đích (các nhiệm vụ của hồ) nếu chỉ phục vụ mục tiêu kinh tế (sự tăng trưởng kinh tế của các ngành khai thác nguồn nước) thì hồ đó là hồ chứa "đơn mục tiêu-single objective", nhưng nếu hồ chứa ngoài mục tiêu kinh tế còn chú ý đến các mục tiêu khác (không cùng hoặc cùng thứ nguyên với mục tiêu kinh tế) như mục tiêu: ổn định xã hội, bảo vệ môi trường sinh thái, ổn định chính trị, giữ vững an ninh quốc phòng... thì hồ đó là hồ đa mục tiêu. Thông thường các mục tiêu này không cùng số đo, không cùng thứ nguyên và đặc biệt thường mâu thuẫn nhau, nghĩa là nếu muốn tăng hiệu ích mục tiêu này sẽ làm cho hiệu ích mục tiêu khác bị giảm đi và ngược lại. Với ý nghĩa về mục tiêu như trên cộng với nhu cầu từ thực tế đòi hỏi phải giải quyết bài toán tối ưu khi có nhiều mục tiêu mâu thuẫn nhau đặt ra, lý thuyết toán tối ưu đã phát triển một nhánh được gọi là "Quy hoạch đa mục tiêu-Multi-objective Programming".
Đa mục tiêu được hiểu với nghĩa trên có thể được áp dụng ở tầm vĩ mô hoặc tầm vi mô đối với hệ thống thủy lợi, miễn sao cho các mục tiêu nghiên cứu phải có tính chất mâu thuẫn với nhau. Nếu ở tầm vĩ mô, thí dụ có thể xem xét hai mục tiêu là: mục tiêu kinh tế - mục tiêu bảo vệ môi trường sinh thái. Còn ở tầm vi mô, có thể xét các cặp mục tiêu đôi nhau như: điện năng đảm bảo và điện năng trung bình năm, điện năng trung bình năm và dung tích phòng lũ hạ du, tổng thu nhập và chi phí đền bù, di dân-tái định cư...
Dù ở tầm vĩ mô hay vi mô, loại bài toán đa mục tiêu này rất nên sử dụng phương pháp tối ưu đa mục tiêu để nghiên cứu. Một số phương pháp tối ưu đa mục tiêu thường gặp được đề cập dưới đây (Bằng, et al., 1997).
7.5.1 Mô hình bài toán tối ưu đa mục tiêu
Bài toán tối ưu đa mục tiêu được biểu diễn dưới dạng sau:
Hàm mục tiêu cần đạt được: Min(Max) f(X)= [f1(X), f2(X),..,fk(X)] (7.102) Thỏa mãn các ràng buộc: gj(X) ≤ 0 Với j =1, 2, ..., m (7.103)
Với miền của biến chính: Xmin<X<Xmax Trong đó: X - véctơ n biến chính (x1, x2,..., xn);
gj(X) - véctơ các ràng buộc;
fk(X) - véctơ k hàm mục tiêu.
Về lý thuyết, bài toán tối ưu đa mục tiêu có thể có số mục tiêu không hạn chế. Tuy nhiên, trong thực tế số lượng các mục tiêu của bài toán kỹ thuật thường không nhiều, thông thường từ 2 đến 3 hoặc 4 mục tiêu.
7.5.2 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu
Nhìn chung không thể cùng một lúc đạt tối ưu tất cả các mục tiêu được, tức là không tồn tại nghiệm X* sao cho k mục tiêu f1(X) đến fk(x) đều đạt cực trị. Dựa trên lý thuyết hiệu quả Pareto, một số phương pháp giải nhằm tìm tập hợp các nghiệm tối ưu Pareto, sau đó sử dụng thêm một số tiêu chuẩn hoặc qui tắc nhằm tìm ra một nghiệm riêng trong tập hợp nghiệm đó và coi nghiệm riêng vừa tìm được là nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu. Các phương pháp được chọn giới thiệu trong chương này là: phương pháp tìm nghiệm có khoảng cách ngắn nhất tới nghiệm lý tưởng (được coi là phương pháp khách quan và trung bình hóa), phương pháp giải theo dãy mục tiêu được sắp xếp (được coi là phương pháp có xét đến sự ưu tiên giữa các mục tiêu một cách không định lượng) và phương pháp hàm khả dụng mà trường hợp đơn giản là phương pháp trọng số (được coi là có xét đến sự ưu tiên giữa các mục tiêu một cách có định lượng).
1. Phương pháp nghiệm có khoảng cách ngắn nhất tới nghiệm lý tưởng
Khi các mục tiêu đều có tầm quan trọng tương đương như nhau, có thể áp dụng phương pháp nghiệm có khoảng cách ngắn nhất tới nghiệm lý tưởng (còn gọi là phương pháp tới hạn tổng). Đối với phương pháp này, nghiệm X* tìm được bằng cách cực tiểu hóa tới hạn toàn thể chọn trước F(X). F(X) thường là tổng bình phương độ lệch tương đối của mỗi hàm mục tiêu đối với nghiệm lý tưởng của nó.
* p
i i i
* i i
f (X ) f (X) Min F(X)
f (X )
⎡ ⎧⎪ − ⎫⎪ ⎤
⎢ = ∑ ⎨ ⎬ ⎥
⎢ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(7.104) Thỏa mãn các ràng buộc: gj(X) ≤ 0 với j = 1, 2,..., m
Trong đó: p - hằng số, thường p = 2;
X*i - nghiệm lý tưởng đối với hàm mục tiêu thứ i.
2. Phương pháp theo dãy mục tiêu được sắp xếp
Nếu như có thể sắp xếp thứ tự tầm quan trọng nhưng không thể lượng hóa tầm quan trọng đó bằng phương pháp trọng số (như đã nêu trong phương pháp trọng số và phương pháp hàm khả dụng), người ta có thể sử dụng phương pháp theo dãy mục tiêu được sắp xếp (hay phương pháp tuần tự):
- Sắp xếp các mục tiêu có thứ tự ưu tiên về tầm quan trọng từ 1, 2, ..., K (mục tiêu 1 sẽ quan trọng hơn mục tiêu 2,...).
- Tìm nghiệm X*1 và giá trị f*1=f1(X*1) của bài toán:
Min f1(X) (7.105)
Thỏa mãn các ràng buộc:
gj(X) ≤ 0 với j = 1, 2,..., m
- Sau đó tìm nghiệm X*2 và giá trị f*2=f2(X*2) của bài toán:
Min f2(X) (7.106)
Thỏa mãn các ràng buộc:
gj(X) ≤ 0 với j = 1, 2,..., m f1(X) = f*1
- Cứ tiến hành như vậy cho đến mục tiêu cuối cùng, tức là tìm nghiệm X*K và giá trị f*K=fK(X*K) của bài toán:
Min fK(X) (7.107)
Thỏa mãn các ràng buộc:
gj(X) ≤ 0 với j = 1, 2,..., m fK-1(X) = f*K-1
- Nghiệm X*K cuối cùng được coi là nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu.
3. Phương pháp hàm khả dụng
Phương pháp này sử dụng hàm khả dụng Ui(fi), trong đó Ui(fi) được xác định cho mỗi mục tiêu tùy theo mức độ quan trọng của mục tiêu đó so với các mục tiêu khác. Từ đó xây dựng hàm khả dụng tổng cộng như sau:
∑=
= k
1 i
i i(f) U
U (7.108)
Sau đó tìm nghiệm X* sao cho U đạt giá trị cực đại, đồng thời thỏa mãn các ràng buộc (7.93). Một dạng đơn giản của phương pháp hàm khả dụng chính là phương pháp trọng số:
k k
i i i i
i 1 i 1
U U (f ) w f (X)
= =
= ∑ = − ∑ (7.109)
Trong đó wi là các hệ số độ quan trọng của mục tiêu thứ i, gọi tắt là trọng số của mục tiêu i. Thông thường:
k i 1 i
w 1
= =
∑ (7.110)
4. Phương pháp hàm khả dụng nghịch đảo
Nếu hàm mục tiêu là dạng tìm cực tiểu thì có thể sử dụng phương pháp hàm khả dụng nghịch đảo, nghĩa là:
k k
1 1
i 1 i i 1 i i
U U 1
U (f )
− −
= =
= ∑ = ∑ (7.111)
Nghiệm X* thỏa mãn các ràng buộc (7.103) và làm cho tổng hàm khả dụng đạt cực tiểu.