A. QUÁ TRÌNH LƯU ĐỘNG
4.3.1. Ống tăng tốc nhỏ dần
Là ống tăng tốc có tiết diện giảm dần, df < 0, nó chỉ làm việc với môi chất không nén được hoặc môi chất nén được trong phạm vi M < 1.
a. Vận tốc của dòng
Đối với ống tăng tốc, vận tốc cửa vào nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ở cửa ra, nhiều khi bằng không, nên công thức (4-7c) có thể viết thành:
ω2 = 2lkt ; m/s (4-9a)
lkt – công kỹ thuật trong quá trình lưu động, tức quá trình giãn nhở đoạn nhiệt.
Thay giá trị của lkt = i1 – i2 vào (4-9a) được:
ω2 = 2(i1−i2); m/s (4-9b)
Công thức (4-9b) dùng được cho cả khí thực và khí lý tưởng nhưng hay dùng cho khí thực với việc sử dụng đồ thị i – s hoặc bảng số. Chú ý là trong công thức lấy i theo đơn vị J/kg, nếu dùng đơn vị kJ/kg như trong các bảng thì:
ω2 = 44,8 i1−i2 ; m/s (4-9c) Nếu thay lkt của khí tưởng vào ta được:
ω2 =
( )
− −
−1/k k
1 2 1
1 p
1 p v 1p k
2 k ; (m/s) (4-9d)
Có thể thay: p1v1 = RT1 và được
ω2 =
( )
− −
−1/k k
1 2
1 p
1 p 1RT k
2 k ; (m/s) (4-9đ)
Các công thức (4-9a, b, c và d) dùng để tính vận tốc của dòng ở cửa ra của ống tăng tốc, trong đó p2, i2 … là thông số của môi chất ở cửa ra của ống, không phải là của môi trường sau ống.
Nếu thay thông số ở một tiết diện bất kỳ, sẽ tính được vận tốc của dòng ở tiết diện đó.
Quan hệ giữa ω2 với p2/p1 theo (4-9d) có thể biểu diễn trên hình 4-7. Ta thấy vận tốc của dòng phụ thuộc vào bản chất (k, R), vào thông số ban đầu (p1, v1, T1…) đặc biệt phụ thuộc rất nhiều vào mức độ giãn nở β= p2/p1.
Khi β = 1 thì ω2 = 0, β giảm đến giá trị tới hạn
1 c
c p
=p
β thì ω2 bằng vận tốc truyền âm, thường gọi là vận tốc tới hạn, ký hiệu bằng ωc và βcgọi là tỉ số áp suất tới hạn.
ωmax
ωc
βc 1 β β=p2/p1
Hình 4-7. Quan hệ giữa ω2 và p /p
Nếu β có thể tiếp tục giảm thì ω2 tiếp tục tăng, nếu β→ 0 thì:
ω2→ max p1v1 1 k 2 k
= −
ω ; m/s (4-10)
Trong thực tế, đối với ống tăng tốc nhỏ dần, β không
thể giảm đến 0, mà chỉ giảm đến βc, nên vận tốc dòng cũng chỉ có thể tăng từ 0 đến vận tốc tới hạn ωc mà không thể đạt được ωmax.
Tỷ số áp suất tới hạn:
βc = k 1
k
1 k
2 −
+ (4-11)
Được chứng minh như sau:
Ta có: ωc =
−β
−
− k 1 k c 1 1v 1 1p
k
2 k (a)
hay
1 1
c k c
1 k
c p v
v 1 p
1 k
2 =
−β
−
−
(b)
Theo quá trình đoạn nhiệt: p1v1k = pcvck ta có:
k 1 k c k
1 k
1 c 1 k
c 1 1 1
c c
p p v
v v p
v
p −
− −
β
=
=
= (c)
Thay (c) vào (b) được:
( ) = − ( −β )
β − c kk−1 k
/ 1 k
c 1
1 k
2 (d)
Và cuối cùng được tỉ số tới hạn:
( )k 1
/ k
c k 1
2 −
= + β
Từ công thức (4-11) ta thấy: tỷ số áp suất tới hạn βcchỉ phụ thuộc vào bản chất của môi chất (phụ thuộc k).
Đối với khí lý tưởng: 1 nguyên tử với k = 1,67, ta có βc = 0,484 2 nguyên tử: k = 1,4 và βc = 0,528
3 nguyên tử trở lên: k = 1,3 và βc = 0,546
Với hơi nước bão hòa khô, có thể lấy gần đúng k = 1,135 và βc = 0,577.
Với hơi nước bão hòa ẩm có k = 1,035 + 0,1.x khi x ≥ 0,7; nếu x = 0,7 thì k = 1,105 và βc= 0,583. Với hơi nước quá nhiệt k = 1,3; βc= 0,55.
Khi không cần tính chính xác, có thể lấy βc xấp xỉ 0,5 nghĩa là qua ống tăng tốc nhỏ dần, áp suất không thể giảm xuống quá 1/2.
Khi đạt đến βc, ta tính được vận tốc tới hạn:
( )
c 2 i1 ic
ω = − ; m/s (4-12a)
Hoặc thay trị số βcvào (4-9d) được:
c 1 1
2 k p v ω = k 1
+ ; m/s (4-12b)
hoặc:
c 1
2 k RT
ω = k 1
+ ; m/s (4-12c)
Trong đó:
ic – entanpi của môi chất ở trạng thái tới hạn, xác định theo pc =βcp1và sc = s1. b. Lưu lượng dòng
Từ phương trình lưu động liên tục và ổn định:
1 1 2 2
1 2
f f f
G ... const
v v v
ω ω ω
= = = = = ; kg/s
Thay giá trị của vận tốc và thông số trạng thái vào tiết diện tương ứng bất kỳ, sẽ tính được lưu lượng qua tiết diện đó, mà cũng là lưu lượng của dòng, thường tính theo cửa ra của ống.
Thay (4-9b) vào (4-1a) được:
( )
2 1 2
2
f 2 i i
G v
= − ; kg/s (4-13a)
Ở đây: i1, i2 và v2 là thông số môi chất ở cửa vào và ra của ống tăng tốc, xác định theo quá trình giãn nở đoạn nhiệt trên cơ sở biết thông số của trạng thái đầu (vídụ p1 và t1) và một thông số ở trạng thái cuối thí dụ p2 và s2 = s1.
Nếu thay (4-9d) vào (4-1a) ta có:
(k 1/ k)
1/ k
2 1 1
1
1 k
G f 2 p v 1
v k 1
−
= β − −β
Sau khi biến đổi ta được:
( )k 1 / k
2 / k 1 2
1
p G f 2 k
k 1 v
+
= − β −β ; kg/s (4-13b)
Ở đây:
f1, ω1, p1, v1… - các đại lượng ở cửa vào của ống tăng tốc;
f2, ω2, p2, v2… - các đại lượng tương ứng ở cửa ra của ống tăng tốc; có thể thay bằng các đại lượng ở một tiết diện tương ứng bất kỳ.
Từ các công thức (4-13a, b) ta thấy: lưu lượng khối lượng G phụ thuộc vào diện tích tiết diện ống, bản chất môi chất, thông số ban đầu và mức độ giãn nở của môi chất. Qua một ống tăng tốc xác định và môi chất có thông số ban đầu xác định, thì G chỉ phụ thuộc vào βvà quan hệ đó có thể biểu diễn trên hình 4.8.
Ta thấy khi β= 1 thì G = 0, βgiảm thì G tăng từ 0 đến một giá trị Gmax rồi lại giảm đến 0 khi β= 0.
Ta có thể xác định được Gmax nếu lấy đạo hàm bậc 1 của G theo βcho bằng 0 và đạo hàm bậc hai âm; giải ra ta được Gmax tương ứng với:
k k 1
c
2 k 1
−
β = + = β
Như vậy lưu lượng đạt đến giá trị cực đại với tỷ số áp suất tới hạn. Thay giá trị của βc vào (4-13a và b) được:
( )
2 1 c
max
c
f 2 i i
G v
= − ; kg/s (4-14a)
và
( )
2 / k 1 1
max 2
1
p
k 2
G f 2
k 1 v k 1
−
= + + ; kg/s (4-14b)
c. Khảo sát ống tăng tốc nhỏ dần theo áp suất của môi trường sau ống p’2
Trong khi tính toán cần biết thông số môi chất ở cửa ra của ống, nhưng thường lại dễ biết áp suất của môi trường sau ống p’2, do vậy phải biết xác định p2 theo p’2. Cho môi chất có thông số ban đầu p1, v1,…qua ống tăng tốc nhỏ dần phun vào môi trường có áp suất p’2 điều chỉnh được bằng bơm chân không (hình 4-9). Ta thấy khi β'giảm từ 1 đến βcthì ω tăng từ 0
G
β βc
Gmax
0 1
Hình 4-8. Quan hệ G theo β
đến ωc và G tăng từ 0 đến Gmax giống như các công thức trên, nhưng khi β' giảm từ βc đến 0 thì vận tốc và lưu lượng giữa giá trị ωcvà Gmax không đổi, khác với các quan hệ trong các công thức. Điều này thực ra không phải là mâu thuẫn giữa lý thuyết và thực tế, vì trong các công thức trên p2 là áp suất của môi chất ở cửa ra của ống tăng tốc, còn p’2 là áp suất của môi trường sau ống. Ta biết rằng sự giảm áp suất ở môi trường phía sau lan truyền vào ống tăng tốc với vận tốc tuyệt đối bằng (a− ω2), khi p2/p1 đạt đến trị số tới hạn, ω2= a thì a - ω2 = 0, nghĩa là sự giảm áp suất trong môi trường sau ống không thể lan truyền vào trong ống được, nên mặc cho p’2
giảm xuống, thậm chí cho đến 0 thì p’2 vẫn giữ bằng pc, và vận tốc vẫn giữ giá trị ωc, lưu lượng vẫn giữ giá trị Gmax không đổi.
Như vậy khi biết áp suất p’2 của môi trường sau ống, thì phải xác định p2 ở tiết diện cuối của ống tăng tốc như sau: