Kĩ năng 3: Kĩ năng tương tác với mô hình bài toán trên máy tính

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.3. Kĩ năng ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán của giáo viên Toán ở trường Trung học phổ thông

1.3.2.3. Kĩ năng 3: Kĩ năng tương tác với mô hình bài toán trên máy tính

Tiếp theo việc sử dụng các phần mềm Toán học để mô tả bài toán thì việc khai thác mô hình để tìm ra cách GQVĐ, mở rộng bài toán hay phát hiện sai lầm trong lời giải rất có ý nghĩa trong dạy học Toán.

Việc tương tác với phần mềm cũng rất đa dạng, chẳng hạn: Thay đổi các tham số đầu vào, thay đổi mối quan hệ giữa các đối tƣợng Toán học,... để từ đó phát hiện, dự đoán, bác bỏ dự đoán,... và cuối cùng đi đến kết luận về một khái niệm, một tính chất, một cách GQVĐ, một bài toán mới,...

Tuy nhiên để khai thác có hiệu quả mô hình do phần mềm cung cấp đòi hỏi người GV phải có KN tương tác với phần mềm, hơn nữa là phải thiết kế được các hoạt động cho HS tương tác với phần mềm.

 Cấp độ 1 (Tối thiểu): Biết tương tác với mô hình bài toán trên máy tính bằng cách thay đổi để có thể quan sát, xem xét mô hình bài toán dưới các góc độ khác nhau.

Ví dụ 1.7: Sử dụng phần mềm GeoGebra để hỗ trợ dạy định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Hoạt động 1: GV vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + b x + c với các hệ số a, b, c (để tiết kiệm thời gian GV có thể mở tệp đã chuẩn bị sẵn ở nhà) (Hình 1.3).

Hoạt động 2: GV chỉ chuột vào Hình 1.3

các thanh trƣợt để thay đổi giá trị các hệ số a, b, c và HS quan sát đồ thị để xác định dấu của f(x) trong các trường hợp ở bảng 1.2.

Bảng 1.2. Các trường hợp xác định dấu của f(x)

 < 0  = 0  > 0 a > 0

 < 0  = 0  > 0 a < 0

Kết quả HS xác định đƣợc ở bảng 1.3.

Bảng 1.3. Kết quả xác định các trường hợp dấu của f(x)

 < 0  = 0  > 0 a > 0

f(x) luôn dương

f(x) luôn dương, trừ khi

2 x b

a

f(x) dương khi x< x1 hoặc x>x2, f(x) âm khi x1 < x < x2

(x1 < x2 là hai nghiệm của f(x))

 < 0  = 0  > 0 a < 0

f(x) luôn âm f(x) luôn âm, trừ

khi 2

x b

a

f(x) âm khi x< x1 hoặc x>x2, f(x) dương khi x1 < x < x2

(x1 < x2 là hai nghiệm của f(x)) Hoạt động 3: Phát biểu định lí về dấu tam thức bậc hai.

Từ những nhận xét mang tính trực quan trong một số trường hợp cụ thể trên HS sẽ khái quát hóa và đi đến phát biểu định lí về dấu tam thức bậc hai.

 Cấp độ 2 (Khá): Biết tương tác với mô hình bài toán trên máy tính bằng cách thay đổi các tham số của bài toán.

Để minh họa ý nghĩa của tích phân xác định, người GV sử dụng phần mềm vẽ mô phỏng các hình thang (mô phỏng tổng tích phân) sau đó tính tổng diện tích các hình thang đó, từ đó HS hiểu đƣợc ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Ví dụ 1.8: Minh họa ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Giả sử với tích phân:

1 2 0

x dx. GV thực hiện việc chia đoạn [0;1] thành n phần và tính tổng Riemann:

[> restart; with(student):

n:=10;

rightbox(x^2, x=0..1, n);

rightsum(x^2,x=0..1,n);

Sau đó GV cho n nhận các giá trị khác nhau (tăng dần) để qua đó HS hình dung đƣợc ý nghĩa hình học của tích phân xác định (Hình 1.4, Hình 1.5).

 Cấp độ 3 (Tốt): Biết tương tác với mô hình bài toán trên máy tính để tạo ra tình huống gợi vấn đề dẫn đến nhu cầu tương tác với mô hình bài toán, từ đó phát hiện dần ra cách GQVĐ, mở rộng, đề xuất bài toán mới.

Ví dụ 1.9: (Bài 56 - Sách bài tập Hình học 11 nâng cao): Cho 2 đường tròn (O1; R1); (O2; R2) ngoài nhau và không bằng nhau. Một đường tròn (O; R) thay đổi tiếp xúc ngoài với (O1; R1) và (O2; R2) lần lƣợt tại A, B.

a) Chứng minh AB luôn đi qua 1 điểm cố định.

b) Tìm quỹ tích tâm O.

- Sử dụng phần mềm GeoGebra để dựng hình:

+ Dùng công cụ dựng Đường tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đường tròn để dựng đường tròn (O1; R1) và (O2; R2).

+ Dùng công cụ Khoảng cách đo bán kính của hai đường tròn.

+ Dùng công cụ Thanh trượt lấy 1 giá trị tham số R.

+ Dùng công cụ dựng Đường tròn khi biết tâm và bán kính để dựng đường

Hình 1.4 (n=10) Hình 1.5 (n=50)

tròn tâm O1 có bán kính R1 + R và đường tròn tâm O2 có bán kính R2 + R.

+ Xác định giao điểm O của hai đường tròn vừa dựng; xác định giao điểm A, B của OO1, OO2 với (O1) và (O2).

+ Dựng đường tròn tâm O bán kính OA. Khi đó (O) là đường tròn cần tìm và A, B là hai tiếp điểm. (Hình 1.6)

- Khai thác hình vẽ

+ Để minh họa quỹ tích, ta chọn lệnh Mở dấu vết khi di chuyển xác định thuộc tính để lại vết khi chuyển động cho điểm O và đường thẳng AB rồi chọn lệnh Hiệu ứng trên cho giá trị của R thay đổi.

+ Kết quả: Đường thẳng AB đi qua 1 điểm cố định trên đường thẳng O1O2 Điểm O chạy trên 1 nhánh của hypebol (Hình 1.7).

Hình 1.6

Hình 1.7

- Nghiên cứu, mở rộng bài toán

Ta có thể yêu cầu và mở rộng bài toán trên:

a) Chứng minh bài tập trên để khẳng định lại các kết quả đã quan sát đƣợc.

b) Tìm giới hạn quỹ tích điểm O.

c) Nếu đường tròn (O) tiếp xúc trong với hai đường tròn (O1) và (O2); hoặc tiếp xúc trong với 1 đường tròn và tiếp xúc ngoài với đường tròn còn lại ta được kết quả nhƣ thế nào?

- Giải quyết việc mở rộng bài toán với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra + Xét trường hợp R2 > R1

a) Ta có: OO2 – OO1 = R2 – R1 nên O thuộc đường hypebol có tiêu điểm O1 và O2; A là tâm vị tự trong của (O1) và (O); B là tâm vị tự trong của (O2) và (O) nên AB đi qua tâm vị tự ngoài S của (O1) và (O2). Vậy AB đi qua điểm S cố định.

b) Ta có: OO2 – OO1 = R2 – R1 nên O thuộc 1 nhánh hypebol có tiêu điểm O1 và O2 (nhánh gần O1 hơn). Nếu R1 = R2 thì quỹ tích là trung trực của O1O2.

c) Nếu (O) tiếp xúc trong với (O1) và (O2).

Khi đó ta có: OO2 OO1 R2 R1nên quỹ tích điểm O là cả hypebol nhận O1, O2 là tiêu điểm (Hình 1.8).

Nếu (O1) và (O2) ngoài nhau không tồn tại đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn này và tiếp xúc ngoài với đường tròn kia.

Nếu (O1) và (O2) cắt nhau thì tâm đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn Hình 1.8

này và tiếp xúc ngoài với đường tròn kia là elip nhận O1, O2 là tiêu điểm (Hình 1.9).

Các trường hợp khác nhau của (O1) và (O2) được xét tương tự.

Nhƣ vậy, với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra, ta không chỉ giúp HS giải quyết đƣợc bài toán mà còn cho HS một công cụ mạnh để mở rộng, phát triển bài toán.

1.3.2.4. Kĩ năng 4: Kĩ năng ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ việc vận dụng lí luận dạy học vào dạy học Toán

Việc ứng dụng CNTT trong dạy học Toán chỉ thực sự có hiệu quả khi người GV biết sử dụng CNTT nhƣ một công cụ để thiết kế và thực hiện dạy học Toán bằng các PPDH tích cực [10]. Các PPDH tích cực đƣợc nhóm tác giả đề cập gồm có: PPDH gợi mở - vấn đáp; PPDH phát hiện và GQVĐ; PPDH hợp tác trong nhóm nhỏ (PPDH hợp tác / Phương pháp thảo luận nhóm); PPDH trực quan; PPDH luyện tập và thực hành; PPDH bằng bản đồ tƣ duy; PPDH theo dự án.

Tuy nhiên để thực hiện được vấn đề này, người GV phải có KN tích hợp việc sử dụng CNTT với các PPDH tích cực để lựa chọn những nội dung, những hoạt động trong tiến trình dạy học cho phép khai thác thế mạnh của CNTT trên cơ sở đó thiết kế bài giảng và tổ chức thực hiện bài giảng có sự hỗ trợ của CNTT.

Để có được KN tích hợp việc sử dụng CNTT với các PPDH tích cực, trước hết người GV phải có các KN chung và KN sử dụng phần mềm Toán học ở mức độ tối thiểu trở lên đồng thời phải nắm bắt đƣợc đặc trƣng của từng PPDH tích cực.

KN ứng dụng CNTT để hỗ trợ việc vận dụng lí luận dạy học vào dạy học Toán có thể chia thành các cấp độ sau:

 Cấp độ 1 (Tối thiểu): Biết ứng dụng CNTT như một phương tiện để truyền Hình 1.9

tải thông tin đến người học. Ở mức độ này CNTT chủ yếu là công cụ của người Thầy và thông tin chủ yếu ở dạng tĩnh.

Ví dụ 1.10: Hiện nay, có nhiều phần mềm thiết kế trình chiếu cho bài giảng nhƣ PowerPoint, Violet,... Chẳng hạn, sử dụng phần mềm PowerPoint để thiết kế trình chiếu cho bài giảng “Bài 3. Đường thẳng song song với mặt phẳng” (Hình học 11 nâng cao) [52] (Hình 1.10).

Slide 1 Slide 2

Slide 3 Slide 4

Hình 1.10: Hình minh họa 4 slides bài giảng được thiết kế trên PowerPoint

 Cấp độ 2 (Khá): Biết ứng dụng CNTT để tạo ra một môi trường thuận lợi cho việc thiết kế, tổ chức bài học. Người GV sẽ khai thác các thông tin phản hồi, các tương tác với phần mềm để dẫn dắt HS tham gia quá trình phát hiện, GQVĐ từ đó tích lũy kiến thức, rèn luyện KN cho bản thân.

Ví dụ 1.11: Tìm hiểu ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến. GV dẫn đắt HS

phát hiện vấn đề qua việc thiết kế các hoạt động sau với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra.

Hoạt động 1: (Tiếp cận vấn đề) GV yêu cầu HS vẽ hình, qua đó HS xác định rõ những yếu tố ban đầu.

Hoạt động 2: (Khám phá tri thức) Trước hết GV gợi ý cho HS bằng cách thay đổi một vài yếu tố của hình vẽ đồng thời quan sát sự thay đổi của các đối tƣợng và mối quan hệ giữa chúng để đƣa ra các nhận xét, dự đoán. Tiếp theo GV gợi ý cho HS bằng cách sử dụng các chức năng kiểm tra của phần mềm để kiểm thử các dự đoán mà HS đƣa ra. Từ kết quả xử lý của phần mềm mà HS loại bỏ hoặc tìm cách chứng minh.

Hoạt động 3: (Minh họa kết quả) GV sử dụng phần mềm minh họa các kết quả một cách sinh động và gợi ý cho HS có thể đưa ra hướng phát triển, mở rộng bài toán (Hình 1.11).

Thao tác với phần mềm Nhiệm vụ và kết quả học tập - Vẽ véc tơ u và đường tròn (O,

R).

- Lấy điểm M  (O, R).

- Xác định M’, O’ là ảnh của M, O qua phép tịnh tiến theo véc tơ u. - Đặt thuộc tính để lại vết cho điểm M’ và cho thay đổi vị trí điểm M.

Quan sát và rút ra các nhận xét:

- MM ' u ; OO' u; MM’ = OO’; OM=O’M’

Kết luận:

- Ảnh của (O,R) qua phép tịnh tiến là (O’, R).

- Vậy phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

 Cấp độ 3 (Tốt): Biết ứng dụng CNTT để tăng cường vai trò của HS: Bên cạnh việc GV sử dụng phần mềm, ủy thác nhiệm vụ học tập cho HS một

Hình 1.11

cách linh hoạt thì trong một số khâu, HS sẽ trực tiếp sử dụng CNTT, tương tác với mô hình bài toán trên máy tính để phát hiện và GQVĐ.

Ví dụ 1.12: Xác định tứ diện đều trong hình vẽ sau: (Hình 1.12)

- Hoạt động 1: Hãy dự đoán đâu là hình tứ diện đều? Từ đó hãy sử dụng phần mềm GeoGebra để kiểm tra.

Rõ ràng, hình ảnh trực quan dễ khiến HS cho rằng tứ diện A2B2C2D2 là tứ diện đều và tứ diện A1B1C1D1 thì không phải. Nhƣng khi HS dùng chức năng đo đạc của phần mềm GeoGebra thì nhanh chóng nhận ra sự nhầm lẫn này và sửa chữa (Hình 1.13).

- Hoạt động 2: GV cho HS nhận xét về hình biểu diễn tổng quát của một tứ diện đều. GV cần nhấn mạnh với HS rằng: nếu nhƣ chỉ dựa vào hình biểu diễn của các hình khối không gian thì khó xác định đƣợc chính xác về hình đó. Chúng ta cũng không thể đo đạc, hay khảo sát trên hình vẽ một cách chính xác đƣợc ngoại trừ trên chính vật thật hay mô hình của vật thật. Vì vậy, khi giải các bài toán hình học không gian, một mặt rất cần hình vẽ để hỗ trợ cho tƣ duy, một mặt tránh sự chủ quan, ngộ nhận mà dẫn đến sai lầm đáng tiếc. Cần phải kết hợp với tƣ duy logic để làm sáng tỏ những suy đoán.

- Hoạt động 3: GV cũng phải tạo tình huống giúp HS nhận dạng đƣợc hình chóp tam giác đều và tứ diện đều bằng cách mở tệp chứa sẵn tứ diện đều và hình chóp tam giác đều, yêu cầu HS sử dụng công cụ vuông góc và đo độ dài đoạn thẳng để xác định đâu là hình chóp tam giác đều và đâu là tứ diện đều. Đây là hai khái niệm rất hay nhầm lẫn ở HS. Hình chóp tam giác đều là hình có đáy là tam giác đều, có hình chiếu ở đỉnh trùng với trọng tâm của đáy. Còn tứ diện đều là hình chóp tam

Hình 1.12 Hình 1.13

giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Nhƣ vậy, tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều, nhƣng điều ngƣợc lại là không đúng.