CHƯƠNG 9: DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH
9.2. Phương pháp số giải hệ phương trình Saint – Venant cho bài toán một chiều [19][29],[30],[33]
9.2.1. Lưới tính
Hệ phương trình Saint - Venant của dòng không ổn định trong hệ thống kênh sông (7.17) hoặc (7.18) là hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng á tuyến. Nói chung không thể có lời giải giải tích cho hệ phương trình này trừ trường hợp đưa các giả thiết đơn giản hóa tới mức mất hết đặc tính vật lý. Do đó cách giải là thay vì tìm nghiệm trong miền xác định liên tục R ta tìm nghiệm số tại các nút rời rạc trong miền R. Cách làm đó gọi là rời rạc hóa (discretization) bài toán và miền R.
Như vậy trong R ta phủ một hệ thống điểm rời rạc với mật độ tương đối đều, các điểm này gọi là nút tính. Các nút này được nối với nhau theo quy luật nào đó tạo thành lưới tính. Trong i7.1.5 ta đã xem xét lưới tính đặc trưng với các nút lưới là giao điểm các đường đặc trưng và các đường nối là đường đặc trưng.
Sau đây ta chỉ xem xét lưới tính chữ nhật tức lưới làm bởi các đường x = const (song song trục t) và các đường t = const (song song trục x). Các đường x = xi không
nhất thiết là cách đều nhau (Δxi ≠ const) nhưng thường đường t = const luôn lấy cách nhau một khoảng Δt= const (hình 9.1).
Khi tính toán tìm trị số hàm ẩn (chẳng hạn lưu lượng Q, mực nước Z) tại một nút tính nào đó ta huy động các nút lân cận với các trị số đã tính toán được (hoặc đã biết khi nút này nằm trên bờ miền R). Sau đó thay phương trình S - V đạo hàm riêng bằng các biểu thức đại số (rời rạc hóa phương trình vi phân theo một cách nào đó tùy thuộc sơ đồ tính) ta đi tới hệ phương trình đại số (thường là phi tuyến do tính phi tuyến của hệ S - V), cách giải hệ phương trình đại số hoàn thành sơ đồ tính.
t
x0 x1 x2 xN-2 xN-1 xN = x + L0 x
Δt Δt Δt Δt
t0
Hình 9.1: Lưới tính chữ nhật 9.2.2. Sơ đồ sai phân [5][18]
Khi thay đạo hàm riêng của hàm ϕ (ϕ = Q, Z hoặc v,z…) bằng các tỷ lệ sai phân:
t t Δ
ϕ
≈ Δ
∂ ϕ
∂ ;
x x Δ
ϕ
≈ Δ
∂ ϕ
∂
Ta có sơ đồ sai phân. Các sơ đồ khác nhau phụ thuộc vào cách thay đạo hàm riêng bằng sai phân. Ta có các sơ đồ sai phân như thể hiện trên hình 9-2.
Ta ký hiệu đặc trưng ϕ(Q, Z, v…) tại lớp thời gian sau t+Δt với dấu phẩy (ϕ') còn ở lớp thời gian t vẫn để bình thường (ϕ) tại lớp t -Δt ký hiệu là ϕ−. Ta có thể có các dạng sai phân sau đây tùy theo cách thay đạo hàm bằng sai phân.
- Sơ đồ tiến: Để tính đạo hàm tại điểm (xj,t) ta lấy trị số lân cận theo chiều dương (theo t là t+Δt, theo x là xj+1).
( )t t o
t
j j t xj
Δ Δ +
= −
∂
∂ϕ ϕ' ϕ
,
(9.4)
( )x x o
x j
j j t xj
Δ Δ +
= −
∂
∂ϕ ϕ +1 ϕ
,
Ở đây bậc sai số của sai phân (phân hàm ϕ theo chuỗi Taylor) là Δt cho đạo hàm theo thời gian; Δx cho đạo hàm theo không gian; chữ o (order) nghĩa là bậc:
1 j 1 j
j x x
x = + − − Δ
1
a- Δx = const Sơ đồ hiện 1- Lax 2- Lax leapfrog 3- Drongkers
2
c- Δx # const Sơ đồ ẩn 4 điểm Preissman
d- Δx # const Sơ đồ hiện KOD b- Δx = const Sơ đồ ẩn Vasilier
Hình 9.2: Các sơ đồ sai phân (Ghi chú: điểm tính toán )
3
- Sơ đồ lùi: Để lấy sai phân tại điểm đang xét ta lùi 1 bước tính (Δt,Δxj−1)
( )t
t o t
j j t , xj
Δ Δ +
ϕ
−
=ϕ
∂ ϕ
∂ −
(9.5)
( )x
x o
x j 1
1 j j t , xj
Δ Δ +
ϕ
−
=ϕ
∂ ϕ
∂
−
−
- Sơ đồ trung tâm: Lấy sai phân qua trị số các nút đứng trước và đứng sau:
( )2
j ' j
j t , x
t t o
2 2 t j
Δ Δ +
ϕ + ϕ
−
=ϕ
∂ ϕ
∂ − (9.6)
( )2
1 j 1 j
j t , x
x x o
2 2 x j
Δ Δ +
ϕ + ϕ
−
=ϕ
∂ ϕ
∂ + −
Để lấy đạo hàm theo x bằng sơ đồ sai phân buộc phải chia đều các mặt cắt tức khoảng cách giữa các mặt cắt Δx=const.
- Sơ đồ nhảy cóc cho sai phân theo x, t (Leapfrog):
( )t
t o 2 t
' j j t , xj
Δ Δ +
ϕ
−
=ϕ
∂ ϕ
∂ −
(9.7)
( )x
x o 2
x x x
1 1 j j t , xj
Δ Δ +
= −
∂ ϕ
∂ + −
Có thể gọi các cách sai phân trên là các ‘’tế bào’’ của sơ đồ sai phân. Sự kết hợp các ‘’tế bào’’ đó cho ta các sơ đồ tính. Ví dụ các sơ đồ tính sau:
(i) Sơ đồ Lax đơn thuần
Theo t: sơ đồ tiến; theo x sơ đồ trung tâm (hình 9.2a). Sơ đồ này không dùng để giải hệ phương trình truyền sóng S - V vì tính không bền vững của sơ đồ. Từ đó mà sử dụng sơ đồ Lax leapfrog (Lax nhảy cóc)
(ii) Sơ đồ Lax leapfrog (Lax diffusive scheme) Theo t sơ đồ tiến, theo x sơ đồ nhảy cóc (hình 9.2a).
(iii) Sơ đồ Drongkers (còn gọi là sơ đồ hình thoi) Sai phân theo x và t đều bằng sơ đồ nhảy cóc.
(iv) Sơ đồ Vasiliev
Các diểm tính toán (tìm Q’, Z’) nằm ở lớp t+Δt và sai phân theo t - sơ đồ lùi; theo x - sơ đồ trung tâm (hình 9.2b).
Các sơ đồ trên đều đòi hỏi phải chia đoạn sông kênh đều nhau tức Δx=const là điều rất khó khăn khi tính cho mạng lưới sông kênh. Bởi vậy tốt hơn hết là chọn sơ đồ tính không đòi hỏi chia đọan sông kênh đều mà theo tình hình thực tế (chọn mặt cắt tại đoạn dòng chảy tương đối thẳng, theo số liệu đo đạc địa hình, các nhánh khác nhau chia khoảng cách khác nhau tùy chiều rộng nhánh v.v…). Ta có các sơ đồ.
(v) Sơ đồ 4 điểm Preissmann
So với các điểm tính toán ở lớp thời gian t+Δtthì sai phân theo t là sơ đồ lùi nhưng vì có 2 điểm ở lớp này nên lấy trị số trung bình:
( )t
t o t
2 1 t
1 j 'j 1 j
'j t,
x
12 j
Δ
⎟⎟+
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ ϕ
− +ϕ Δ
ϕ
−
= ϕ
∂ ϕ
∂ + +
+
(9.8)
Theo x phép sai phân được lấy theo sơ đồ tiến trên cả 2 lớp thời gian và lấy trung bình theo trọng số θ thiên về lớp trên (0<θ ≤1):
( )x
x o ) 1 x (
x
j 1 j j
'j 'j 1 t
t, xj 12
Δ Δ +
ϕ
− θ ϕ
− Δ +
ϕ
− θϕ
∂ = ϕ
∂ + +
Δ θ
+ +
(9.9)
Như vậy phép sai phân cho ta trị số đạo hàm ở điểm nằm trong chữ nhật tế bào sai phân, đó là điểm có tọa độ:
j
j x
2
x +1Δ ; t+θΔt
Sau này ta thấy để sơ đồ bền vững (ổn định) phải lấy θ>12 tức là thiên hẳn về lớp thời gian trên (hình 9.2c).
(vi) Sơ đồ KOD [18]
Kết hợp sơ đồ Lax (để tính mực nước) cho các điểm
12
xj− và
12
xj+ ; dùng sơ đồ cóc nhảy cho đạo hàm ở lớp thời gian sau theo x và sơ đồ lùi theo t để tính Q (chỉ có ở đây cóc nhảy không qua bước đều nhau 12 xj 12 xj 1
Δ +
≠ Δ
Sau đây ta đi sâu vào một số khái niệm tính toán:
9.2.2.1. Phân loại sơ đồ ẩn và sơ đồ hiện [5], [15], [17]
Khi ta thay các biểu thức sai phân vào hệ 2 phương trình vi phân S - V ta sẽ được 2 phương trình đại số (thường là phi tuyến vì các hệ số của phương trình S - V chuyển sang còn phụ thuộc vào hàm ẩn) vì vậy ta có:
- Sơ đồ hiện: Nếu sơ đồ sai phân chỉ có 1 nút nằm trên lớp thời gian t+Δt; tức là trong 2 phương trình đại số nhận được sau phép sai phân ta chỉ có 2 hàm ẩn và như vậy hệ đại số này khép kín và có thể giải ngay ra trị số hàm ẩn (chẳng hạn Q’, Z’).
Sơ đồ sai phân như vậy là sơ đồ hiện (hiện ngay kết quả sau mỗi lần sai phân hóa hệ S - V ).
Vậy sơ đồ sai phân hiện là sơ đồ ’’nhọn đầu’’ tức chỉ có một nút tính nằm trên lớp thời gian sau. Trong (hình 9.2) đó là các sơ đồ Lax Leapfrog, sơ đồ Drongkers, sơ đồ KOD (sơ đồ lax đơn thuần không áp dụng được cho hệ truyền sóng S - V ).
- Sơ đồ ẩn: Nếu sơ đồ sai phân có từ 2 điểm trở lên nằm ở lớp thời gian cần tính toán thì mỗi lần sai phân hóa 2 phương trình vi phân S - V ta có tới 4 (sơ đồ 4 điểm Preissmann) và 6 (sơ đồ Vasiliev) ẩn số và không thể giải ngay được. Ta buộc phải sai phân hóa toàn bộ các đoạn sông bao gồm các mặt cắt đánh số từ 1 đến N (N -1) đoạn.
Ta sẽ có 2(N -1) phương trình đại số với 2N ẩn số. Huy động 2 điều kiện biên (chẳng hạn cho dòng chảy êm Fr < 1 có 1 điều kiện ở mỗi biên) ta có hệ phương trình khép kín gồm 2N phương trình đại số và 2N ẩn số và ta có thể giải ra được các hàm nghiệm.
Như vậy các nghiệm số ‘’ẩn’’ cho tới khi thực hiện xong phép sai phân cho toàn bộ các mặt cắt lúc ấy mới giải được ra trị số cần tìm. Đó là lí do gọi các sơ đồ này là sơ đồ ẩn và các sơ đồ này có đầu bằng (ít ra 2 điểm ở lớp thời gian t+Δt) và trong (hình 9.2) là các sơ đồ sai phân 4 điểm Preissmann (dựa trên sơ đồ này xây dựng các mô hình tính VRSAP, SAL, MIKE 11, Hydrogis …) và sơ đồ tam giác ngược Vasiliev.
Ghi chú: Nếu các điều kiện biên cho tường minh giá trị Q, Z thì hệ đại số chỉ còn 2(N -1) phương trình với 2(N -1) ẩn số. Trong trường hợp tổng quát điều kiện biên không tường minh (chẳng hạn cho quan hệ Q ~ Z) thì vẫn phải tính đủ 2N phương trình và 2N ẩn số.
9.2.2.2. Miền quyết định nghiệm của sơ đồ sai phân và điều kiện bền vững (ổn định) của sơ đồ tính [5], [15], [17]
Để tính ra nghiệm ở nút tính nằm ở lớp thời gian t+Δt ta phải huy động các trị số đã biết của đặc trưng dòng chảy (Q,Z…) ở lớp thời gian dưới đã biết. Quan hệ hàm ẩn và hàm đã biết ở các nút dưới tạo thành miền con trong miền R thuộc mặt phẳng (x,t) gọi là miền quyết định nghiệm của sơ đồ tính. Hình ảnh miền quyết định nghiệm của sơ đồ tính và quan hệ với miền quyết định nghiệm đặc trưng (còn gọi là miền quyết định nghiệm tự nhiên) cho trong (hình 9.3).
Miền quyết định nghiệm của sơ đồ hiện (Lax Leapfrog, Drongkers, KOD) là miền tam giác với đỉnh là nút tính toán và cạnh là đường nối nút này với các nút ở lớp thời gian t trong sơ đồ tính. Trên các (hình 9.3a, b, c) có các đường gạch nét không liền để chỉ ranh giới của miền quyết định nghiệm tự nhiên. Với sơ đồ ẩn miền quyết định nghiệm của sơ đồ là toàn bộ miền R nằm phía dưới đường t+Δt.
a- Sơ đồ Leapfrog
a- Sơ đồ KOD d- Sơ đồ ẩn, 4 điểm và Vasilev b- Sơ đồ Drongkers
Hình 9.3: Miền quyết định nghiệm của sơ đồ tính
9.2.2.3. Điều kiện bền vững (ổn định) của sơ đồ tính
Trong việc giải bằng phương pháp số luôn gặp phải sai số: do số liệu đưa vào (điều kiện biên, tài liệu địa hình - mặt cắt, khoảng cách các đọan sông v.v…), do sai số
của sơ đồ tính (bậc Δt, Δx hoặc Δt2, Δx2…), do phép nội suy (tài liệu thủy văn, địa hình), phép tuyến tính hóa khi giải hệ phương trình đại số phi tuyến v.v… và cả sai số làm tròn của máy tính, sai số ngẫu nhiên (ví dụ do nhầm lẫn vào số liệu). Vấn đề là sơ đồ tính phải làm sao không tích lũy và khuếch đại sai số, nói cách khác là sơ đồ phải bền vững (ổn định); ngược lại là sơ đồ không bền vững.
Một mệnh đề đã được minh chứng là: Điều kiện cần để cho sơ đồ tính bền vững (ổn định) là miền quyết định nghiệm của sơ đồ tính phải nằm hoàn toàn trong miền quyết định nghiệm tự nhiên.
Đó mới là điều kiện cần nhưng nói chung là chưa đủ. Trong (hình 9.3a, b, c) chỉ khi các đường biên của miền quyết định nghiệm tự nhiên (đường không liền nét) trùm ra ngoài các cạnh tam giác (trong hình thể hiện 2 trường hợp bền vững và không bền vững). Từ đó ta thấy điều kiện cần để các sơ đồ hiện đang xét bền vững là:
λ
≤ Δ
Δ x
inf
t (9.10)
Trong đó: λ=v± gh – tốc độ đặc trưng;
inf - infimum – giới hạn dưới.
Người ta cũng chứng minh rằng (9.10) cũng đồng thời là điều kiện đủ cho các sơ đồ trên và bất đẳng thức (9.10) được biết đến là điều kiện Courant – Levy – Friedricht nổi tiếng.
Với sơ đồ ẩn ta thấy miền quyết định nghiệm của sơ đồ luôn bao ngoài các miền quyết định nghiệm tự nhiên và thực tế là không bị ràng buộc điều kiện nào về bước thời gian tính trừ việc hạn chế sai số của phép sai phân bậc o(Δt) và sai số của điều kiện biên lấy theo bước Δt. Người ta chứng minh rằng về mặt sơ đồ tính đơn thuần (không nói tới sai số bậc o(Δt) thì điều kiện đủ để không giới hạn bước thời gian của các sơ đồ ẩn là trọng số θ trong phép lấy sai phân của đạo hàm theo x phải tuân theo bất đẳng thức:
12
>
θ (9.11)
Như trong VRSAP (cải tiến), SAL lấy θ=23; với MIKE 11, SOGREAH, sơ đồ Vasiliev lấy θ=1.
9.2.2.4. Tuyến tính hóa hệ phương trình đại số nhận được sau phép sai phân và phép tính lặp [5][15], [18]
Vì hệ phương trình S - V dưới dạng (7.17) hay (7.18) đều có hệ số trước các đạo hàm là
A
Q, A và số hạng tự do chứa
R C A
J= QIQI2 2 đều là hàm số của hàm ẩn Q, Z nên hệ phương trình đại số nhận được sau phép sai phân là hệ đại số phi tuyến. Ta có thể tuyến tính hóa bằng cách cho các hệ số và số hạng tự do lấy trị số trung bình nào đó (qua Q, Z ở các nút đã biết và Q, Z giả định gần đúng ở nút chưa biết) hoặc thay:
) t ( o Q Q Q Q 2 Q
Q' ' = ' − + Δ (9.12)
Trong đó: Q ‘ là đại lượng chưa biết.
Sau khi tuyến tính hóa hệ phương trình đại số sau sai phân hóa ta được hệ phương trình đại số tuyến tính (gọi tắt là hệ đại tuyến).
Với sơ đồ hiện vì bước thời gian giới hạn bởi điều kiện (9.10) nênΔtcũng chỉ có bậc cỡ102sec và trong khoảng thời gian đó biến động của Q, Z không lớn nên bằng phép tuyến tính hóa kiểu (9.12) là có thể giải cho kết quả cuối cùng ngay không phải tính lặp.
Với sơ đồ ẩn bước thời gian Δt thường lớn có bậc103sec nên phép tuyến tính hóa gặp sai số lớn nếu các trị số giả định Q', Z'ở lớp thời gian tính toán (t+Δt) sai khác nhiều so với giá trị đúng khi lấy trung bình các hệ số, bởi vậy phải tính lặp lại. Cách làm như sau:
- Giả định lần lặp n Q'(n), Z'(n) tại lớp thời gian cần tính. Bước lặp ban đầu (bước lặp 0) cho bằng trị số của lớp thời gian trước (đã biết).
- Tính các hệ số phương trình và lập hệ đại tuyến.
- Giải hệ đại tuyến nhận được giá trị Q'(n+1), Z'(n+1). - So sánh kết quả lặp đã đạt độ chính xác chưa.
' Q ) n ' (
) 1 n
( Q
Q + − <ε
' Z ) n ' (
) 1 n
( Z
Z + − <ε
Trong đó: εQ; εz là độ chính xác đòi hỏi.
Nếu chỉ ở 1 mặt cắt bất đẳng thức trên chưa đáp ứng thì phải lặp lại với:
( ' ('n 1))
) n ' (
) 2 n
( Q Q
2
Q + = 1 + +
( ' '(n 1))
) n ' (
) 2 n
( Z Z
2
Z + = 1 + +
Vì hệ phương trình đại số phi tuyến sau sai phân hóa trội bậc 2 nên ta dùng phép tính lặp Horne và chắc chắn phép lặp hội tụ. Kết quả dừng lại ở phép lặp cuối cùng khi đạt độ chính xác của phép lặp và nghiệm này chỉ sai khác với nghiệm đúng không quá 2εQ và 2εz.
Cách giải hệ đại tuyến với 2N phương trình và 2N ẩn số có ma trận hệ số rất thưa (thông thường trong sơ đồ 4 điểm chỉ có 4 hệ số trong một hàng khác không, sơ đồ Vasiliev có 6 hệ số ≠0; ở chỗ các nút hợp lưu có thêm vài đôi hệ số cho mỗi nhánh nối
vào) và tập trung quanh đường chéo chính. Ma trận hệ số cũng trội ở đường chéo chính nên hệ đại tuyến gặp sai số nhỏ khi giải về mặt đại số đơn thuần.
Hệ đại tuyến lớn này được giải bằng cách khử đuổi khối (sơ đồ SOGREAH) hoặc khử đuổi thông thường (SAL, MIKE 11, HYDROGIS) hoặc khử dần từ ngoại vi (từ các điểm biên như trong sơ đồ VRSAP).
Tốc độ tính của các sơ đồ phụ thuộc vào khối lượng tính cho một bước thời gian.
Sơ đồ hiện cần ít phép tính nhưng bước thời gian tính ngắn, ngược lại sơ đồ ẩn có bước thời gian dài nhưng phép tính cho một bước tính lại rất đồ sộ lại còn lặp lại nhiều lần. Bởi vậy nếu bước thời gian Δt của sơ đồ ẩn khoảng 1h và sơ đồ hiện cỡ 6 phút khối lượng tính của 2 dạng sơ đồ cho tổng bước tính 1h là tương đương nhau tức là cạnh tranh được về tốc độ tính.