TRONG HỆ THỐNG THỦY LỢI
7.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT)
7.2.2. Thiết lập mô hình bài toán QHTT qua thí dụ minh họa
Để làm quen với bài toán QHTT và cách xây dựng mô hình của bài toán, trước tiên chúng ta nghiên cứu một thí dụ mang tính chất tiêu biểu trong lĩnh vực thủy lợi và nông nghiệp dưới đây.
Thí dụ 7.1: Tại lưu vực của con sông có 2 hồ chứa nước phục vụ tưới cho nông nghiệp. Mỗi hồ chứa phục vụ một khu đất trồng trọt của một xóm dân cư.
Mỗi năm, hồ 1 có dung tích hữu ích đủ phục vụ 4 ha lúa nước. Hồ 2 có dung tích hữu đủ phục vụ tưới cho 12 ha cây ăn quả. Để có năng suất và sản lượng tốt, hàng năm, mỗi ha trồng lúa cần 1 nghìn m3 nước tưới và 3 trăm công lao động, còn mỗi ha cây ăn quả cần 2 nghìn m3 nước tưới và 2 trăm công lao động, trong khi số lao động tối đa của xóm là 18 trăm công. Nếu thu hoạch tốt, mỗi ha lúa có giá trị 3.107 đồng, mỗi ha cây ăn quả có giá trị 5.107 đồng (xem minh họa ở hình 7.1). Dưới góc độ kinh tế, hội nông dân của xóm cần tính toán xem nên trồng bao nhiêu diện tích lúa, bao nhiêu diện tích cây ăn quả để có được thu nhập cao nhất trong năm.
Để đơn giản và tránh phức tạp bởi chuyển đổi đơn vị, vấn đề của xóm trên được phát biểu lại ngắn gọn lại như sau: Mỗi năm, hồ 1 có dung tích hữu ích đủ phục vụ 4 đơn vị diện tích cây lương thực. Hồ 2 có dung tích hữu đủ phục vụ tưới cho 12 đơn vị diện tích cây trồng khác. Hàng năm, mỗi đơn vị diện tích trồng cây
lương thực cần 1 đơn vị nước tưới và 3 đơn vị công lao động, còn mỗi đơn vị diện tích cây trồng khác cần 2 đơn vị nước tưới và 2 đơn vị công lao động, trong khi khả năng tối đa của xóm là 18 đơn vị công lao động mỗi năm. Mỗi đơn vị diện tích cây lương thực cho 3 đơn vị tiền tệ, mỗi đơn vị diện tích cây trồng khác cho 5 đơn vị tiền tệ.
hồ chứa 1 V1=4 ngh×n m3
hồ chứa 2 V2=12 ngh×n m3
diện tích trồng lúa
diện tích trồng cây ăn quả
Hình 7.1: Thí dụ minh họa 7.1
Các điều kiện về tự nhiên, đất đai, trồng trọt,... của xóm trên được tổng hợp trong bảng 7.1 dưới đây.
Bảng 7.1: Điều kiện của bài toán QHTT trong thí dụ 7.1
Với diện tích cây lương
thực
Với diện tích cây trồng
khác
Khả năng và tính chất của nguồn
lực
Tên của nguồn lực Nhu cầu tưới cây
lương thực
1 0 4 Hồ chứa 1
Nhu cầu tưới cây trồng khác
0 2 12 Hồ chứa 2
Nhu cầu về lao động 3 2 18 Lao động
Hiệu quả về kinh tế 3 5 - Thu nhập
Như vậy, nguyện vọng của hội nông dân xóm dưới góc độ hiệu quả kinh tế (tổng thu nhập từ nông nghiệp trong năm) được thể diện dưới dạng toán học là:
0 1 2
X = Z = 3X +5X (7.16)
Trong đó: X1 - diện tích trồng cây lương thực;
X2 - diện tích trồng cây khác.
Đương nhiên, mục tiêu và nguyện vọng của hội nông dân là tối đa tổng thu nhập này, tức là tối đa hàm Z, cũng từ đó hàm Z được gọi là hàm mục tiêu của bài toán và tiêu chuẩn tối ưu của hàm là Maximum, chúng ta có:
1 2
Max Z = 3X +5X (7.17)
Với giả thiết là diện tích trồng trọt phải được cung cấp đủ nước tưới, đủ công lao động để cho sản lượng cao, trong khi khả năng về nguồn nước, khả năng lao động là có hạn, chúng ta cần tiếp tục giúp đỡ hội nông dân của xóm, xây dựng các điều kiện của hàm mục tiêu trên.
Về mặt khả năng của nguồn lực, hàm mục tiêu cần thỏa mãn hai giới hạn.
Giới hạn về khả năng cấp nước tưới của hồ 1 và hồ 2 (Bằng, et al., 1997).
Đối với hồ 1: Do hồ 1 chỉ tưới cho diện tích trồng cây lương thực, với nhu cầu nước cho cây là 1 đơn vị thể tích nước tưới cho mỗi đơn vị diện tích, trong khi khả năng cấp nước của hồ là 4 đơn vị thể tích tưới mỗi năm. Chúng ta có:
X1 ≤ 4 (7.18)
Đối với hồ 2: Hồ 2 chỉ tưới cho diện tích trồng cây khác, với nhu cầu nước cho cây là 2 đơn vị thể tích nước tưới cho mỗi đơn vị diện tích, trong khi khả năng cấp nước của hồ là 12 đơn vị thể tích tưới mỗi năm. Chúng ta có:
2X2 ≤ 12 (7.19)
Hay: X2 ≤ 6 (7.20)
Về mặt lao động: khả năng cung cấp lao động của xóm là 18 đơn vị công lao động trong mỗi năm, trong khi nhu cầu cần 3 đơn vị công lao động cho mỗi đơn vị diện tích trồng cây lương thực và 2 đơn vị công lao động cho mỗi đơn vị diện tích trồng cây khác. Về toán học, điều kiện giới hạn về lao động được viết như sau:
1 2
3X + 2X ≤ 18 (7.21)
Các bất phương trình (7.18), (7.19) và (7.20) được gọi là các điều kiện ràng buộc về khả năng của nguồn lực (Functional Constraints). Khi cần biến đổi dấu bất đẳng thức hoặc chuyển thành đẳng thức, người ta chỉ tác động vào loại điều kiện ràng buộc này (Bằng, et al., 1997).
Còn một loại điều kiện ràng buộc nữa là ràng buộc về tính chất vật lý của biến (Physical Constraints), trong thí dụ này có hai biến là diện tích đất trồng cây lương thực (X1) và diện tích đất trồng cây khác (X2). Về nguyên tắc, diện tích gieo trồng là hữu hạn nhưng giá trị có thể là rất lớn. Còn về mặt tính chất vật lý, rõ ràng diện tích gieo trồng không thể là số âm được (-). Do đó, chúng ta có:
1 2
X ≥ 0; X ≥ 0 (7.22)
Bây giờ bài toán mà hội nông dân xóm đặt ra đã được thiết lập xong, bài toán này chính là một bài toán QHTT, mô hình cụ thể như sau:
1 2
1 2
1 2
1 2
Max Z 3X 5X
Thỏa mãn
X 4
X 6
3X 2X 18
X , X 0
= +
≤
≤
+ ≤
≥
(7.23)
Mô hình (7.23) là mô hình một bài toán QHTT dạng chuẩn, chúng ta có thể đưa thêm các biến phụ vào các điều kiện ràng buộc về khả năng để chuyển thành dấu bằng và đưa mô hình về dạng bài toán QHTT dạng chính tắc. Khi đó (7.23) trở thành:
1 2
1 3
2 4
1 2 5
1 2 3 4 5
Max Z 3X 5X
Thỏa mãn
X X 4
X X 12
3X 2X X 18
X , X , X , X , X 0
= +
+ =
+ =
+ + =
≥
(7.24)