CHƯƠNG 2: DIỄN TOÁN DÒNG CHẢY TRONG SÔNG THEO MÔ HÌNH THÔNG SỐ TẬP TRUNG
2.2. Diễn toán dòng chảy trong sông theo mô hình thông số tập trung
Như đã trình bày ở trên, đối với các mô hình thông số tập trung thì phương trình liên tục dòng chảy sông ngòi được giản hoá thành phương trình cân bằng nước.
Cho một đoạn sông bất kỳ (xem hình 2-2), ký hiệu I(t) là quá trình lưu lượng đầu vào và Q(t) là quá trình lưu lượng ở đầu ra, S (t) là lượng trữ trên đoạn sông tại thời điểm t bất kỳ ta có:
) ( ) (t Q t dt I
dS = − (2-2)
Khi diễn toán dòng chảy trong sông, đặc biệt là diễn toán lũ, bài toán cần được giải quyết là: nếu đường quá trình dòng chảy vào hệ thống I(t) đã biết, cần tìm quá trình dòng chảy ở đầu ra Q(t). Nếu chỉ với phương trình (2-2) ta không tìm được đường quá trình đầu ra Q(t) vì cả hai đại lượng Q(t) và S(t) trong phương trình (2-2) đều là ẩn số. Khi đó cần thiết lập một phương trình nữa, đó chính là hàm lượng trữ là hàm được thiết lập với mối liên hệ hàm số giữa các đại lượng S, I và Q. Sự kết hợp giữa hàm lượng trữ với phương trình cân bằng nước sẽ cho hai phương trình với hai ẩn số.
Trong thực tế thường áp dụng phương pháp sai phân để tìm nghiệm của hai phương trình trên. Với phương pháp này, người ta chia lớp thời gian tính toán thành các thời đoạn, phương trình cân bằng nước (2-2) sẽ được giải tuần tự từ điểm thời đoạn này đến thời đoạn khác cùng với hàm trữ lượng (2-3) để tính lượng trữ tại mỗi thời đoạn tính toán.
Việc mô phỏng dạng giải tích của hàm lượng trữ dùng trong thuật giải phụ thuộc vào bản chất vật lý của hệ thống đang xét. Có thể phân tích 3 loại hệ thống đặc trưng nhất, đó là:
1. Loại thứ nhất: hệ thống được coi là một hồ chứa trong đó lượng trữ là một hàm phi tuyến, đơn trị của lưu lượng Q được viết theo dạng công thức (2-3).
S = f (Q) (2-3)
Hệ thống loại này áp dụng đối với các hồ chứa xây dựng trên sông, các khu chứa ven sông có trao đổi nước với hệ thống sông, các đoạn sông thượng lưu của các công
trình xây dựng trên sông (đập dâng, cầu qua sông, cống điều tiết...), có chế độ dòng chảy tương tự như chế độ dòng chảy của hồ chứa.
Hình 2-2: Mô tả mặt bằng và cắt dọc của một đoạn sông a) Mặt bằng đoạn sông; b) Cắt dọc đoạn sông:
Hàm f(Q) ở trên được xác định thông qua mối liên hệ giữa mực nước của hồ với dung tích hồ và lưu lượng chảy ra khỏi hồ chứa, chẳng hạn đối với hồ chứa có công trình xả lũ là đập tràn chảy tự do, ta có:
Q=mB 2gh3/2 (2-4)
Trong đó: Q là lưu lượng xả qua công trình tràn xả lũ; m là hệ số lưu lượng; g là gia tốc trọng trường; h là cột nước trên tràn có liên quan đến dung tích hồ chứa S.
Cột nước h trên đỉnh đập tràn phụ thuộc vào dung tích trữ trong hồ chứa S được xác định thông quan hệ dung tích và mực nước hồ mô tả theo dạng hàm (công thức 2- 4a).
Z = f(S) (2-4a)
Trong đó S là dung tích tích địa hình của hồ chứa; Z là mực nước hồ.
Như vậy, lượng trữ S sẽ là hàm của Q thông qua quan hệ hàm số (2-4) và (2-4a).
2. Loại thứ hai: lượng trữ được coi là là một hàm tuyến tính của I và Q. Loại mô tả này thường áp dụng khi diễn toán dòng chảy trên các kênh hoặc sông. Phương pháp
I(t) Q(t) S(t)
I(t)
Q(t) S(t)
I
I
II
II a)
b)
Đường mực nước
Muskingum dùng cho diễn toán dòng chảy trong sông hoặc kênh là một ví dụ điển hình của loại này.
3. Loại thứ ba: Mô hình hệ thống hồ chứa tuyến tính. Đoạn sông được coi là tập hợp hệ thống hồ chứa nối tiếp nhau, trong đó S có quan hệ tuyến tính của Q và các đạo hàm theo thời gian t.
Trong chương này ở những mục tiếp theo ta sẽ xem xét chi tiết hai loại hệ thống đầu tiên.
2.2.2. Khái niệm về hồ chứa tĩnh và hồ chứa động
Mối quan hệ giữa dòng chảy ở đầu ra và lượng trữ trong hệ thống sông có ảnh hưởng rất quan trọng đối với phương pháp diễn toán dòng chảy. Khi diễn toán lũ qua hồ chứa cần phân biệt hai loại hồ chứa; hồ chứa tĩnh và hồ chứa động.
a. Hồ chứa tĩnh
Hồ chứa tĩnh là loại hồ chứa có mặt nước nằm ngang. Các hồ chứa có chiếu rộng và chiều sâu của khu chứa nước rất lớn so với chiều dài theo hướng dòng chảy thường có vận tốc dòng nước trong hồ rất nhỏ, độ dốc mặt nước cũng rất nhỏ, khi đó ta có thể coi mặt nước hồ nằm ngang và loại này được gọi là hồ chứa tĩnh.
Quan hệ động giữa lượng trữ và dòng chảy đối với hồ chứa tĩnh là một hàm đơn trị thoả mãn điều kiện (2-4) của quan hệ này.
Khi mặt nước hồ (hoặc khu chứa) nằm ngang, dung tích của nó sẽ là hàm của mực nước. Mặt khác, lưu lượng dòng chảy ra qua các công trình tháo nước cũng là một hàm của mực nước. Bằng cách kết hợp hai hàm số này có thể thiết lập được quan hệ đơn trị giữa lượng trữ của hồ và lưu lượng chảy ra khỏi hồ S = f(Q) (hình 2-2a). Đối với những hồ chứa tĩnh, lưu lượng đỉnh của đường quá trình dòng chảy ra xuất hiện trên nhánh xuống của đường quá trình dòng chảy ra vì tại thời điểm đó lượng trữ đạt giá trị lớn nhất, khi đó dS/dt = I – Q = 0 (khi I = Q). Do quan hệ giữa S và Q là đơn trị nên lúc đó Q cũng lấy giá trị lớn nhất (hình 2-2a).
b. Hồ chứa động
Đối với các hồ chứa dài và hẹp hoặc các lòng dẫn hở tại đó đường mặt nước có một độ cong đáng kể gây ra bởi các tác động của nước vật thì độ lớn của lượng trữ do nước vật phụ thuộc vào suất biến đổi theo thời gian của dòng chảy đi qua hệ thống.
Quan hệ động giữa lượng trữ và dòng chảy không phải là một hàm đơn trị, tương ứng với một giá trị mực nước có thể tồn tại hơn một giá trị lưu lượng ở đầu ra của hệ thống.
Trên hình 2-2b, quan hệ giữa lưu lượng trữ của hồ chứa không còn là một hàm đơn trị mà thường có dạng một đường vòng dây đơn hoặc kép tuỳ thuộc theo các đặc trưng của lượng trữ trong hồ hoặc trong sông. Do tác động làm chậm dòng chảy của nước vật, lưu lượng đỉnh của đầu ra thường xảy ra chậm hơn so với điểm giao nhau của hai đường qúa trình trình dòng vào và dòng ra. Nếu ảnh hưởng của nước vật được
coi là không đáng kể thì quan hệ S = f(Q) sẽ có dạng vòng dây hẹp, ta có thể thay thế đường lượng trữ dạng vòng dây bằng một đường cong trung bình (đường vẽ gãy nét trên hình) và coi đó là đường quan hệ lượng trữ đơn trị của hồ chứa tĩnh. Trong những trường hợp như vậy, diễn toán theo quan hệ động giữa lượng trữ và lưu lượng có thể được thực hiện một cách gần đúng bằng các phương pháp diễn toán theo hồ chứa tĩnh.
Hình 2-2: Quan hệ S=f(Q) đối với hồ chứa tĩnh (a) và hồ chứa động (b)
2.2.3. Diễn toán dòng chảy qua hồ chứa tĩnh 2.2.3.1. Nguyên lý cơ bản
Diễn toán hồ chứa tĩnh là một thuật giải dùng để tính toán xác định đường quá trình dòng chảy ra khỏi một hồ chứa là Q(t) khi đã cho trước đường quá trình dòng chảy đầu vào I(t) và các đường đặc tính liên hệ giữa lượng trữ và lưu lượng ra khỏi hồ.
Nguyên lý diễn toán dòng chảy đối với hồ chứa tĩnh chính là việc giải hệ phương trình cân bằng nước dạng (2-2) phương trình động lực mô tả dòng chảy ra của hồ chứa cùng với các biểu đồ phụ trợ Z~S được hệ thống lại như sau:
• Phương trình cân bằng nước:
) ( ) (t Q t dt I
dS = − (2-5)
• Phương trình động học có dạng tổng quát là hàm của 3 tham số:
Q = f [A, Z, Zh] (2-6)
• Các quan hệ phụ trợ:
- Đường quan hệ mực nước dung tích địa hình: Z ~S (2-7) - Đường quan hệ mực nước và lưu lượng hạ lưu: H ~Q (2-8)
Q
S
Q
S (b) Hồ chứa động –
hàm S=f(Q) đa trị (a) Hồ chứa tĩnh –
hàm S=f(Q) đơn trị
Trong đó: Z là mực nước hồ, Zh là mực nước hạ lưu hồ chứa, A là thông số hình thức mô tả loại, quy mô và kích thước của cửa xả nước từ hồ chứa xuống hạ lưu. Dạng cụ thể của công thức (2-6) được lựa chọn tuỳ thuộc vào loại công trình. Trong bảng (2- 1) minh hoạ một số dạng công thức tính lưu lượng qua công trình xả lũ.
Bảng 2-1: Các phương trình lưu lượng qua đập tràn Kiểu công trình Phương trình Ghi chú Tràn tự do Q=mB 2gh3/2
Q – Lưu lượng m – Hệ số lưu lượng
B – Chiều rộng hiệu quả trên đỉnh tràn
h – Cột nước trên đỉnh tràn, kể cả cột nước tới gần
Đối với lỗ chảy tự do Q=μω 2gh μ là hệ số lưu lượng ω là diện tích của lỗ
h là cột nước kể từ mặt nước đến tâm lỗ
Đối với lỗ chảy ngập Q=μω 2g(Zt −Zh)
Zt là mực nước thượng lưu Zh là mực nước hạ lưu ω là diện tích của lỗ μ là hệ số lưu lượng Lượng trữ tại thời điểm bất kỳ là hàm tích phân có dạng công thức (2-9).
S t =∫t I t dt−∫tQ t dt
0 0
) ( )
( )
( (2-9)
Khi diễn toán dòng chảy qua hồ chưa tĩnh cần thiết phải tìm quá trình dòng chảy ra khỏi hồ chứa Q(t) và quá trình thay đổi dung tích hồ chứa S(t) khi cho trước các giá trị đầu vào I(t). Quá trình Q(t) và S(t) được xác định trên cơ sở hợp giải hệ hai phương trình (2-5), (2-6) với các biểu đồ phụ trợ (2-7) và (2-8).
Để xác định hàm lượng trữ cũng có thể tiến hành bằng cách chia thời gian tính toán thành nhiều thời đoạn nhỏ với mỗi thời đoạn là Δt, khi đó phương trình cân bằng nước dạng (2-5) có thể viết dưới dạng sai phân (công thúc 2-10).
Q t Q I S I
S
Sj j j j j j j ⎟⎟⎠Δ
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+ −
=
−
=
Δ + + + +
2 2
1 1
1
1 (2-10)
Trong đó: ΔSj+1 là lượng trữ trong khoảng thời gian Δt từ cuối thời đoạn thứ j đến cuối thời đoạn thứ j+1; Sj và Sj+1 là lượng trữ tại đầu và cuối thời đoạn thứ J+1. Các
giá trị của dòng vào tại đầu và cuối khoảng thời gian j thứ tự là Ij, Ij+1 và các giá trị tương ứng của dòng ra là Qj, Qj+1. ở đây, cả hai dòng vào và dòng ra đều là các lưu lượng. Nếu sự thay đổi của dòng vào và dòng ra trên khoảng thời gian đang xét được coi là xấp xỉ tuyến tính, ta có thể tính được sự thay đổi của trữ lượng Sj+1 – Sj bằng cách viết lại phương trình (2-10) như sau:
Q t t Q
I S I
Sj j j j j + j Δ
− + Δ
=
− + +
+ 2 2
1 1
1 (2-11)
Trong đó Ij, Ij+1 là các giá trị đã biết từ điều kiện cho trước của bài toán và Qj, Sj
cũng là các giá trị đã biết từ kết quả tính toán của khoảng thời gian trước đó. Vì vậy, phương trình (2-11) có chứa hai ẩn là Qj+1, Sj+1 và ta có thể chuyển chúng về vế phải của phương trình, ta có:
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ Δ +
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
Δ + +
+
j j j
j j
j Q
t I S
I t Q
S 2
) 2 (
1 1
1 (2-12)
Vì phương trình (2-12) chứa 2 ẩn số, bởi vậy, để tính được lưu lượng ra Qj+1 ta cần thiết lập thêm một phương trình nữa đó chính là hàm lượng trữ - lưu lượng dưới dạng hàm số nào đó:
Q= f[(2S/Δt+Q)] (2-13)
trong đó ký hiệu ”f” là ký hiệu hàm số. Quan hệ hàm số (2-13) thường khó mô tả dưới dạng một hàm cụ thể và thường được thể hiện dưới dạng đồ thị hoặc dạng bảng và được viết dưới dạng quan hệ (2-14).
Q ~ (2S/(Δt+Q) (2-14)
Như vậy, từ hệ các phương trình từ (2-5) đến (2-8) ta đưa về dạng hai phương trình (2-13) và (2-14) và sử dụng hai phương trình này để diễn toán dòng chảy qua hồ chứa.
Như đã nói ở trên, diễn toán hồ chứa tĩnh là một thuật giải dùng để tính toán xác định đường quá trình dòng chảy đi ra khỏi một hồ chứa có đường mặt nước nằm ngang khi đã cho trước đường quá trình dòng chảy đầu vào và các đường đặc tính liên hệ giữa lượng trữ và lưu lượng đầu ra. Hiện nay có nhiều phương pháp khác nhau để thực hiện mục đích tính toán này, chẳng hạn phương pháp đồ giải của Pô-ta-pôp hoặc phương pháp tính lặp.
Ngày nay, cùng với sự tiến bộ nhanh chóng về phương tiện tính toán, các thuật giải bằng đồ thị đã được thay thế bằng các phương pháp lập bảng hoặc giải tích để quá trình tính toán thuận lợi hơn.
2.2.3.2. Diễn toán dòng chảy qua hồ chứa theo phương pháp bán đồ giải
Có nhiều phương pháp bán đồ giải diễn toán dòng chảy qua hồ chứa. Dưới đây trình bày phương pháp diễn toán của V.T Chow [1]. Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp Pô ta pôp [29]. Phương pháp của V.T Chow được thực hiện trên cơ
sở sử dụng các quan hệ (2-12) và (2-14). Phương pháp được thực hiện theo các trình tự tính toán sau đây.
a. Xây dựng quan hệ phụ trợ
Quan hệ (2S/(Δt+Q)~Q dạng (2-14) được xây dựng (với sự minh hoạ đối với hồ chứa có cửa xả lũ đập tràn chảy tự do trình bày ở bảng 2-2) theo các bước sau:
Bảng 2-2: Bảng tính các giá trị đặc trưng của biểu đồ phụ trợ (trong bảng này lượng trữ được tính từ cao trình ngưỡng tràn)
Z h Q S TT (m) (m) (m3/s) (106 m3)
(2S/Δt)+Q (m3/s)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1 40.0 0 0 0 0
2 40.4 0.4 8.79 0.74 419.9
3 40.8 0.8 24.85 1.48 847.0
4 41.2 1.2 45.65 2.34 1345.6
5 41.6 1.6 70.28 3.32 1914.7
6 42.0 2.0 98.22 4.30 2487.1
7 42.4 2.4 129.12 5.38 3118.0
8 42.8 2.8 162.71 6.46 3751.6
9 43.2 3.2 198.79 7.56 4398.8
10 43.6 3.6 237.2 8.68 5059.4
Bước 1: Lựa chọn bước thời gian tính toán Δt, Δt được chọn cố định cho mọi thời đoạn tính toán. Thời đoạn tính toán Δt có thể chọn bất kỳ (1h, 2 h, 6h ...) tùy thuộc vào sự thay đổi của quá trình nước đến I~t. Giá trị Δt chọn càng nhỏ kết quả tính toán càng chính xác.
Bước 2: Giả định một số giá trị mực nước, từ đó tính được cột nước h (cột (3) bảng 2-2) trên đỉnh tràn.
Bước 3: Tính lưu lượng ra khỏi hồ chứa Q (cột (4) bảng 2-2) theo các công thức thuỷ lực trình bày ở bảng 2-1.
Bước 4: ứng với các mực nước giả thiết, tra quan hệ Z ~ S tìm được giá trị dung tích hồ tương ứng chính là lượng trữ S. Tính giá trị Q
t S + Δ
2 (cột 6 bảng 2-2).
Bước 5: Vẽ quan hệ quan hệ 2 )
( Q
t f S
Q +
= Δ (cột 4 với cột 6 của bảng 2-2)
Đường cong này vẽ trên cùng một đồ thị chính là biểu đồ phụ trợ cần xác định (xem hình 2-3).
Hình 2-2: Quan hệ lưu lượng ra khỏi hồ chứa và lượng trữ 2 )
( Q
t f S
Q +
= Δ b. Diễn toán dòng chảy qua hồ chứa
Tại mỗi thời đoạn diễn toán lưu lượng qua hồ chứa được thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: Tại thời đoạn thứ gian j, tất cả các thành phần ở đầu thời đoạn (vế phải của phương trình 2-12) đều đã biết nên có thể tính được thành phần vế trái 2Sj+1/Δt + Qj+1.
Bước 2: Với giá trị 2Sj+1/Δt + Qj+1 tìm được ở bước 1 tra quan hệ (2-2) tìm được giá trị tương ứng Qj+1. Giá trị này có thể tra trực tiếp trên đồ thị hoặc bằng nội suy tuyến tính các giá trị trong bảng. Giá trị quả Qj+1 sẽ được tính bằng nội suy tuyến tính khi đã biết 2Sj+1/Δt + Qj+1.
Phương pháp nội suy tuyến tính được xác định như sau: Nếu ta có một cặp biến số (x, y) và đã biết các cặp giá trị (x1, y1), (x2, y2) thì giá trị nội suy của y tương ứng với giá trị đã cho của x trong phạm vi x1 ≤ x≤ x2 sẽ được tính bởi phương trình:
)
( 1
1 2
1
1 2 x x
x x
y y y
y −
− + −
= (2-15)
Bước 3: Tiếp tục tính cho các thời đoạn tiếp theo. Giá trị Q t S − Δ
2 của vế phải phương trình (2-12) ở đầu thời đoạn tiếp theo được tính theo các giá trị Q
t S + Δ
2 ở cuối thời đoạn đang tính (tương ứng với chỉ số j+1 ở thời đoạn đang tính). Điều kiện đã cho
(2S/Δt)+Q
Q
biết khoảng thời gian tiếp theo sẽ là của 2Sj+1/Δt-Qj+1 của thời đoạn đang tính được xác định theo phương trình (2-16).
1 1
1 1
1 2 2
2
+ +
+ +
+ ⎟⎟−
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= Δ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
Δ j j
j j
j Q Q
t Q S
t
S (2-16)
Công việc tính toán như trên được lặp lại cho đến thời đoạn cuối cùng.
Phương pháp bán đồ giải của Pô-ta-pôp có thể xem trong giáo trình Thuỷ văn công trình [29].
2.2.3.3. Phương pháp Runge – Kutta
Phương pháp này có phần phức tạp hơn phương pháp đã trình bày trên đây, tuy nhiên nó thể hiện chặt chẽ hơn các đặc tính thuỷ lực của dòng chảy qua hồ chứa. Có nhiều sơ đồ Runge – Kutta với các bậc khác nhau có thể áp dụng cho tính toán, trong chương này chỉ trình bày sơ đồ Runge – Kutta bậc 3. Theo sơ đồ này, ta chia khoảng thời gian Δt thành 3 đoạn thời gian nhỏ và sẽ tính toán các giá trị liên tiếp của mực nước và lưu lượng cho mỗi đoạn thời gian. Phương pháp Runge –Kutta được trình bày trong cuốn Applied Hydrology, Chow, V.T, Maidment, D.R and Mays, L.W., McGraw-Hill, 1998, ISBN 0-07-010810-2
[1] Kinematic Wave Modelling in Water Resources, Singh, V., John Wiley & Sons, 1996, ISBN 0-471-10945-2
[2] FLO-2D manual, available at WWW.flo-2D.com and at the WRU Libraries
[3] River Tranining Techniques: Przedwojksky, B and Blazejewsky, R, A. A.
Balkema 1995, ISBN 905410 196 2, 1995
[4] Open Channel Hydraulics Strurm, T.W. ., McGraw-Hill, 2001, ISBN 0-07- 062445-3
[5] River Mechanics, Julien, Y.P. Cambridge University Press, 2002, ISBN 521 52970 0
[6] Floodplain Processes, Anderson, G.M., Walling, D.E. and Bates, P.T., John Wiley and Sons, 1996, ISBN 0-471-99679-7
[7] Fluvial Processes River Engineering, Chang H.H., Krieger Publishing Company, 2003, ISBN 1-57524-212-5
.
a. Nguyên lý của phương pháp diễn toán dòng chảy Runge – Kutta
Phương pháp Runge-Kutta sử dụng phương trình cân bằng nước hồ chứa và phương trình động lực mô tả lưu lượng chảy qua công trình tháo nước (phương trình 2-6). Phương trình cân bằng nước hồ chứa được viết lại theo dạng (2-17) còn lưu lượng tháo ra khỏi hồ chứa được xác định trên cơ sở sử dụng công thức thuỷ lực qua công trình tháo nước từ hồ chứa.
) ( ) (t Q Z dt I
dS = − (2-17)
Trong đó: S dung tích hồ; I(t) – lưu lượng chảy vào hồ là một hàm theo thời gian;
Q (H) – lưu lượng ra khỏi hồ được xác định bằng mực nước Z hoặc bằng cột nước trên ngưỡng tràn của công trình.
Số gia về thể tích dS tương ứng với số gia của mực nước dZ có thể được tính như sau:
dS = F(Z) dZ (2-18)
Với F(Z) là diện tích mặt nước tại mực nước Z. Do đó, ta có thể viết phương trình liên tục là:
) (
) ( ) (
H F
H Q t I dt
dH −
= (2-19)
Phương trình động học mô tả khả năng tháo lưu lượng qua công trình dạng (2-6) được viết lại (công thức 2-20):
Q = f [A, Zt, Zh] (2-20)
Ngoài ra phương pháp này còn sử dụng các quan hệ phụ trợ, đó là các đường đặc tính địa hình hồ chứa: Đường quan hệ mực nước dung tích địa hình: Z ~S và quan hệ mực nước diện tích mặt hồ Z ~F. Trong đó Z là đặc trưng mực nước, V là dung tích địa hình lòng hồ, F là diện tích mặt thoáng.
Khi công trình xả nước đã xác định, biểu thức (2-20) có thể khai triển dưới dạng bảng Q~Z bằng cách giả định hàng loạt các giá trị Zj, với mỗi Zj theo công thức (2-20) tính được các giá trị Qj tương ứng.
Như vậy, phương pháp Runge – Kutta diễn toán dòng chảy qua hồ chứa trên cơ sở hợp giải hai phương trình (2-19) và (2-20) với các biểu đồ phụ trợ mô tả sự thay đổi đặc trưng địa hình lòng hồ (S và F) theo mực nước hồ.
Trong sơ đồ bậc 3 viết theo dạng sai phân, mỗi khoảng thời gian Δt được chia thành 3 thời đoạn nhỏ và ứng với mỗi thay đổi ΔZ, ta cần phải tính các số gia ΔZ1, ΔZ2, ΔZ3 cho mỗi thời đoạn. Độ dốc dZ/dt viết dưới dạng sai phân bằng ΔZ/Δt sẽ được ước lượng trước tiên tại điểm (Zj, tj); sau đó tại điểm có toạ độ (Zj + ΔZ1/3; tj + Δt/3) và cuối cùng tại điểm (Zj + 2 ΔZ2/3; tj + 2Δt/3). Sau đó xác định ΔZ và mực nước cuối thời đoạn Zj+1 và cũng là mực nước ở đầu thời đoạn tiếp theo.
a. Phương pháp diễn toán
Bước 1: Tại mỗi thời đoạn có mực nước đầu thời đoạn là Zj xác định được lưu lượng đầu thời đoạn là Qj theo công thức (2-20) hoặc theo bảng lập sẵn Z~Q.