2.1.3 Truyền dẫn sóng trong sợi quang
2.1.3.2 Sợi quang đa mode chỉ số chiết suất phân bậc
Như đã đề cập ở trên, sợi dẫn quang trong trường hợp nμy thực tế có bán kính lõi lμ a với chỉ số chiết suất n1 th−ờng lμ 1,48. Bao quanh lõi lμ lớp vỏ có chỉ số chiết suất n2 thấp hơn vμ có liên quan với n1 bằng biểu thức (2-10), trong đó Δ lμ sự khác nhau của chỉ số chiết suất lõi vμ vỏ phản xạ.
Các ph−ơng trình sóng cho sợi chiết suất phân bậc.
Bây giờ ta tiến hμnh tìm các mode dẫn (chủ đạo) trong sợi chiết suất phân bậc dựa vμo các kết quả đã phân tích ở phần trên (2.1.3.1).
Phương pháp toán học chuẩn để giải các phương trình như phương trình (2-33) lμ ph−ơng pháp phân ly biến số, nó cho phép giải dạng
Ez = AF1(r)F2(φ)F3(z)F4(t) (2-35) Nh− đã giả thiết, các hệ số phụ thuộc vμo thời gian vμ z, vμ đ−ợc cho lμ
F3(z)F4(t) = e j(ω −t βz) (2-36) vì sóng có dạng hình sin theo thời gian vμ lan truyền theo hướng z. Thêm vμo đó, vì tính
đối xứng tròn của ống dẫn sóng (sợi), cho nên từng thμnh phần trường phải không được thay đổi khi tọa độ φ đ−ợc tăng lên 2π. ở đây giả sử hμm tuần hoμn có dạng:
F2 (φ ) = e jνφ (2-37) Hằng số ν có thể lμ d−ơng hoặc âm, nh−ng nó phải lμ một số nguyên vì rằng các tr−ờng phải điều hòa trong φ với chu kỳ 2π.
Thế ph−ơng trình (2-37) vμo ph−ơng trình (2-35) thì ta có đ−ợc ph−ơng trình sóng cho Ez, tức lμ ph−ơng trình (2-33) trở thμnh:
1 ( ) 0
2 1 2 1 2
2 1 2
=
−
∂ + + ∂
∂
∂ F
q r r F r r
F ν
(2-38) vμ ở đây rõ rμng lμ phương trình vi phân cho hμm Bessel. Một phương trình đồng nhất có thể đ−ợc chuyển hóa cho Hz.
Đối với cấu trúc loại sợi chiết suất phân bậc, ta phải xem xét lõi có chiết suất đồng nhất n1 vμ bán kính a, vμ đ−ợc bao bọc một lớp vỏ vô tận chiết suất n2 (xem hình 2.6). Ta phải giả thiết vỏ phản xạ dμy vô tận lμ vì các mode dẫn trong lõi sợi có tr−ờng phân rã theo luật hμm mũ bên ngoμi lõi, vμ nó sẽ có ý nghĩa tại biên giới ngoμi của vỏ phản xạ. Trong thực tế, các sợi quang được thiết kế có vỏ phản xạ đủ dμy để trường mode dẫn không tiến ra
đ−ợc tới biên ngoμi của vỏ.
Hình 2.6. Cấu trúc sợi phân bậc để phân tích sự truyền sóng.
Bây giờ, ph−ơng trình (2-38) phải đ−ợc giải cho các vùng phía trong vμ phía ngoμi lõi sợi. Đối với vùng phía trong lõi, phép giải cho các mode truyền dẫn phải duy trì giới hạn r→0, nh−ng trái lại phép giải cho phía ngoμi phải phân rã tới không vì r→∞ . Nh− vậy với r < a phép giải lμ hμm Bessel loại một của cấp ν. Đối với các hμm nμy, ta sử dụng tên chung Jν(ur). ở đây, u2 = k21 - β2 với k1 = 2πn1/λ. Các biểu thức đối với Ez vμ Hz phía trong lõi sợi lμ:
E(r<a) = AJν(ur)ejνφej(ωt - βz) (2-39) r a
n1 b n2
Tiếp giáp vỏ vμ không khí Tiếp giáp lõi vμ vỏ
r a n1 b→∞
n2
Tiếp giáp lõi vμ vỏ
Hz(r<a) = BJν(ur)ejνφej(ωt - βz) (2-40) với A vμ B lμ các hằng số tùy ý.
Phía ngoμi lõi sợi, phép giải phương trình (2-38) được giải bằng hμm Bessel biến đổi loại hai Kν (wr) với w2 = β2 - k22 có k2 = 2πn2/λ , vì thế biểu thức cho Ez vμ Hz phía ngoμi lõi sợi lμ :
Ez(r>a) = CKν(wr) ejνφ ej(ωt - βz) (2-41) Hz(r>a) = D Kν(wr) ejνφ ej(ωt - βz) (2-42) với C vμ D lμ hằng số tùy ý.
Do tính xác định của hμm Bessel biến đổi, ta thấy Kν(wr)→e-wr vì wr→∞. Do r→∞, Kν(wr)→0 nên w > 0. ở đây lật lại vấn đề β ≥ k2 chính lμ điều kiện giới hạn (ng−ỡng).
Vậy ta có thể nói điều kiện giới hạn lμ điểm mμ tại đó mode không còn lμ biên cho vùng lõi. Điều kiện giới hạn thứ hai về β có thể đ−ợc suy ra từ Jν(ur). ở bên trong lõi tham số u phải lμ thực để F1 lμ thực, từ đó kéo theo K1≥ β. Vì thế dải cho phép của β về giải pháp
®−êng bao lμ:
n2k = k2≤β≤ k1 = n1k (2-43) với k = 2π/λ gọi lμ hằng số truyền ở khoảng không tự do.
Ph−ơng trình mode
Các giải pháp để β phải đựơc xác định từ các điều kiện đường biên. Các điều kiện
đường biên đòi hỏi rằng, các thμnh phần tiếp tuyến Eφ vμ Ez của E ở bên trong vμ bên ngoμi ranh giới điện môi tại r = a phải lμ giống nhau vμ t−ơng tự nh− các thμnh phần Hφ vμ Hz. Tr−ớc hết ta khảo sát các thμnh phần tiếp tuyến của E. Theo thμnh phần z ta có, từ ph−ơng trình (2-39) ở phía trong ranh giới lõi-vỏ (Ez = Ez1) vμ từ ph−ơng trình (2-41) ở bên ngoμi ranh giới (Ez = Ez2) lμ:
Ez1 - Ez2 = AJν(ua) - CKν(wa) = 0 (2-44) Thμnh phần φ đựơc lấy từ phương trình (2-30). Bên trong lõi sợi thì q2 được tính từ:
q2 = u2 = k21 - β2 (2-45) ở đây k1 = 2πn1/λ =ω ε1μ, trong khi đó ở ngoμi lõi sợi thì:
w2 = β2 - k22 (2-46) víi k2 = 2πn2/λ =ω ε2μ
Thế các phương trình (2-39) vμ (2-40) vμo phương trình (2-30) để tìm Eφ1, vμ tương tự sử dụng các phương trình (2-41) vμ (2-42) để xác định Eφ2; ta thu được tại r = a như sau
)]
( )
(
[ '
2 2
1 J ua B uJ ua
a A j u E j
Eφ φ νβ ν ωμ ν
−
−
=
−
0 )]
( )
(
[ '
2 − =
− K wa D wK wa
a C j w
j
ν
ν ωμ
νβ (2-47)
Tương tự đối với các thμnh phần tiếp tuyến của H, cũng chỉ ra tại r = a rằng:
Hz1 -Hz2 = BJν (ua) - DKν (wa) = 0 (2-48)
vμ 1 2 2 [ J (ua) A 1uJ'(ua)]
a B j u H j
Hφ − φ =− νβ ν + ωε ν
0 )]
( )
(
[ 2 '
2 + =
− K wa C wK wa
a D j w
j
ν
ν ωε
νβ (2-49)
Các ph−ơng trình (2-44), (2-47), (2-48) vμ (2-49) lμ tập hợp bốn ph−ơng trình có 4 hệ số chưa biết A, B, C vμ D. Việc giải các phương trình nμy chỉ có đựơc nếu định thức của các hệ số nμy bằng không:
J ua K wa
au J ua j
u J ua
aw K wa j
w K wa
J ua K wa
j
u J ua
au J ua j
w K wa
aw K wa
ν ν
ν ν ν ν
ν ν
ν ν ν ν
βν ωμ βν ωμ
ωε βν ωε βν
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' '
' '
0 0
0 0 0
2 2
1
2
2
2
−
−
− −
= (2-50)
Khi đánh giá định thức nμy sẽ thu được phương trình sau đây đối với β (ℑν+ ℵν) (k12ℑν + k22ℵν) =
2 2 2
2 1 1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
w a u
βν
(2-51)
ở đây:
ℑν= J ua uJ ua
ν ν
'( )
( ) vμ ℵν=
K wa wK wa
ν ν
'( )
( )
Bằng cách giải phương trình (2-51) đối với β sẽ thấy được rằng chỉ các giá trị rời rạc mới giới hạn dải đã cho trong biểu thức (2-43). Mặc dù phương trình (2-51) lμ phương trình siêu việt phức tạp vμ nhìn chung phải giải bằng các kỹ thuật số, nh−ng lời giải của nó cho bất kỳ mode riêng nμo cũng sẽ đ−a ra đ−ợc tất cả các đặc tính của mode đó. Sau đây ta sẽ xem xét ph−ơng trình nμy cho một số mode bậc thấp nhất của sợi chỉ số chiết suất phân bËc.
Các mode trong sợi chỉ số chiết suất phân bậc
Ta sử dụng các hμm số Bessel loại J để mô tả các mode trong sợi chiết suất phân bậc nμy. Hình 2.7 mô tả các mode nμy cho ba bậc đầu tiên. Các hμm Bessel loại J t−ơng tự nh− lμ các hμm số điều hòa vì chúng thể hiện dao động với k lμ thực tựa nh− các hμm sin.
Do có biểu hiện dao động Jν mμ sẽ tồn tại m nghiệm của phương trình (2-51) đối với giá
trị ν đã cho. Các nghiệm nμy sẽ được βνm định ra, vμ các mode tương ứng lμ TEνm, TMνm, EHνm hoặc lμ HEνm. Hình 2.8 lμ giản đồ về mẫu trường điện ngang đối với bốn mode bậc thấp nhất trên tiết diện cắt ngang sợi chiết suất phân bậc.
Hình 2.7. Sự thay đổi của hμm Bessel Jν(x) cho ba bậc đầu tiên (ν = 0,1,2) đ−ợc vẽ theo hμm của x.
Hình 2.8. Tiết diện ngang của các vectơ trường điện ngang đối với bốn mode trong sợi đa mode chiết suất phân bậc.
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6
2 4 6 8 10 x
Jν(x)
ν=0
ν=1ν=2
HE11
TM01 HE21
Mode bËc thÊp nhÊt
Tổ hợp các mode bậc cao hơn đầu tiên
TE01
Đối với sợi (ống dẫn sóng cách điện), tất cả các mode lμ các mode lai tạo loại trừ tr−ờng hợp ν = 0. Khi ν = 0 thì phía bên phải của ph−ơng trình (2-51) triệt tiêu vμ dẫn tới có hai phương trình khác nhau ở bên trái bằng không, đó lμ các phương trình (2-52) vμ (2-53) sau:
ℑ0 + ℵ0 = 0 (2-52) hoặc sử dụng quan hệ cho Jν' vμ Kν' ở phụ lục C (về hμm Bessel)
( ) ( ) 0
) (
) (
0 1 0
1 + =
wa wK
wa K ua uJ
ua
J (2-53)
t−ơng ứng với các mode TE0m (Ez = 0), vμ có
k12ℑ0 + k22ℵ0 = 0 (2-54) hoặc lμ
( ) ( ) 0
) (
) (
0 1 2 2 0
1 2
1 + =
wa wK
wa K K ua uJ
ua J
K (2-55)
t−ơng ứng với các mode TM0m (Hz = 0). Khi ν ≠ 0, tình thế sẽ phức tạp hơn vμ cần phải sử dụng đến các phương pháp số để giải phương trình (2-51) một cách chính xác.
Tiếp theo ta xét các điều kiện ng−ỡng (giới hạn) đối với các mode sợi. Nh− đã đề cập tới ở ph−ơng trình (2-43), một mode gọi lμ tới ng−ỡng khi nó không còn lμ biên cho lõi của sợi. Các ngưỡng đối với các mode khác sẽ được tìm ra khi giải phương trình (2-51) khi w2
→ 0. ở đây, vì khá phức tạp nên ta thừa nhận kết quả đ−ợc đ−a ra ở bảng 2-3 d−ới đây.
Bảng 2-3: Các điều kiện ng−ỡng đối với các mode bậc thấp.
ν Mode Điều kiện ng−ỡng 0
1 ≥ 2
TE0m, TM0m HE1m, EH1m EH νm
HEνm
J0(ua) = 0 J1(ua) = 0 Jν(ua) = 0
n
n J ua ua
J ua
1 2
2
2 1 1
+ 1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =
−
ν− ( ) ν ν( )
Một tham số quan trọng có liên quan tới điều kiện ng−ỡng lμ tần số chuẩn V (hay còn gọi lμ tham số V hoặc số V), nó đ−ợc xác định nh− sau
V2 (u2 w2)a2 2 a⎟2(n12 −n22)
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ +
= λ
π (2-56)
Tham số V không có thứ nguyên, vμ nó xác định có bao nhiêu mode mμ sợi có. Số mode có thể tồn tại trong sợi nh− một hμm của V vμ đ−ợc thể hiện d−ới dạng hằng số lan truyền chuẩn b đ−ợc xác định nh− sau
2
2 2 1
2 2 2 2
2
2 ( / )
n n
n k V
w b a
−
= −
= β
(2-57) Đồ thị của b (vẽ dưới dạng β/k) lμ hμm của V đối với một số mode bậc thấp như ở hình 2.9. Từ hình vẽ ta thấy rằng mỗi một mode chỉ có thể tồn tại đối với các giá trị V v−ợt quá
một giá trị giới hạn nμo đó. Các mode bị cắt khi β/k = n2. Mode HE11 không có giới hạn (ngưỡng) vμ nó dừng để tồn tại chỉ khi đường kính lõi bằng không. Đây chính lμ nguyên lý
để qua đó phân tích cho sợi đơn mode. Bằng cách chọn a, n1 vμ n2 thích hợp ta có:
2 ( 2) 2,405
2 2
1 − ≤
= a n n
V λ
π (2-58)
vμ đây chính lμ giá trị mμ tại đó hμm Bessel bậc thấp nhất J0 bằng không, tất cả các mode
đều bị cắt, loại trừ mode HE11.
Hình 2.9. Đồ thị hằng số lan truyền phụ thuộc vμo V
đối với một số mode bậc thấp nhất.
Tham số V cũng có thể liên quan tới số các mode M trong sợi đa mode khi M lμ lớn.
Quan hệ gần đúng đối với các sợi quang chiết suất phân bậc có thể rút ra từ lý thuyết về tia sáng. Tia tới t−ơng thích với đầu sợi quang sẽ đ−ợc sợi tiếp nhận nếu nh− nó nằm trong góc θ xác định từ khẩu độ số đã biết ở phương trình (2-9).
NA=sinθ = (n12 −n22) (2-59) n1
n2
0 1 2 3 4 5 6
HE11
TE01 TM01
HE21
EH11
HE31
HE12 EH21
HE41
TE02
TM02
HE22
β/k
Tần số chuẩn hoá V
Trong thực tiễn, các khẩu độ số sinθ nhỏ sao cho sinθ ≈θ [9]. Vì thế góc khối tiếp nhận thực sự của sợi lμ:
( 2 22)
1 2
2 = NA = n −n
=
Ω πθ π π (2-60)
Đối với sự phát xạ sóng điện từ với b−ớc sóng λ phát ra từ laser hoặc ống dẫn sóng, số các mode cho một đơn vị góc khối lμ 2A/ λ2, với A lμ diện tích mode đi vμ đến. Diện tích A trong tr−ờng hợp nμy lμ phần mặt cắt ngang lõi πa2. Số 2 ở đây muốn phản ánh một thực tế lμ sóng phẳng có thể có hai h−ớng phân cực. Tổng số mode M đi vμo sợi đ−ợc viết nh−
sau:
≈ 22 Ω λ
M A = 2
2
2 2
2 1
2 2
2
π 2
λ
a n n V
( − )= (2-61)
các mode phân cực tuyến tính
Việc phân tích đúng đắn về toán học đối với các mode của sợi dẫn quang lμ rất phức tạp. Tuy nhiên nếu không cần sự chính xác cao thì để đơn giản hơn, có thể sử dụng tính gần đúng, phương pháp nμy dựa theo nguyên lý rằng trong sợi chiết suất phân bậc, sự khác nhau giữa các chỉ số chiết suất của lõi vμ vỏ lμ rất nhỏ, biểu hiện lμ Δ << 1. Đây lμ điều cơ
bản của tính gần đúng cho sợi yếu. ở tính gần đúng nμy, các mẫu trường điện từ vμ các hằng số lan truyền của các cặp mode HEν+1,m vμ EHν-1,m rất giống nhau. Điều nμy cũng xảy ra như vậy đối với ba cặp mode TEom , TMom vμ HE2m . Trường hợp nμy có thể thấy trong hình 2.9 với (ν, m) = (0, 1) vμ (2, 1) cho các nhóm mode {HE11}, {TE01, TM01, HE21}, {HE31, EH11}, {HE12}, {HE41, EH21}, vμ {TE02, TM02, HE22}. Nh− vậy có nghĩa lμ chỉ có bốn thμnh phần tr−ờng cần đ−ợc xem xét thay cho sáu thμnh phần, vμ việc mô tả
trường sẽ đơn giản hơn nhờ sử dụng Cartesian (Thuyết Đê - các - tơ) thay cho các tọa độ trôc.
Khi Δ << 1 ta có k12 ≈ k22 ≈ β2. Sử dụng tính chất gần đúng nμy, phương trình (2-51)
đ−ợc viết thμnh.
ℑν + ℵν= ±ν
a u w
1 1
2 + 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ (2-62) Vì vậy ph−ơng trình (2-53) cho các mode TEom cũng nh− ph−ơng trình (2-55) cho các mode TMom . Sử dụng quan hệ truy toán đối với Jν' vμ Kν' đã cho ở phụ lục C, ta tạo đ−ợc hai tập hợp phương trình cho công thức (2-62) đối với trường hợp dấu dương vμ âm. Đối với dấu d−ơng sẽ thu đ−ợc:
0 ) (
) ( )
( )
( 1
1 + + =
+
wa wK
wa K ua uJ
ua J
ν ν ν
ν (2-63)
Giải ph−ơng trình nμy sẽ thu đ−ợc một tập hợp các mode đ−ợc gọi lμ các mode EH. Với dấu âm thì biểu thức (2-62) cho phép thu đ−ợc:
0 ) (
) ( )
( )
( 1
1 − − =
−
wa wK
wa K ua uJ
ua J
ν ν ν
ν (2-64) hoặc tạo ra sự ngược lại của phương trình (2-64) vμ sử dụng biểu thức đối với Jν(ua) vμ Kν(wa) tõ phô lôc C (xem C.1.1, C.1.2)
) (
) ( )
( ) (
1 2 1
2
wa K
wa wK
ua J
ua uJ
−
−
−
− =
−
ν ν ν
ν (2-65) Các kết quả nμy cho phép thiết lập ra một tập hợp các mode gọi lμ các mode HE. Nếu chúng ta định rõ một tham số mới
1 cho các mode TE vμ TM
ν + 1 cho các mode EH (2-66) ν - 1 cho các mode HE
thì các ph−ơng trình (2-53) , (2-63), vμ (2-65) có thể đ−ợc viết d−ới dạng thống nhất lμ
) (
) ( )
( )
( 1
1
wa K
wa wK
ua J
ua uJ
j j j
j− = − − (2-67) Các phương trình (2-66) vμ (2-67) chỉ ra rằng tính gần đúng cho tất cả các mode yếu
được đặc trưng bởi một tập hợp chung j vμ m thỏa mãn cùng phương trình đặc trưng. Điều nμy có nghĩa lμ các mode nμy lμ các mode thoái hóa (suy biến). Nh− vậy, nếu mode HEν+1,m bị thoái hóa với mode EHν-1,m (tức lμ nếu các mode HE vμ EH có xuyên tâm t−ơng ứng bậc m vμ chu vi ngang bằng bậc ν tạo ra các cặp thoái hóa), thì bất kỳ sự kết hợp của mode HEν+1,m với mode EHν-1,m cũng sẽ tạo thμnh một mode dẫn của sợi. Glope đã đ−a ra rằng các mode thoái hóa nh− vậy đ−ợc gọi lμ các mode phân cực tuyến tính (LP) , vμ đ−ợc
đặt tên lμ các mode LPjm , chúng không liên quan tới hình dạng trường TM, TE, EH hoặc HE của chúng. Hằng số truyền lan chuẩn b nh− lμ một hμm số của V vμ đ−ợc coi nh− các mode LPjm khác nhau nh− trong hình 2.10. Nhìn chung, chúng ta có nh− sau:
1. Mỗi một mode LPom đ−ợc nhận từ mode HE1m
2. Mỗi một mode LP1m đến từ các mode TEom, TMom vμ HE2m 3. Mỗi một mode LPνm (ν≥ 2) có từ mode HEν+1,m vμ EHν-1,m
Sự t−ơng ứng giữa m−ời mode LP thấp nhất (chúng có tần số giới hạn thấp nhất) vμ các mode truyền thống TM, TE, EH vμ HE đ−ợc đ−a ra nh− ở bảng 2-4. Bảng nμy cũng chỉ ra số các mode thoái hóa.
Đặc tính rất lợi thế của mode LP lμ khả năng dễ dμng hình dung ra một mode. Trong tập hợp các mode tổng thể chỉ có một thμnh phần tr−ờng điện vμ một thμnh phần tr−ờng từ lμ có ý nghĩa. Véc tơ tr−ờng điện E có thể đ−ợc chọn nằm dọc theo một trục bất kỳ có véc tơ
tr−ờng từ H nằm vuông góc với nó. Vì một trong hai h−ớng phân cực có thể ghép với tính J =
phụ thuộc ph−ơng vị cả cosjφ vμ sinjφ, nên bốn mẫu mode riêng biệt có thể thu đ−ợc từ LPjm đơn. Hình 2.11 mô tả bốn hướng trường điện vμ trường từ có thể có vμ các phân nhánh cường độ tương ứng đối với mode LP11 . Hình 1.12a vμ 1.12b minh họa hai mode LP11 đ−ợc hình thμnh nh− thế nμo từ các mode đúng HE21 cộng với TE01 vμ mode đúng HE21 céng víi TM01.
Hình 2.10. Hằng số truyền lan b lμ hμm của V đối với các mode LPjm khác nhau.
Bảng 2-4: Các mode phân cực tuyến tính bậc thấp Tên các mode
LP
Tên các mode truyền thống vμ số các mode
Số các mode thoái hóa
LP01 LP11 LP21 LP02 LP31 LP12 LP41 LP22 LP03 LP51
HE11 × 2
TE01, TM01, HE21 × 2 EH11 × 2, HE31 × 2 HE12 × 2
EH21 × 2, HE41 × 2 TE02 , TM02 , HE22 × 2 EH31 × 2, HE51 × 2 EH12 × 2, HE32 × 2 HE13 × 2
EH41 × 2, HE61 × 2
2 4 4 2 4 4 4 4 2 4 1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12
01 11
21
02
31
12
41 22
03
51
32 61
13 42
71
23 04
81 52
33
V B = [(β/k)-n2]/(n1-n2)
Hình 2.11. Bốn h−ớng tr−ờng điện vμ tr−ờng từ ngang có thể có vμ các phân nhánh t−ơng ứng cho mode LP11.
Hình 2.12. Sự hợp thμnh của hai mode LP11 từ các mode đúng vμ các phân nhánh cường độ vμ trường điện ngang của chúng.