Chương 4: Xử lý thống kê trong thẩm định phương pháp phân tích
5.3. Phân tích phương sai hai yếu tố có lặp
Bảng 5.5. Ma trận thực nghiệm của bài toán ANOVA hai yếu tố có lặp
Yếu tố B Yếu tố A
A1 A2 Ai Aa
B1
y111 y211 ... ya11
y112 y212 ... ya12
... ... ... ...
y11n y21n ya1n
B2
y121 y221 ... ya21
y122 y222 ... ya22
... ... ... ...
y12n y22n ... ya2n
Bj ... ... ... ...
Bb
y1b1 y2b1 ... yab1
y1b2 y2b2 ... yab2
... ... ... ...
y1bn y2bn ... yabn
Kết quả bài toán ANOVA hai yếu tố có lặp được trình bày theo bảng 5.6.
Bảng 5.6. Bảng kết quả bài toán ANOVA hai yếu tố có lặp
Nguồn f SS S2 Fstat Fcrit p–value
A fA=a–1 SSA = SS2 – SS5
SSA fA
SA2 Sr2
F(α, fA, fr) P(F,fA,fr)
B fB=b–1 SSB = SS3 – SS5
SSB fB
SB2
Sr2
F(α,fB, fr) P(F,fB,fr)
AB fAB = (a–1)(b–1) SSAB = SS4 – SS3
– SS2+ SS5
SSAB
fAB
SAB2 Sr2
F(α,fAB, fr) P(F,fAB,fr)
Sai số fr = ab(n–1) SSr = SS1 – SS4
SSr
fr Tổng ft = abn–1 SSt = SS1 – SS5
Để thuận lợi khi tính các tổng bình phương (SS), trước tiên cần tính tổng các giá trị lặp lại trong một tọa độ thí nghiệm/mức thức nghiệm theo Bảng 5.7
Bảng 5.7. Bảng tổng các giá trị thực nghiệm lặp lại trong bài toán ANOVA
Yếu tố B Yếu tố A
Tổng hàng
A1 A2 Ai Aa
B1 ∑ni=1x11i ∑ni=1x21i ... ∑ni=1xa1i ∑a xi1 i=1 B2 ∑ni=1x12i ∑ni=1x22i ... ∑ni=1xa2i ∑ai=1xi2
Bj ... ... ... ... ...
Bb ∑ni=1x2bi ∑ni=1x2bi ... ∑ni=1xabi ∑ai=1xi2 Tổng cột ∑bj=1x1j ∑bj=1x2j ... ∑bj=1xaj ∑ai=1∑bj=1xij
Các tổng bình phương (SS) lần lượt tính bằng các công thức dưới đây:
– SSt là tổng các bình phương đặc trưng cho độ sai khác của toàn bộ ma trận so với giá trị trung bình:
SSt = ∑ai=1∑bj=1∑nk=1(xijk− x̅)2= SS1 – SS5 (5.27) – SSA là tổng các bình phương của yếu tố A, đặc trưng cho sự thay đổi của A:
SSA = nb∑ai=1(x̅i− x̅)2 = SS2 – SS5 (5.28) – SSB là tổng các bình phương của yếu tố B, đặc trưng cho sự thay đổi của B:
SSB = na ∑bj=1(x̅j− x̅)2= SS3 – SS5 (5.29) – SSAB là tổng các bình phương của yếu tố B, đặc trưng cho sự thay đổi của B:
SSAB = ∑ai=1∑bj=1(x̅ij− x̅i− x̅j+ x̅)2= SS4 – SS3 – SS2 + SS5
(5.30) – SSr là tổng bình phương sai số hay tổng bình phương dư đặc trưng cho thay đổi ngẫu nhiên của thực nghiệm:
SSr = ∑ai=1∑bj=1∑nk=1(xijk− x̅ij)2= SST –SSA – SSB – SSAB = SS1 –
SS4 (5.31)
– SS1: Tổng của tất cả các bình phương trong ma trận thực nghiệm (công thức 5.16):
– SS2: Trung bình tổng của các bình phương tổng tại mức thực nghiệm theo yếu tố A (Ai):
SS2 = 1
nb∑ai=1A2i (5.32)
– SS3: Trung bình tổng của các bình phương tổng tại mức thực nghiệm theo yếu tố B:
SS3 = 1
an∑bj=1Bj2 (5.33)
– SS4 là tổng bình phương các giá trị tại các ô của bảng 5.7 chia cho số lần lặp lại:
SS4 = 1
n∑ai=1∑bj=1(∑nk=1yijk)2 (5.34) – SS5 là trung bình của bình phương tổng các giá trị trong ma trận thực nghiệm tương tự công thức 5.3:
SS5 = 1
abn(∑ ∑ ∑ yijk)2 (5.35) – SA2, SB2 là phương sai đặc trưng cho sự ảnh hưởng yếu tố A và B lên kết quả thực nghiệm tính theo công thức 5.18 và 5.19.
– SAB2 là phương sai đặc trưng cho sự ảnh hưởng đồng thời hai yếu tố A và B lên kết quả thực nghiệm:
SAB2 = SSAB
fAB = SSAB
(a−1)(b−1) (5.36)
– Sr2 là phương sai dư hay phương sai lặp lại của thí nghiệm, đặc trưng cho sai số ngẫu nhiên trong quá trình thực nghiệm:
Sr2 =SSr
fr = SSr
ab(n−1) (5.37)
Sử dụng chuẩn Fisher để so sánh lần lượt các phương sai SA2, SB2, SAB2 so với Sr2. Giả thuyết thống kê và kết luận thống kê tương tự như bài toán ANOVA một yếu tố.
Ví dụ 5.3: Một nghiên cứu về ảnh hưởng của nhiệt độ và thời gian sấy đến hàm lượng ẩm khi sấy khô một sản phẩm như dưới đây:
Nhiệt độ Thời gian
1 giờ 3 giờ 15 giờ
80 oC
6.74 7.32 8.05
7.57 6.61 8.02
7.15 6.97 8.04
100 oC
6.79 7.66 8.53
7.03 7.72 8.4
6.55 7.59 8.65
120 oC
9.32 8.84 11.38
9.04 8.48 10.99
9.60 9.20 11.76
Phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ và thời gian đến độ giảm khối lượng (%) sản phẩm khi sấy.
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức
Tổng các giá trị thực nghiệm lặp lại tại từng mức thí nghiệm như sau:
Nhiệt độ Thời gian Tổng
dòng 1 giờ 3 giờ 15 giờ
80 oC 21.46 20.90 24.11 66.47
100 oC 20.37 22.97 25.58 68.92
120 oC 27.96 26.52 34.13 88.61
Tổng cột 69.79 70.39 83.82 224
Áp dụng các công thức từ 5.22 đến 5.32 thu được các kết quả như sau:
SS1 = ∑ ∑ ∑ yijk2 = 1909.9500 SS2 = 1
nb∑ A2i= 1872.3543
SS3 = 1
na∑ Bj2= 1891.1066 SS4 = 1
n∑ai=1∑bj=1(∑nk=1yijk)2= 1908.4856 SS5 = 1
nab(∑ ∑ ∑ yijk)2= 1858.3704 SSt = SS1 – SS5 = 51.58
SSA = SS2 – SS5 =13.98 SSB = SS3 – SS5 = 32.74
SSAB = SS4 – SS3 – SS2+ SS5 = 3.40 SSr = SS1 – SS4 = 1.46
SA2 =SSA
fA = 14
3−1 = 6.99 SB2 = SSB
fB = 32.7
3−1 = 16.37 SAB2 = SSAB
fAB = 3.4
(3−1)(3−1) = 0.85 Sr2 =SSr
fr = 1.5
3.3(3−1) = 0.08
Kết quả tính toán được trình bày theo bảng dưới đây (theo Bảng 5.7):
Nguồn f SS S2 Fstat Fcrit p–value
Nhiệt độ (A) 2 SSA = 13.98 6.99 85.94 3.55 6.18x10–
10
Thời gian (B) 2 SSB = 32.74 16.37 201.19 3.55 4.83x10–
13
AB 4 SSAB = 3.40 0.85 10.43 2.93 0.00098 Sai số 18 SSr = 1.46 0.08
Tổng 26 SSt = 51.58
Kết luận:
– Đối với nhiệt độ: vì Fstat = 85.94 >> Fcrit = 3.55 nên nhiệt độ ảnh hưởng mạnh đến độ hụt khối lượng trong quá trình sấy sản phẩm. Khi nhiệt
độ thay đổi từ 80 – 100 oC kết quả thay đổi không nhiều, tuy nhiên sự thay đổi là rõ rệt khi tăng từ 100 –120 oC.
– Đối với thời gian: vì Fstat = 201.19 >> Fcrit = 3.55 nên thời gian ảnh hưởng mạnh đến độ hụt khối lượng trong quá trình sấy sản phẩm. Khi thời gian sấy thay đổi từ 1h – 3h kết quả thay đổi không nhiều, tuy nhiên sự thay đổi là rõ rệt khi tăng từ 3h–15h.
– Yếu tố tác động đồng thời có ảnh hưởng rõ rệt tới độ hụt khối lượng của quá trình sấy (Fstat = 10.43 > Fcrit = 2.93).
Cách 2: Sử dụng công cụ Excel
Nhập dữ liệu theo ma trận thực nghiệm và sử dụng công cụ ANOVA:
Two–Factor with Replication trong Data analysis theo hình sau đây:
Chọn ok, kết quả thu được như bảng ANOVA:
Các giá trị thu được từ công cụ Excel giống như cách 1. Kết luận thống kê cho bài tập như trong cách 1.
Cách 3: Sử dụng phần mềm Stagraphics
Nhập dữ liệu thực nghiệm theo dòng (27 thí nghiệm tương đương 27 dòng) như hình dưới đây:
Trong menu Compare chọn Analysis of Variance và chọn Multifactor ANOVA khai báo dữ liệu theo hướng dẫn dưới đây:
Sau khi chọn ok kết quả thu được là bảng ANOVA giống như trong cách 2