3.3. Các quá trình nhiệt động cơ bản của khí lý tưởng
3.3.4. Một số quá trình nhiệt động cơ bản
a. Quá trình đẳng áp Khái niệm :
Quá trình đẳng áp là quá trình nhiệt động được tiến hành trong điều kiện áp suất không đổi.
p = const
Từ phương trình p.vn = const, với n = 0 ta có p = const. Vậy với n = 0 ta có quá trình đẳng áp.
Quan hệ giữa các thông số :
Áp dụng phương trình trạng thái: pv = RT Trạng thái 1: p1.v1 = R.T1
Trạng thái 2: p2.v2 = R.T2
Với p1 = p2 = const chia hai phương trình cho nhau ta có:
1 2 1 2
v v T
T = (3-34) (Trong quá trình đẳng áp thể tích tỷ lệ thuận với nhiệt độ T)
Biểu diễn quá trình trên đồ thị p-v và T-s:
Để có đường đẳng áp trên đồ thị T-s ta cũng phải vẽ từng điểm một theo các hàm T =f(s)p=const. Đường đẳng áp là tập hợp những đường cong lôgarit có bề lồi quay về phía trục hoành, đường biểu diễn càng xa trục tung có trị số càng nhỏ: pa > pb > pc.
Xác định độ biến thiên nội năng, công, nhiệt lượng của quá trình:
+ Độ biến thiên nội năng:
Với mọi quá trình ta có: du = CvdT
Với quá trình 1-2: ∆u = Cv∆T = Cv(T2 - T1) = Cv(t2 - t1); [kJ/kg] (3-35) + Công của quá trình:
- Công thay đổi thể tích của quá trình:
2 1
p
p1 = p2
v1 v2 v
T
T2 T1
s1 s2 s
lgn
1 2
Hình 3-5
∫
=
2
1
gn p.dv
l ; [J/kg] = 10-3.p(v2 - v1); [kJ/kg] (3-36) - Công kỹ thuật của quá trình:
l v.dp 0
2
1
kt =−∫ = (3-37)
+ Nhiệt lượng của quá trình; quá trình đẳng áp có nhiệt dung riêng là Cp cho nên ta có:
đq = CpdT và q = Cp∆t = Cp∆T = Cp(T2 - T1) = Cp(t2 - t1); [kJ/kg].
Áp dụng định luật nhiệt động 1:
q = ∆u + lgn = Cv∆T + p(v2 - v1) suy ra Cp∆T = Cv∆T + R.∆T (3-38) Ta suy ra: Cp = Cv + R ; Cp - Cv = R ; đây chính là công thức Mayer .
Như vậy, áp dụng định luật nhiệt động 1 vào quá trình đẳng áp ta đã chứng minh được công thức Mayer.
b. Quá trình đẳng tích Khái niệm :
Quá trình đẳng tích là quá trình nhiệt động được tiến hành trong điều kiện thể tích không đổi : v = const.
Với n = ∞ ta có quá trình đẳng tích.
Áp dụng phương trình trạng thái: pv = RT Với trạng thái 1: p1.v1 = R.T1
Với trạng thái 2: p2.v2 = R.T2
Với v1 = v2 = const chia hai phương trình cho nhau ta có:
1 2 1 2
p p T
T = (3-39) (Trong quá trình đẳng tích áp suất tỷ lệ thuận với nhiệt độ T)
Biểu diễn quá trình trên đồ thị p-v và T-s : Ta xét quá trình 1-2
Trên đồ thị p-v đường v = const là tập hợp các đường thẳng song song với trục tung.
Từ đồ thị ta thấy ngay công thay đổi thể tích lgn = 0. Để biểu diễn đường v = const trên đồ thị T-s người ta phải vẽ từng điểm theo các hàm T = f(s)v=const. Đặc điểm v = const trên đồ thị T-s là đường cong logarit có độ dốc cao, quay bề lồi về phía trục hoành, đường biểu diễn càng xa trục tung có giá trị càng lớn; va < vb < vc.
Xác định độ biến thiên nội năng, công, nhiệt lượng của quá trình : + Độ biến thiên nội năng; với mọi quá trình ta có: du = CvdT
Hình 3-6 v1= v2 v
2 1
s2 s1 s 1
lkt 2
q p
p1
p2
T T1
T2
Với quá trình 1-2: ∆u = Cv∆T = Cv(T2 - T1) = Cv(t2 - t1); [kJ/kg] (3-40) + Công của quá trình:
- Công thay đổi thể tích của quá trình:
∫ =
= 2
1
gn p.dv 0
l (vì quá trình v = const có dv = 0) (3-41) - Công kỹ thuật của quá trình:
) p p ( v dp . v
l 2 1
2
1
kt =−∫ =− − ; [J/kg] (3-42)
+ Nhiệt lượng của quá trình; quá trình đẳng tích có nhiệt dung riêng là Cv cho nên ta có:
đq = CvdT và q = Cv(T2 - T1) = Cv(t2 - t1); [kJ/kg] (3-43) Mặt khác theo định luật nhiệt động 1: q = ∆u + lgn = ∆u = Cv(T2 - T1) (3-44)
+ Nhận xét: Trong quá trình đẳng tích nhiệt lượng của quá trình hoàn toàn dùng để thay đổi nội năng.
c. Quá trình đẳng nhiệt Khái niệm:
Quá trình đẳng nhiệt là quá trình nhiệt động được tiến hành trong điều kiện nhiệt độ không đổi: T=const.
Áp dụng phương trình trạng thái: pv = RT Trạng thái 1: p1.v1 = R.T1 Trạng thái 2: p2.v2 = R.T2
Trạng thái n: pn.vn = R.Tn
Vì T1 = T2 = ... =Tn cho nên p1.v1 = p2.v2 = … = pn.vn = const. Vậy phương trình biểu diễn quá trình đẳng nhiệt là: pv = const.
(Từ phương trình pvn = const với n = 1 ta có quá trình đẳng nhiệt) Quan hệ giữa các thông số :
Từ phương trình pv = const ta có: p1.v1 = p2.v2 suy ra
2 1 p 2
v v p
p = ; (3-45) (Vậy trong quá trình đẳng nhiệt áp suất và thể tích tỷ lệ nghịch với nhau).
Biểu diễn quá trình trên đồ thị p -v và T –s :
Trên đồ thị p-v đường T=const được biểu diễn bằng đường cong hypecbol đối xứng. Trên đồ thị T-s đường T=const là đường thẳng song song với trục hoành.
Xác định độ biến thiên nội năng, công, nhiệt lượng của quá trình : + Độ biến thiên nội năng; với mọi quá trình ta có: du = CvdT
p p1
p2
T1 = T2
T
s1 s2 s v1 v2 v
1 2 1
2
Hình 3-7
lgn q
Với quá trình đẳng nhiệt 1-2 của khí lý tưởng: ∆u = 0 + Công của quá trình:
- Công thay đổi thể tích của quá trình:
∫
= 2
1
gn p.dv
l ; [J/kg].
Trong quá trình đẳng nhiệt p luôn thay đổi.
Từ công thức pv = const ta có pv = p1v1 suy ra
v v p= p1 1 . Thay trị số p vào biểu thức xác định công ta có:
2 1 1
2 2
1
2
1 1 1
gn p
lnp v RT
lnv v RT
.dv v p dv . p
l =∫ =∫ = = ; [J/kg] (3-46)
(Trong quá trình đẳng nhiệt ta có thể thay
2 1 p 2
v v p
p = )
- Công kỹ thuật của quá trình: Trong quá trình đẳng nhiệt p1v1 = p2v2 nghĩa là công lưu động bằng không cho nên công kỹ thuật bằng công thay đổi thể tích.
+ Nhiệt lượng của quá trình:
Theo định luật nhiệt động 1 ta có: q = ∆u + lgn Với khí lý tưởng khi T = const thì ∆u = 0.
Vì vậy:
2 1 1
2 2
1
2
1 1 1 gn
kt
12 p
ln p v RT
lnv v RT
.dv v p dv . p l
l
q = = =∫ =∫ = = ;[J/kg]. (3-47)
Mặt khác ta có
T
ds= đqcho nên đq = Tds.
Vậy: q = T.∆s = T.(s2 - s1); [kJ/kg] (3-48) d. Quá trình đoạn nhiệt
Khái niệm:
Quá trình đoạn nhiệt là quá trình thay đổi trạng thái một cách liên tục trong điều kiện không trao đổi nhiệt với môi trường.
q = 0 thì đq = 0; đq=CndT = 0 dẫn đến Cn=0.
Ta cũng có: đq=Tds =0 nên ds =0 và s = const.
Quá trình đoạn nhiệt có entropi không đổi.
Để xây dựng phương trình biểu diễn quá trình đoạn nhiệt ta dựa vào định luật nhiệt động 1:
đq = Cv.dT + p.dv đq = Cp.dT - v.dp
Vì quá trình đoạn nhiệt có đq = 0 cho nên ta có:
Cv.dT + p.dv = 0 Cp.dT - v.dp = 0
Cv.dT = - p.dv (a) Cp.dT = v.dp (b) Chia (b) cho (a) ta được
dv .dp p v C C
v
p =− cho nên ta có: 0
dv .dp p
k+v =
Giải phương trình vi phân trên ta được: lnvk + lnp = const
lnpvk = const; pvk = const; k - số mũ của v trong quá trình đoạn nhiệt cho nên nó được gọi là số mũ đoạn nhiệt.
Vậy ta có phương trình biểu diễn quá trình đoạn nhiệt: pvk = const Quan hệ giữa các thông số:
+ p = f(v); Từ pvk = const ta suy ra p1v1k =p2vk2;
k
2 1 1 2
v v p
p
= ; (3-49) + T = f(v);
Áp dụng phương trình trạng thái ta có:
Với trạng thái 1: p1.v1 = R.T1
Với trạng thái 2: p2.v2 = R.T2
Chia phương trình dưới cho phương trình trên ta có:
1 2 1 2 1 2
v .v p p T
T = (*)
Thay trị số của
1 2
p
p từ (2-39) vào (*) ta có:
1 k
2 1 1 2 k
2 1 1 2
v v v .v v v T
T −
=
= ; (3-50)
+ T = f(p);
Thay trị số của
1 2
v
v từ (3-49) vào (*) ta có: k
1 k
1 k 2 1
2 1 1 2 1 2
p p p
. p p p T T
−
=
= ; (3-51)
Biểu diễn quá trình trên đồ thị p-v và T-s:
Nhận xét
Vì k > 1 cho nên đường đoạn nhiệt trên đồ thị p - v là đường hybecbol dốc hơn đường đẳng nhiệt.
Từ công thức
T
ds= đq , với quá trình đoạn nhiệt đq = 0 suy ra ds = 0 và s = const nên đường đoạn nhiệt trên đồ thị T - s là đường thẳng song song với trục tung.
Xác định độ biến thiên nội năng, công, nhiệt lượng của quá trình:
+ Độ biến thiên nội năng; với mọi quá trình ta có: du = CvdT
s1 = s2 s 1
2 T1
T2
T
2s
2T 1
v1 v2 v p
p1
p2
T=const
T=const
Hình 3-8
Với quá trình 1-2: ∆u = Cv∆T = Cv(T2 - T1) = Cv(t2 - t1) ; [kJ/kg] (3-52) + Công của quá trình:
Vì quá trình đoạn nhiệt có q = 0, theo định luật nhiệt động 1 ta có:
∆u + lgn = 0 ; lgn = - ∆u = Cv(T1 - T2); [kJ/kg]. (3-53) Mặt khác ta có thể xác định công của quá trình theo công thức:
∫ =∫
=
2
1
2
1
k k 1 1
gn v
.dv v . p dv . p
l ; [J/kg] (Vì pvk = const ; p1v1k
= pvk) (3-54) Tích phân và rút gọn ta có:
) T T 1( k ) R v p v p 1( k
lgn 1 1 1 2 2 1 − 2
= −
− −
= ; [J/kg] (3-55)
+ Nhiệt lượng tham gia vào quá trình:
q = ∆u + lgn = 0
lgn= - ∆u= - Cv(T2 - T1)
Xác định độ biến thiên entrôpi của các quá trình nhiệt động cơ bản : Công thức chung:
T
ds= đq (3-56)
Theo phương pháp tổng quát
Ta dựa vào định luật nhiệt động 1 cho khí lý tưởng:
đq = CvdT + pdv đq = CpdT - vdp Ta có:
T pdv T
C dT
ds= v +
Theo phương trình trạng thái pv = RT cho nên:
v R T p = Vậy:
v Rdv T
C dT
ds= v + (3-57)
1 2 1
2
v v
lnv T R
lnT C
s= +
∆ (3-58)
Hoặc:
T vdp T
C dT
ds= p − (3-59)
Theo phương trình trạng thái pv = RT cho nên:
p R T
v = Vậy:
p Rdp T
C dT
ds= p − (3-60)
1 2 1
2
p p
lnp T R
lnT C
s= −
∆ (3-61)
Theo từng quá trình cụ thể
- Với quá trình v = const: đq = CvdT ;
T C dT ds= v ;
1 2
v T
lnT C s=
∆ (3-62)
- Với quá trình p = const: đq = CpdT ;
T C dT ds= p ;
1 2
p T
lnT C s=
∆ (3-63)
- Với quá trình T = const:
T ds= dq;
T s= q
∆ (3-64)
- Với quá trình đoạn nhiệt: đq = 0 ; ds = 0 ; s = const. (3-65) Nhận xét chung cho các quá trình:
Từ phương trình tổng quát của quá trình đa biến và biểu thức NDR (nhiệt dung riêng) 1
n k C n Cn v
−
= − ta thấy rằng những quá trình đẳng tích, đẳng áp, đẳng nhiệt, đoạn nhiệt là những trường hợp riêng của quá trình đa biến.
+ Nếu n =0, phương trình pvn= const có dạng p = const, NDR Cn= kCv= Cp; đây là quá trình đẳng áp.
+ Nếu n = ±∞ ta có thể biến đổi như sau: lấy căn bậc n hai vế phương trình pvn= const ta có p1/nv=const nên khi n = ±∞ thì v = const, biểu thức NDR khi đó có Cn= Cv; quá trình đa biến sẽ là quá trình đẳng tích.
+ Nếu n = 1 thì phương trình pvn = const thành pv = const NDR Cn= ∞ =CT; đó là quá trình đẳng nhiệt.
+ Nếu n = k thì pvk = const, NDR sẽ là Cn= Ck= 0; đó là quá trình đoạn nhiệt.
Ta biểu diễn một quá trình đa biến bất kì trên đồ thị p-v và T-s ; được biểu diễn bằng các đường đi từ điểm A ra mọi phía (Hình 3-9). Ở đây, ta biểu diễn các trường hợp riêng của quá trình đa biến là các quá trình đẳng áp, đẳng tích, đẳng nhiệt, đoạn nhiệt.
Chúng ta xem dấu của công thay đổi thể tích, nhiệt lượng và biến đổi nội năng của quá trình đa biến bất kỳ như sau:
- Lấy đường đẳng tích n = ±∞; lgn = 0 làm ranh giới, mọi quá trình đa biến đi từ điểm A hướng về phía phải đường đẳng tích có công thay đổi thể tích lgn > 0 vì ∆v > 0. Ngược lại mọi quá trình đa biến xuất phát từ điểm A hướng về phía trái đường đẳng tích có lgn < 0 vì ∆v < 0.
- Lấy đường đoạn nhiệt n =k, q=0 làm ranh giới, mọi quá trình đa biến từ điểm A đi về bên phải đường đoạn nhiệt có q > 0 (môi chất nhận nhiệt) do ∆s >0. Ngược lại mọi quá trình xuất phát từ điểm A đi về phía trái đường đoạn nhiệt có q < 0 (môi chất thải nhiệt) do ∆s <0.
- Lấy đường đẳng nhiệt n =1, ∆u=0 làm ranh giới, mọi quá trình đa biến từ điểm A đi về phía phải đường đẳng nhiệt trên đồ thị p-v và đi lên phía trên đường đẳng nhiệt trên đồ thị T-s sẽ có ∆u > 0 vì ∆T> 0; với quá trình đa biến có chiều ngược lại sẽ có ∆u< 0 vì ∆T< 0.
n=1 p
v A n=0
n=+∞ n=-∞
n=k
n=k n=0
n=-∞ n=+∞
n=1 A
n=0
n=k n=1 n=1
n=k
n=+∞
T
s Hình 3-9