ĐỊNH LUẬT NHIỆT ĐỘNG THỨ HAI
5.3. Khả năng sinh công lớn nhất – execgi
5.3.1. Khả năng sinh công lớn nhất (hay execgi) của hệ đoạn nhiệt
Ta xét hệ đoạn nhiệt gồm vật 1 là môi chất, vật 2 là khí quyển hoặc nước làm mát ở áp suất và nhiệt độ không đổi p0, T0 (là môi trường đối với máy nhiệt). Ta nhận thấy vật 2 không chuyển động, còn vật 1 có thể chuyển động (dòng khí trong tuabin, …) hoặc không chuyển động (khí trong bình kín, …). Giữa vật 1 và 2 có thể trao đổi nhiệt với nhau.
Giả sử ở trạng thái ban đầu vật 1 (môi chất) ở trạng thái không cân bằng với vật 2 (khí quyển).
Khi môi chất biến đổi thuận nghịch từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối cân bằng với khí quyển, công sinh ra sẽ lớn nhất.
Chúng ta ký hiệu trạng thái ban đầu của môi chất là: p1, T1, V1, U1, S1; của khí quyển là pk1 = p0, Tk1 = T0, Vk1, Uk1, Sk1; trạng thái cuối của môi chất: p0’, T0’, V0’, U0’, S0’; của khí quyển p0’, T0’, Vk0’, Sk0’.
Từ phương trình định luật nhiệt động I, dạng tổng quát ta có:
Q= ∆W+Ln (a)
Ở đây đối với đoạn nhiệt Q = 0 và khi các quá trình trong hệ biến đổi thuận nghịch thì công ngoài của hệ sẽ lớn nhất Ln = Lhmax. Vậy từ (a) ta có:
h max1 h1 h 0
L = −∆ =W W −W (5-30) Ở đây:
Wh1 – năng lượng toàn phần của hệ ở trạng thái ban đầu;
Wh0 – năng lượng toàn phần của hệ ở trạng thái cuối.
Biểu thức (5-30) cho thấy khả năng sinh công lớn nhất của hệ đoạn nhiệt ở trạng thái ban đầu Lhmax1 đạt được là do năng lượng toàn phần của hệ giảm. Để tìm giá trị của công lớn nhất ta xét hai trường hợp: khi môi chất không chuyển động và khi môi chất chuyển động.
a. Môi chất không chuyển động
Ở đây do môi chất và khí quyển không chuyển động nên năng lượng toàn phần của chúng được biểu thị bằng nội năng. Vậy ta có:
Wh1 = U1 + Uk1 và Wh0 = U0 + Uk0 (b) Từ (b) và (5-30) ta có:
Lhmax1 = U1 + Uk1 – (U0 + Uk0) = U1 - U0 – (Uk – Uk1)
h max1 1 0 k
L =U −U − ∆U (c)
Để tìm giá trị ∆Ukta nhận thấy khi khí quyển nhận nhiệt Q của môi chất, khí quyển sinh công (công thay đổi thể tích) tác dụng lên môi chất.
Theo phương trình định luật nhiệt động I cho hệ kín:
k k
k k
Q U L
U Q L
= ∆ +
∆ = − (d)
Vì quá trình truyền nhiệt giữa môi chất và khí quyển (ở nhiệt độ T0 = const) phải thuận nghịch nên trong quá trình truyền nhiệt này môi chất phải có nhiệt độ bằng nhiệt độ của khí quyển.
Vậy ta có:
Q = -T0(S0 – S1) = T0(S1 – S0) (e)
Mặt khác ta thấy khí quyển giãn nở thì môi chất bị nén và ngược lại, nên ta có:
V V
∆ = −∆
Vậy: Lk =p0(Vk 0−Vk1)= −p0(V0−V1)=p0(V1−V0) (f)
Khi thế (e) và (f) vào (d) ta có:
( ) ( )
k 0 1 0 0 1 0
U T S S p V V
∆ = − − − (g)
Khi thế (g) vào (c), ta có:
( ) ( )
h max1 1 0 0 1 0 0 1 0
L =U −U +p V −V −T S −S (5-32)
Các thông số trạng thái trong công thức này là của môi chất. Chỉ số 1 ký hiệu trạng thái ban đầu, chỉ số 0 ký hiệu trạng thái cuối cân bằng với khí quyển. Để tổng quát ta ký hiệu các thông số của môi chất ở trạng thái đầu nào đó (không cân bằng với khí quyển) không có chỉ số, từ đó biểu thức khả năng sinh công lớn nhất của hệ (môi chất) khi môi chất biến đổi thuận nghịch từ trạng thái đầu đến trạng thái cân bằng với khí quyển sẽ là:
( ) ( )
h max 0 0 0 0 0
L = −U U +p V−V −T S S ; J− (5-32’)
( ) ( )
h max 0 0 0 0 0
L = − +u u p v−v −T s s− ; J / kg (5-33’)
Công lớn nhất này chính là phần năng lượng (nhiệt năng) của môi chất có thể biến đổi hoàn toàn thành công khi môi chất ở trạng thái không cân bằng với môi trường (khí quyển). Theo định nghĩa, đó chính là execgi của môi chất, và ta có:
E
Lhmax = và lhmax =e
Vậy execgi của môi chất ở trạng thái không cân bằng với môi trường (khí quyển…) là:
(v v ) T (s s );J/kg
p u u
e= − 0+ 0 − 0 − 0 − 0 (5-33)
Ở đây: u, v, s, u0 và s0 của môi chất ở trạng thái đã cho p, t và trạng thái môi trường p0, T0. Môi chất ở trạng thái 1 (không cân bằng với môi trường) có:
e1=u1−u0 +p0(v1−v0)−T0(s1−s0), khi biến đổi đến trạng thái 2 (chưa cân bằng với môi trường) môi chất có e2 =u2 −u0+p0(v2 −v0)−T0(s2 −s0).
Nếu quá trình biến đổi từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 là thuận nghịch, công của môi chất sinh ra sẽ lớn nhất:
(e e ) e
e e
lmax12 = 1− 2 =− 2− 1 =−∆ (5-34) Ở đây: −∆e>0
Nếu quá trình biến đổi 1-2 không thuận nghịch, công sinh ra sẽ nhỏ hơn do có tổn thất execgi lt
∆ vì không thuận nghịch:
t
12 e e
l =−∆ −∆ (5-35)
12 12 max
t l l
e = −
∆ (5-36)
Khả năng sinh công lớn nhất hay execgi của 1kg môi chất, biểu thị bằng công thức (5-33’’) hay (5-33) được biểu diễn trên đồ thị p-v (hình 5-7) bằng diện tích hình 13041, trong đó 1-3 là quá trình giãn nở đoạn nhiệt, 3-0 là quá trình nén đẳng nhiệt của môi chất. Thật vậy:
( ) ( )
13041 Dt ca 30 Dt bc 04 Dt ab 13 Dt
s s T v v p u u
Lhmax 1 0 0 1 0 0 1 0
=
− +
=
−
−
− +
−
=
Dt: diện tích hình
Vì ở đây u1 – u0 = u1 – u3 (trong quá trình đẳng nhiệt 3-0 nội năng khí lý tưởng
p
v po p1
T1 To
0 4 5
3 a b
Hình 5-7. Đồ thị nghiên cứu khả năng sinh c công lớn nhất (execgi)
không đổi) và u1 – u3 = Dt13ab (trong quá trình đoạn nhiệt 1-3 sự giảm nội năng bằng công);
còn ở đây p0 (v1 –v0) = Dt04bc; cuối cùng –T0 (s1 – s0) = T0 (s3 – s0) = Dt30cc (trong quá trình đẳng nhiệt 3-0 nhiệt bằng công).
Vì khả năng sinh công lớn nhất (execgi) là hàm trạng thái nên dựa vào đây ta có thể tìm biểu thức của nó bằng cách khác như sau: Thay quá trình biến đổi thuận nghịch của môi chất từ trạng thái đầu 1 đến trạng thái cân bằng với khí quyển 0 bằng các quá trình thuận nghịch 1-3 (giãn nở đoạn nhiệt đến nhiệt độ khí quyển T0), 3-0 (nén đẳng nhiệt ở T0 đến áp suất khí quyển p0). Cần lưu ý là công lớn nhất của hệ gồm môi chất và khí quyển nên luôn bằng tổng đại số công của môi chất và khí quyển, hơn nữa khi môi chất giãn nở thì khí quyển bị nén lại và ngược lại (công thay đổi thể tích của môi chất 1 và khí quyển lk trái dấu nhau).
Ta có:
0 3 max h 3 1 max h 0 3 1 max h 0 1 max
h l l l
l − = −− = − − − (h)
Trong quá trình 1-3 ta có:
13 k 13 3 1 max
h l l
l − = − (m)
Ở đây:
l13 = u1 – u3 (công bằng sự giảm nội năng trong quá trình đoạn nhiệt) và:
l13 = u1 – u3 = u1 – u0 (u3 = u0 vì 3-0 là quá trình đẳng nhiệt);
lk13 = - p0 (v5 – v4) = -p0(v5-v1) Vậy từ (m) ta có:
lhmax1-3 = u1 – u0 - p0 (v5 – v1) (m’) Trong quá trình 3-0 ta có:
lhmax3-0 = l30 + l k30 (n)
Ở đây:
l30 = q30 (vì 3-0 là đẳng nhiệt) và:
l30 = T0 (s0 – s3) = T0 (s3 – s0) = - T0 (s1 – s0);
l k30 = p0 (v5 – v0);
Vậy từ (n) ta có:
lhmax3-0 = - T0 (s1 – s0) + p0 (v5 – v0) (n’) Khi thế (m’) và (n’) vào (h) ta có:
lhmax1-0 = u1 – u0 - p0 (v5 – v1) + p0 (v5 – v0) - T0 (s1 – s0) lhmax1-0 = u1 – u0 + p0 (v1 – v0) - T0 (s1 – s0) (p) Ta nhận thấy biểu thức (p) chính là biểu thức (5-33’)
b. Môi chất chuyển động
Ở đây vì môi chất chuyển động nên năng lượng toàn phần của nó được biểu thị bằng entanpi (bỏ qua động năng và thế năng), còn năng lượng toàn phần của khí quyển (không chuyển động) nên vẫn như cũ và được biểu thị bằng nội năng, ta có:
Wh1 = I1 + Uk1 và Wh0 = I0 + Uk0 (q) Khi thế (q) vào (5-30) ta có:
Lh1max1 = Wh1 - Wh0 = I1 - I0 – (Uk0 - Uk1)
Lh1max1 = I1 - I0 - ∆Uk (r)
Hình 5-8 biểu thị hệ đoạn nhiệt gồm hai môi chất chuyển động, khí quyển bao bọc xung quanh. Để tìm ∆Uk ta nhận thấy khi khí quyển nhận nhiệt Q và nhận năng lượng đẩy (D1-D0) (giảm năng lượng đẩy) cuổi môi chất, theo định luật nhiệt động I ta có:
Q + (D1-D0) = ∆Uk +Lk
∆Uk = Q-Lk +D1 –D0 (s)
Ở đây ta thấy Q0=T0(S1-S0) (vì quá trình truyền nhiệt thuận nghịch nên nhiệt độ của môi chất bằng nhiệt độ của khí quyển, T0=const); Lk=p0∆Vk=- p0∆V(khí quyển giãn nở thì môi chất bị nén nên ∆Vk =-∆V) và Lk =–p0(V0-V1)=p0(V1-V0) còn năng lượng đẩy của môi chất D0=p0V0; D1=p0V1 (hút vào và đẩy ra đều ở áp suất khi quyển p0=const).
Vậy từ (s) ta có:
∆Uk =T0(S1-S0)-p0(V1-V0)+p0V1-p0V0
∆Uk=T0(S1-S0) (s’)
Thế (s’) vào (r) ta có:
Lhmax1=I1-I0-T0(S1-S0); (J) (5-37) Tương tự như trước, khả năng sinh công lớn nhất chính là execgi và khi các thông số của môi chất ở trạng thái đầu nào đó không cân bằng với môi trường(khí quyển…) được ký hiệu không có chỉ số kèm theo, execgi của dòng môi chất là:
e=i-i0-T0(s- s0) (J/kg) Tong đó:
i, s - được xác định khi chó biết áp suất p và nhiệt độ t nào đó;
i0, s0 – của môi chất được xác định ở áp suất p0 và nhiệt độ T0 của môi trường ( khí quyển …)
Khi dòng môi chất biến đổi thuận nghịch từ trạng thái 1 đến trạng thái 2( chưa cân bằng với môi trường) công sinh ra là lớn nhất:
lmax12=e1-e2=i1-i2-T0(s1-s2)=-∆e (5-38)
Ngược lại nếu quá trình biến đổi 1-2 là không thuận nghịch, công thu được sẽ nhỏ hơn vì có tổn thất execgi ∆et:
l12=-∆e-∆et (5-39)
∆et = lmax12 –l12 (5-40)
Execgi của dòng môi chất có thể biểu thị trên đồ thị i-s. Trên hình 5-9, điểm 1 biểu diễn trạng thái ban đầu của dòng môi chất ( ví dụ p1, t1), điểm 0 biểu diễn trạng thái của môi trường (khí quyển) có p0 và t0. Tại điểm 0 ta kẻ tiếp tuyến MN của đường cong p0. Từ điểm 1 kẻ đường thẳng song song với trục i cắt MN tại điểm 3. Execgi tại trạng thái 1 sẽ là e1 = i1 – i3. Ta sẽ chứng minh điều này.
Phương trình đường tiếp tuyến MN đi qua điểm 0 (i0, s0) và có tgα sẽ là : i - i0 = tgα (s - s0)
Ở đây: 0
0 p 0 p
p p
T T / q
q T
/ q
T C s
tg i
0 o 0
=
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
α . Vậy, ta có:
i - i0 = T0(s - s0) hay i = i0 + T0(s1 - s0) Và ta có entanpi tại điểm 3 nằm trên MN (s3 = s1):
i3 = i0 + T0 (s3 - s0) = i0 + T0 (s1 - s0) i1 - i3 = i1 – i0 - T0 (s1 - s0) = e1
Môi chất Khí quyển Q
D0
D1 Q
Hình 5-8. Hệ đoạn nhiệt có môi chất chuyển động, khí quyển bao quanh
p1 1
t1
i
s p0
0 t0
M
N
α 3 e1
i1 – i0
-(s1-s0)
Hình 5-9 . Đồ thị biểu diễn execgi kho môi chất chuyển động