ĐỊNH LUẬT NHIỆT ĐỘNG THỨ HAI
5.2. Định luật nhiệt động hai
5.2.4. Chu trình thuận nghịch bất kỳ
Phần trước chúng ta khảo sát chu trình Carnot thuận nghịch có nhiệt độ hai nguồn không đổi. Dưới đây ta khảo sát chu trình thuận nghịch bất kỳ có nhiệt độ hai nguồn không đổi hoặc thay đổi.
a. Hiệu suất của chu trình thuận nghịch thuận chiều bất kỳ
Xét hệ đoạn nhiệt gồm môi chất thực hiện một chu trình thuận nghịch và hai nguồn nhiệt : nguồn nóng có nhiệt độ TI = Tn nguồn lạnh có nhiệt TII=Tl. Vì môi chất biến đổi thuận nghịch và trở về trạng thái ban đầu nên biến thiên của các thông số trạng thái bằng 0 (ẹ ∫dSmg =0;ẹ ∫dUmg =0;...). Vỡ tất cả cỏc quỏ
trình trong hệ là thuận nghịch nên biến đổi entropi của hệ ∆Sh=0 :
∆Sh=∆SI +ẹ ∫dSmg+∆SII=0 (a) Ở đây : ∆SI và ∆SII là biến đổi entropi của nguồn nóng và nguồn lạnh.
Vỡ ẹ ∫dSmg =0 nờn từ (a) ta suy ra: ∆SI =-∆SII và dSI =-dSII. (*)
Hình 5-3 biểu diễn chu trình thuận nghịch abcd (trong đó a≡d, b≡c) ta có hiệu suất của chu trình này là :
1 2
t
1
Q Q
Q
η = − (b)
Q1 – nhiệt môi chất nhận của nguồn nóng (nguồn nóng biến đổi 1-2, môi chất biến đổi a-b)
Hình 5-3. Chu trình thuận nghịch thuận chiều bất kỳ
Q2 - nhiệt môi chất nhả ra cho nguồn lạnh (môi chất biến đổi c-d, nguồn nóng biến đổi 3-4).
Vì các quá trình truyền nhiệt giữa môi chất và nguồn nhiệt là thuận nghịch nên trong các quá trình truyền nhiệt này nhiệt độ của môi chất sẽ bằng nhiệt dộ của nguồn nhiệt (Tab=T12=TI, Tcd=T34 =TII)và biến đổi entropi của môi chất: dSab=-dS12=-dSI và dScd=-dS34=- dSII.
Từ đẳng thức dQ=TdS ta có : dQ1=Tab.dSab=-TIdSI
2 2
1 I I I I I I
1 1
Q = −∫ T dS =∫T dS =T . S∆ (5-12)
Trong đó : T - là nhiệt độ trung bình của nguồn nóng trong quá trình truyền nhiệt cho môi I chất :
2
1
I n I I
I 1 I
Q
T T 1 . T dS
S S
= = =
∆ ∫ ∆ (5-13)
dQ2=Tcd.dScd=-TIIdSII (c)
4
2 II II II II
3
Q =∫T dS =T . S∆ (5-14)
Nhưng vì đây là chu trình thuận nghịch nên từ (*) và (c) ta có : dQ2=dQ2TN =TIIdSI=dQ2min
2
2min 2TN II I II I
1
Q = Q =∫T dS =T ∆S (5-15)
Trong đó : T - là nhiệt II độ trung bình của nguồn lạnh trong quá trình nhận nhiệt của môi chất :
2
2
II l II I
I 1 I
Q
T T 1 . T dS
S S
= = =
∆ ∫ ∆ (5-16)
Khi thế (5-25) và (5-15) vào (b) thì ta có hiệu suất nhiệt của chu trình thuận nghịch bất kỳ :
2
II I
1
t 2
I I
1
T dS 1
T dS η = −∫
∫
(5-17) hoặc :
II t
I
1 T
η = −T (5-18)
2min t
1
1 Q
η = − Q (5-18’)
Và khi nhiệt độ của các nguồn nhiệt không đổi:
II t
I
1 T
η = −T (5-19)
Khi so sánh biểu thức hiệu suất nhiệt của chu trình thuận nghịch bất kỳ ở nhiệt độ các nguồn không đổi (5-19) với biểu thức của chu trình Carnot thuận nghịch thì ta thấy chúng
bằng nhau. Nghĩa là hiệu suất nhiệt của chu trình thuận nghịch sẽ bằng nhau khi chúng có cùng nhiệt độ hai nguồn nhiệt.
Đối với chu trình không thuận nghịch thì đẳng thức (*) sẽ không đúng và Q chỉ được xác 2 định bằng biểu thức (5-14) ; hiệu suất nhiệt của chu trình không thuận nghịch gọi là hiệu suất trong, ký hiệu ηi sẽ là :
2 II II
i
1 I I
Q T S
1 1
Q T S
η = − = − ∆
∆ (5-20)
Vì trong chu trình không thuận nghịch thuận chiều ta có :
∆SII > ∆SI (5-21)
Nên hiệu suất ηt(chu trình thuận nghịch) luôn luôn lớn hơn hiệu suất trong ηi(chu trình không thuận nghịch) khi chúng có cùng nhiệt độ nguồn nóng và nguồn lạnh.
Ví dụ :Xét chu trình Carnot không thuận nghịch thuận chiều (Hình 5-4) trong đó abcd là sự biến đổi của môi chất, 1234 là sự biến đổi của nguồn nhiệt. Sự không thuận nghịch chỉ xét tới ở các quá trình truyền nhiệt giữa môi chất và
nguồn nhiệt. Còn bản thân môi chất ví dụ xem là khí lý tưởng nên các quá trình đoạn nhiệt bc, da là các quá trình đẳng entropi. Ở đây, vì quá trình truyền nhiệt giữa nguồn nóng và môi chất là không thuận nghịch (Tn>Tab) nên ∆Sab > ∆Sn . Trong quá trình truyền nhiệt không thuận nghịch giữa môi chất và nguồn lạnh (Tcd>Tl) ta có
Scd
∆ <∆Sl . Vậy biến đổi entropi của hệ đoạn nhiệt (gồm các nguồn nhiệt và môi chất):
∆Sh=∆S12 + ∆Sab + ∆Scd + ∆S34
∆Sh=∆S12 + ∆S34 ( vì ∆Sab=-∆Scd)
∆Sh=∆Sn + ∆Sl= ∆Sl - ∆Sn >0
Vì trong hệ đoạn nhiệt khi có quá trình không thuận nghịch, biến đổi entropi của hệ sẽ lớn hơn không. Vậy ta có ∆Sl > ∆Sn và theo (5-19) ; (5-20) ta có :
II t
I
1 T
η = −T > i 2 II II
1 I I
Q T S
1 1
Q T S
η = − = − ∆
∆
b. Hệ số làm lạnh và hệ số làm nóng của chu trình thuận nghịch ngược chiều bất kỳ Hình 5-5 biểu diễn chu trình thuận nghịch ngược chiều bất kỳ, hình 5-6 biểu diễn chu trình Carnot ngược chiều không thuận nghịch.
Hình 5-4. Chu trình Carnot thuận nghịch thuận chiều bất kỳ
Hình 5-5. Chu trình thuận nghịch ngược chiều bất kỳ
Hình 5-6. Chu trình Carnot không thuận nghịch ngược chiều
s
Như đã biết hệ số làm lạnh:
2
1 2
Q
Q Q
ε = − (a)
Ở đây:
Q2 – nhiệt môi chất nhận của nguồn lạnh Q1 – nhiệt môi chất nhả cho nguồn nóng;
Ta có:
b 2
2 ab ab l 12 l 2 1 l l
a 1
Q =∫T dS = −∫T dS = −T (S −S )=T ∆S
(b)
d 4
1 cd cd n 34 n 4 3 n n
c 3
Q =∫T dS = −∫T dS = −T (S −S )= − ∆T S
1 n n
Q = ∆T S (c)
Với chu trình không thuận nghịch, từ (a), (b) và (c) ta có hệ số làm lạnh của chu trình không thuận nghịch εi:
l l
i
n n l l
T S
T S T S
ε = ∆
∆ − ∆ (5-22)
Ở đây ví dụ với giả thiết môi chất là khí lý tưởng (∆Sab=-∆Scd), biến đổi entropi của hệ đoạn nhiệt (gồm môi chát và nguồn nhiệt) khi có quá trình không thuận nghịch:
∆Sh=∆Sn + ∆Sl >0
∆Sn >- ∆Sl hay ∆Sn> ∆Sl (5-23)
Với chu trình thuận nghịch theo (*) ∆Sl=∆Sn hay ∆Sl =∆Sn nên từ (5-22) và (b) ta có hệ số làm lạnh và nhiệt Q2 của chu trình thuận nghịch sẽ là :
l
n l
T
T T
ε = − (5-24)
hoặc:
2 max
1 2 max
Q
Q Q
ε = − (5-24’)
Q2=Q2TN=Q2max=T .∆Sl n (5-25)
Từ (5-22), (5-23), và (5-24) ta thấy ngay ε >εi, nghĩa là ở cùng nhiệt độ hai nguồn nhiệt, hệ số làm lạnh của chu trình thuận nghịch sẽ lớn hơn hệ số làm lạnh của chu trình không thuận nghịch. Khi nhiệt độ hai nguồn nhiệt không đổi, hệ số làm lạnh của chu trình thuận nghịch bất kỳ sẽ bằng hệ số làm lạnh của chu trình Carnot. Từ (5-24) ta có:
l 2
n l 1 2
T T
T T T T
ε = =
− − (5-26)
Các kết quả hoàn toàn tương tự đối với hệ số làm nóng của bơm nhiệt. Với chu trình thuận nghịch ta có hệ số làm nóng:
1 n
1 2 max n l
Q T
Q Q T T
ϕ = =
− − (5-27)
Trong đó Q2max được xác định từ (5-25).
Khi nhiệt độ hai nguồn không đổi và Tn=T1; Tl=T2 ta có:
n 1
n l 1 2
T T
T T T T
ϕ = =
− − (5-28)
Với chu trình không thuận nghịch hệ số làm nóng ϕi sẽ là:
1 i
1 2
Q
Q Q
ϕ = − (5-29)